第二章二次函数单元作业习题2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

第二章二次函数单元作业习题 一．选择题（共10小题） 1．若二次函数y＝x2+bx+7配方后为y＝（x﹣1）2+k，则b、k的值分别为（　　） A．2、6 B．2、8 C．﹣2、6 D．﹣2、8 2．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3） C．函数图象与y轴的交点坐标是（0，1） D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而减小 3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 4．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　） A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 5．从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2中a的值，则抛物线开口向下的概率是（　　） A．1 B． C． D． 6．已知二次函数y＝ax2+2x+c，其中ac＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．二次函数的最小值是﹣2 C．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 D．抛物线的对称轴是直线x 8．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+1，其中m＞0，若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是　 　 ． 12．若二次函数：y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x＝1时，y的值为　 　 ． x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 13．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1．沿x轴翻折所得抛物线表达式为 　 　 ． 14．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　 　 ． 15．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　 　 ． 16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度y（m）和运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　 　 m． 三．解答题（共6小题） 17．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，判断点（﹣1，2）是否在新抛物线上． 18．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a2+ab﹣2等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方运算． 比如：2（1⊕3）＝2×（12+1×3﹣2） ＝2×（1+3﹣2） ＝2×2＝4 （1）求方程x⊕1＝0的解； （2）验证点是否在函数y＝x⊕（﹣1）的图象上； （3）用配方法求出函数的对称轴和顶点坐标． 19．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 20．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．如图，抛物线y＝﹣x2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，AP交y轴于点D． （1）求k的值； （2）当△ACD为等腰三角形时，求点D的坐标； （3）连接BD，BP，求△BDP面积的最大值． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当a＝1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值． （2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C C D D A B 一．选择题（共10小题） 1．若二次函数y＝x2+bx+7配方后为y＝（x﹣1）2+k，则b、k的值分别为（　　） A．2、6 B．2、8 C．﹣2、6 D．﹣2、8 【分析】把y＝（x﹣1）2+k化成一般形式，然后和y＝x2+bx+7的对应项的系数相同，据此即可求解． 【解答】解：y＝（x﹣1）2+k ＝x2﹣2x+1+k， 则b＝﹣2，1+k＝7，k＝6． 故选：C． 【点评】二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 2．关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3） C．函数图象与y轴的交点坐标是（0，1） D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而减小 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：由条件可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）， ∴当x＝2时，y最大值＝3，当x＞2，y随x的增大而减小； 当x＝0时，y＝﹣1，即函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）． 综上，只有选项D说法正确； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝﹣1最远， ∴y1＜y2＜y3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 4．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　） A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5 【分析】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2， ∴2， 解得m＝﹣4， ∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5， ∴x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x﹣5）（x+1）＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值． 5．从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2中a的值，则抛物线开口向下的概率是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】二次函数图象开口向下得出a＜0，从所列4个数中找到a＜0的个数，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：在﹣2、3、4、5四个数中，﹣2＜0， ∴该二次函数图象开口向下的概率是； 故选：C． 【点评】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 6．已知二次函数y＝ax2+2x+c，其中ac＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据ac＜0得出a，c异号，然后判断即可． 【解答】解：∵ac＜0， ∴a，c异号， 当a＞0时，c＜0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在负半轴， 当a＜0时，c＞0，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在正半轴， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握． 7．二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．二次函数的最小值是﹣2 C．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 D．抛物线的对称轴是直线x 【分析】利用表中所给数据可求得抛物线解析式，再化为顶点式，逐项判断即可． 【解答】解： ∵当x＝﹣4或x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝4， ∴，解得， ∴y＝x2+5x+4＝（x）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x，最小值为，当x时，y随x的增大而增大， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键． 8．已知二次函数y＝mx2﹣4mx+1，其中m＞0，若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】由y＝mx2﹣4mx+1＝m（x﹣2）2+1﹣4m，可知在3≤x≤6范围内，函数的最小值为1﹣4m，最大值为1，若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则﹣5＜1﹣4m≤﹣4，解得即可． 【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+1＝m（x﹣2）2+1﹣4m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 当x＝0时，y＝1， 当x＝4时，y＝1， ∵m＞0，当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个， ∴当2≤x≤4时，y随着x的增大而增大， 则﹣5＜1﹣4m≤﹣4， ∴m， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由二次函数y＝ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由对称轴为直线x＝﹣1可得b＝2a，再将x＝1代入可判断①，找出（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看作抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，找出交点个数可判断③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，可判断④． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1． ∴b＝2a， ∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴3a+c＜0，故①错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1）， 又∵2＜3， ∴y1＞y2，故②正确， 方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看作抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点， 由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误， 不等式ax2+bx+c＞2的解集可看作抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分， ∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2）， ∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是　（1，5）　 ． 【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2+5是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）． 【点评】考查顶点式y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标是（h，k）． 12．若二次函数：y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x＝1时，y的值为　﹣27　 ． x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 【分析】直接利用二次函数的对称性得出其对称轴进而得出当x＝1时与x＝﹣7时对应的y的值相等，即可得出答案． 【解答】解：由表中数据当x＝﹣2，﹣4时对应的y值相等， 故对称轴为直线x＝﹣3， 则x＝1时与x＝﹣7时对应的y的值相等， 故当x＝1时，y的值为﹣27． 故答案为：﹣27． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出二次函数对称轴是解题关键． 13．已知抛物线y＝﹣x2+2x+1．沿x轴翻折所得抛物线表达式为 y＝x2﹣2x﹣1　 ． 【分析】关于x轴对称的两点x坐标相同，y坐标互为相反数． 【解答】解：根据题意，﹣y＝﹣x2+2x+1， 所以y＝x2﹣2x﹣1． 故答案为：y＝x2﹣2x﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 14．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ 　3　 ． 【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得x1+x2＝3． 【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上， ∴P、Q关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴x1+x2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键． 15．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+2x+3　 ． 【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值． 【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b， 把A（0，3）代入，得 3＝﹣1+b， 解得b＝4， 则该函数解析式为y＝x2+2x+3． 故答案为：y＝x2+2x+3． 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点． 16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度y（m）和运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 　10　 m． 【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解答】解： 当y＝0时，得：， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去） 即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二次函数的应用，利用y＝0时求出x的值是解题关键． 三．解答题（共6小题） 17．已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，判断点（﹣1，2）是否在新抛物线上． 【分析】（1）把二次函数的解析式化成顶点式即可求解； （2）根据平移的规律得到新的解析式，然后代入（﹣1，2）即可判断． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）若该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线为y＝（x+1）2﹣2， 把x＝﹣1代入得，y＝﹣2， ∴点（﹣1，2）不在新抛物线上． 【点评】本题考查了二次函数的性质与二次函数图象与几何变换，同时还考查了二次函数图象上点的坐标特征． 18．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a2+ab﹣2等式右边是通常的加法、减法及乘法、乘方运算． 比如：2（1⊕3）＝2×（12+1×3﹣2） ＝2×（1+3﹣2） ＝2×2＝4 （1）求方程x⊕1＝0的解； （2）验证点是否在函数y＝x⊕（﹣1）的图象上； （3）用配方法求出函数的对称轴和顶点坐标． 【分析】（1）根据新定义运算可将方程化为一元二次方程求解． （2）将函数y＝x⊕（﹣1）化为二次函数求解． （3）将函数的解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）由题意得x⊕1＝x2+x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2． （2）y＝x⊕（﹣1）＝x2﹣x﹣2， 将x代入y＝x2﹣x﹣2得y， ∴点不在函数y＝x⊕（﹣1）的图象上． （3）（x2﹣4x﹣2）（x2﹣4x+4）﹣3（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，将新定义函数转化为二次函数求解． 19．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3． 把代入解析式，得， 解得． ∴． （2）该女生在此项考试中是得满分． 理由：令y＝0，即， 解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）． ∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m． ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 20．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？ （3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据每件的销售利润×每天的销售量＝425，解一元二次方程即可； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润＝每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b， 由题意可知：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150； （2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425， 解得：x1＝13，x2＝25（舍去）， ∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； （3）w＝y（x﹣8）， ＝（﹣5x+150）（x﹣8）， w＝﹣5x2+190x﹣1200， ＝﹣5（x﹣19）2+605， ∵8≤x≤15，且x为整数， 当x＜19时，w随x的增大而增大， ∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC．点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，AP交y轴于点D． （1）求k的值； （2）当△ACD为等腰三角形时，求点D的坐标； （3）连接BD，BP，求△BDP面积的最大值． 【分析】（1）将点C（0，4）代入y＝﹣x2+k，即可求k； （2）设D（0，t），分三种情况讨论：当CD＝AD时D（0，）；当CD＝AC时，不符合题意；当AC＝AD时，不符合题意； （3）设P（m，﹣m2+4），求出直线AP的解析式为y＝（2﹣m）x+4﹣2m，可知D（0，4﹣2m），再由△BDP面积＝△ABP面积﹣△ABD面积＝﹣2（m﹣1）2+2，可求△BDP的面积的最大值为2． 【解答】解：（1）将点C（0，4）代入y＝﹣x2+k， ∴k＝4； （2）∵k＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4， 当y＝0时，﹣x2+4＝0， 解得x＝2或x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AC＝2， 设D（0，t）， 当CD＝AD时，4﹣t，解得t， ∴D（0，）； 当CD＝AC时，4﹣t＝2，解得t＝4﹣2（舍）； 当AC＝AD时，2，解得t＝4（舍）或t＝﹣4（舍）； 综上所述：D（0，）； （3）设P（m，﹣m2+4），直线AP的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线AP的解析式为y＝（2﹣m）x+4﹣2m， ∴D（0，4﹣2m）， ∴△BDP面积＝△ABP面积﹣△ABD面积 （﹣m2+4）×44×（4﹣2m） ＝﹣2（m﹣1）2+2， ∴△BDP的面积的最大值为2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）当a＝1时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值． （2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值． 【分析】（1）①先求出a＝1时的函数解析式并化成顶点式，据此确定顶点坐标；假设顶点坐标在第三象限列出关于b的不等式组，根据不等式组的解集情况即可证明结论； ②由二次函数与一元二次方程的关系结合题意可得b＜1，进而得到b＝0，从而确定函数解析式．最后求出x1＝0、x2＝2，然后作差即可解答； （2）先根据一次函数的性质得到m＝2﹣m，解得：m＝1；则，解得b＝﹣2；抛物线解析式可化为y＝ax2﹣4x+1，然后将点B的坐标代入直线和抛物线解析式求得a、n，即可确定抛物线解析式，再确定对称轴，最后分三种情况分别根据二次函数的增减性即可解答． 【解答】（1）①证明：当a＝1时，代入抛物线并化为顶点式得： ， ∴顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， ∴该不等式组无解， ∴抛物线的顶点不在第三象限； ②解：∵b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2）， ∴Δ＝（b﹣2）2﹣b2＞0． ∴b＜1， ∴b＝0， ∴抛物线为y＝x2﹣2x， 当y＝0时，x1＝0，x2＝2．则x2﹣x1＝2； （2）解：b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）， ∴m＝2﹣m． 解得：m＝1． ∴． ∵b＜0， ∴b＝﹣2． ∴y＝ax2﹣4x+1， ∵直线y＝ax+m与该抛物线有交点B（2，n），将点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线为y＝4x2﹣4x+1． ∴y＝4x2﹣4x+1的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，t≤x≤t+1，y随x的增大而减小， ∴当x＝t+1时，y取最小值为4t2+4t+1． ②当，即时，，y随x的增大而减小， ，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最小值为0． ③当时，t≤x≤t+1，y随x的增大而增大， ∴当x＝t时，y取最小值为4t2﹣4t+1． 综上可知，当时，y取最小值为4t2+4t+1；当时，y取最小值为0；当时，y取最小值为4t2﹣4t+1． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $