第二十二章《二次函数》期末基础知识复习及习题汇编2025-2026学年人教版数学九年级上册

该初中数学讲义以“基础铺垫-核心突破-综合应用”为主线构建二次函数知识体系，通过表格对比三种表达式特征及适用场景，用框架图呈现图像性质与系数关系，清晰梳理定义、图像、性质、应用的内在逻辑，突出最值求解和方程不等式综合等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，选择填空覆盖基础辨析，解答题聚焦实际建模如利润最值问题和几何存在性问题，通过易错点表格培养推理能力，用待定系数法步骤强化运算能力，助力学生自主突破薄弱点，为教师实施分层教学提供系统支持。

九年级期末基础知识复习及习题汇编 第22章 二次函数 本章是初中函数体系的核心内容，承接一次函数、反比例函数，聚焦二次函数的定义、图像、性质及实际应用，重点考查 “函数表达式确定”“图像性质分析”“最值求解”“与方程 / 不等式综合” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破二次函数与几何的综合难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：二次函数的核心定义与表达式 准确理解二次函数的定义、掌握三种表达式的特征，是求解参数、分析性质的前提，需重点把握 “二次项系数非零” 的核心限制与表达式的灵活转化。 1. 二次函数的定义 一般地，形如（为常数，） 的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 核心限制：（若，函数退化为一次函数）。 自变量取值范围： 数学意义上：为全体实数； 实际问题中：需结合情境补充限制（如面积问题中边长为正数，时间不能为负数)。 2. 二次函数的三种表达式（核心考点） 二次函数有三种常见形式，需根据已知条件灵活选择，实现 “知式析形” 与 “知形求式” 的转化： 表达式类型 形式 适用场景 关键特征 一般式 已知函数图像上任意三点坐标 可通过配方法转化为顶点式，求对称轴、顶点；通过因式分解（若可能）转化为交点式 顶点式 k 已知顶点坐标\((h,k)\)或对称轴、最值 直接读出顶点、对称轴为函数的最值（时为最小值，时为最大值） 交点式 已知函数图像与x轴的两个交点、 直接读出与轴的交点；对称轴为（两点的中点横坐标） 3. 表达式的转化 一般式→顶点式：通过配方法转化， 交点式→一般式：展开多项式即可. 二、核心突破：二次函数的图像与性质 二次函数的图像是抛物线，其开口方向、对称轴、顶点、增减性等性质均由系数（或）决定，是 “数形结合” 的核心载体。 1. 图像特征（抛物线的基本属性） 形状：开口向上或向下的抛物线（轴对称图形，只有一条对称轴）； 对称轴： 一般式：； 顶点式：； 交点式：； 顶点： 一般式：通过配方法或公式）计算； 顶点式：直接为)； 与坐标轴的交点： 与轴交点：令，得()（必过一点，且唯一）； 与轴交点：令，解方程，交点个数由判别式决定（见下表）。 2. 性质与系数的关系（核心考点） 系数共同决定抛物线的位置与增减性，具体对应关系如下表： 系数 / 判别式 符号 / 取值 图像特征与性质 （开口方向） 0 开口向上，抛物线有最低点（顶点），函数有最小值（或） 开口向下，抛物线有最高点（顶点），函数有最大值k（或） 与（对称轴位置） >0（异号） 对称轴在轴右侧 =0() 对称轴为轴（） <0（同号） 对称轴在轴左侧 （与轴交点） 与轴交于正半轴，(()在轴上方 与轴交于原点，((0)在轴上方 与轴交于负半轴，(()在轴下方 （与轴交点） 与轴有两个不同交点（方程有两个不等实根） 与轴有一个交点（顶点在轴上，方程有两个相等实根） 与轴无交点（方程无实根） 3. 增减性（高频易错点） 二次函数的增减性以对称轴为界，分两侧讨论，需严格遵循 “对称轴左侧”“对称轴右侧” 的前提： 的符号 对称轴左侧或 对称轴右侧或 0开口向上） 随的增大而减小 随的增大而增大 0（开口向下） 随的增大而增大 随的增大而减小 易错警示：若忽略 “对称轴两侧” 的前提，直接说 “0时随增大而增大” 会出错。 4. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 与一元二次方程的关系：抛物线与x轴的交点横坐标，就是方程的实根（)时）。 与一元二次不等式的关系： 当0时： 0（抛物线在x轴上方）对应或（）； （抛物线在x轴下方）对应（）。 当时： （抛物线在x轴下方）对应（）； 0（抛物线在x轴上方）对应或（）。 三、核心技能：二次函数表达式的确定 确定二次函数表达式的关键是求系数（或或，常用待定系数法，根据已知条件选择合适的表达式形式可简化计算。 1. 待定系数法的三种场景 已知条件 选择表达式 解题步骤 图像过任意三点 一般式 1. 设表达式；2. 将三点坐标代入，列三元一次方程组；3. 解方程组求；4. 代入表达式整理。 已知顶点 + 任意一点 顶点式k 1. 设表达式，代入顶点；2. 将已知点坐标代入，列一元一次方程；3. 解方程求；4. 代入表达式（可整理为一般式）。 已知与x轴交点 + 任意一点 交点式 1. 设表达式，代入交点(）；2. 将已知点坐标代入，列一元一次方程；3. 解方程求；4. 代入表达式（可整理为一般式）。 2. 易错点：忽略0的验证 若通过方程组解得0，需排除该情况（此时函数不是二次函数），重新分析是否为一次函数。 四、综合应用：实际问题与函数综合题 期末考查重点分为两类：一是二次函数的实际建模（最值问题），二是与几何图形（三角形、四边形）的综合应用，后者常作为压轴题出现。 1. 实际应用：二次函数的最值建模 当实际问题中变量的关系为二次函数（如面积、利润、高度等），且需求 “最大值” 或 “最小值” 时，可通过二次函数的顶点求解0求最小，0求最大）。 （1）常见场景与模型 场景 等量关系 函数模型 面积最值 面积 = 长 × 宽（或底 × 高），设其中一个量为，用表示另一个量 ，求最大面积） 利润最值 总利润 =（单价 - 成本）× 销量，设单价变化量为，表示销量 （0)，求最大利润） 运动轨迹 抛射体运动（如小球竖直上抛），高度与时间的关系 （0)，求最大高度） （2）解题步骤 审：分析题意，找出变量间的等量关系，确定 “固定量” 与 “变量”； 设：设自变量为（如边长、单价变化量、时间），函数为（如面积、利润、高度）； 列：根据等量关系列出二次函数表达式； 求：通过顶点式或顶点公式求最值（注意自变量的实际取值范围，若顶点横坐标在范围内，最值为顶点纵坐标；若不在，最值在区间端点处）； 验：检验结果是否符合实际（如长度为正、利润非负）。 2. 与几何图形的综合应用（高频压轴） 核心是 “以形助数”“以数解形”，利用二次函数性质分析图形位置，结合几何性质（如全等、相似、勾股定理）求解。 （1）核心考点 求交点坐标：联立二次函数与一次函数（或其他函数）的解析式，解方程组（交点坐标是方程组的解）； 求图形面积：利用交点坐标和坐标轴，通过 “割补法” 将不规则图形（如抛物线与直线围成的图形）转化为矩形、三角形或梯形计算； 存在性问题：判断是否存在点P，使△PAB为等腰三角形 / 直角三角形 / 平行四边形等，需分情况讨论（如等腰三角形分 “PA=PB”“PA=AB”“PB=AB” 三种情况）。 （2）解题思路 建系：若未给出坐标系，需根据图形特征建立平面直角坐标系（如以顶点、对称轴为坐标轴）； 求式：确定二次函数与其他函数的表达式； 找关系：结合几何性质（如线段相等、角度为 90°）列方程； 求解验证：解方程得坐标，检验是否符合图形范围。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 定义类错误 1. 忽略0，认为 “一定是二次函数”；2. 混淆二次函数与一次函数，如将误判为一次函数。 1. 判定函数类型时，先看最高次项系数是否非零；2. 牢记 “二次函数必须满足：① 整式；② 最高次项为 2 次；③ 二次项系数0”。 性质类错误 1. 增减性漏 “对称轴两侧” 前提，如 “0时y随x增大而增大”；2. 误将 “顶点横坐标” 当 “最值”，如认为顶点中h是最值。 1. 分析增减性时，先标出对称轴，明确 “左侧”“右侧”；2. 牢记 “顶点纵坐标k是最值，横坐标h是取得最值的x值”。 计算类错误 1. 配方法出错（如漏乘二次项系数）；2. 顶点公式记错；3. 与x轴交点个数判断错误。 1. 配方法步骤：先提二次项系数，再配方，最后整理；2. 熟记顶点公式、判别式公式，计算后代入检验；3. 判断与x轴交点前，先算。 实际问题类错误 1. 忽略自变量的实际取值范围，如 “边长为负数”；2. 最值求解时，未判断顶点横坐标是否在取值范围内。 1. 列表达式后，标注自变量的实际范围；2. 求最值前，先检查顶点横坐标是否在范围内，不在则取端点值。 综合题类错误 1. 存在性问题漏情况（如等腰三角形只考虑一种边相等）；2. 面积计算时，图形割补错误。 1. 存在性问题分情况讨论，用 “分类列表” 避免漏解；2. 面积计算前，画出示意图，标注已知坐标，确定割补方案（如 “大矩形减小三角形”）。 六、备考策略 夯实基础：“三式三性” 过关 掌握三种表达式的转化（一般式↔顶点式↔交点式），通过 “给定表达式画图像”“给定图像写表达式” 双向训练； 牢记 “开口方向、对称轴、增减性” 三大性质，结合具体例子默写性质。 突破难点：针对性训练 针对 “最值问题”：多练面积、利润类实际题，重点训练 “自变量范围对最值的影响”； 针对 “综合题”：重点练 “二次函数 + 一次函数 + 三角形” 的综合题，总结 “求表达式→找交点→析图形→算面积 / 判存在” 的解题流程。 规范步骤：避免逻辑漏洞 待定系数法需写 “设→代→求→写” 四步，每一步标注依据； 实际问题需写 “设变量→列表达式→求最值→检验”，明确自变量范围； 综合题分情况讨论时，需标注 “情况 1：XXX”“情况 2：XXX”，避免混乱。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “配方法错误”“增减性漏前提”“实际问题漏范围” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀:二次函数抛物线，是关键；正开口向上翘，负开口向下弯；一般式含，顶点式里见；交点式显，三式转化很方便。对称轴是生命线，记心间；增减性分两侧看，顶点最值在顶端；实际问题找关系，变量范围不能忘；综合题用数形合，分类讨论解疑难。 一、选择题汇编 1.下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查二次函数的定义，掌握定义是解决问题的关键．根据二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：、是二次函数，故此选项符合题意； 、中的最高次是次，不是二次函数，故此选项不符合题意； 、中的次数为，故此选项不符合题意； 、，的最高次是次，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：． 2.参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【解答】 参加会议的人两两彼此握手， ． 故选：． 3.若是二次函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据二次函数的二次项系数不为可得关于的不等式，解不等式即得答案． 【解答】解：由题意得： ，则． 故选择：．   4.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】A  5.已知点是二次函数图像上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】解析：由题意，得该二次函数图像开口向上， 对称轴为直线 ． 又当  时，随  的增大而减小， 所以，解得． 则的取值范围是 6.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【解答】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ，，， ， ， 故选：． 7.如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】解:二次函数的图象开口向上，．对称轴在轴的左边，．． 图象与轴的交点坐标是，过点，代入得：． ，．． 把代入得：， ，．． ，．．，即． 故选． 8.将二次函数化为的形式为（        ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】解：， 即. 故选. 9.二次函数的图象如何平移可得到的图象（    ） A.向左平移个单位，向上平移个单位 B.向右平移个单位，向上平移个单位 C.向左平移个单位，向下平移个单位 D.向右平移个单位，向下平移个单位 【答案】C 【解析】本题考查了二次函数的图象的平移问题． 根据配方法，可得顶点式解析式，根据平移规律“左加右减，上加下减”，可得答案． 【解答】 二次函数向左平移个单位，向下平移个单位可得到的图象． 故选：． 10.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其顶点的坐标，进而可得右边抛物线的顶点的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓所在抛物线的解析式． 【解答】解：左轮廓所在抛物线的解析式为， 左边抛物线的顶点的坐标为， 右边抛物线的顶点的坐标为， 故右边抛物线的解析式为， 故选：． 11.如图，抛物线的对称轴为直线，、是抛物线上两点，若，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据抛物线的对称性，确定的横坐标的范围，建立不等式求解即可． 【解答】根据抛物线的对称性，当时的函数值与时的函数值相等，由题可知，抛物线开口向下，要使得，则的横坐标应在到之间， 即：，解得：， 故选：． 12.已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，则下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可． 【解答】解：有图意可得：抛物线与轴有两个交点，所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，故①正确； 由抛物线开口向下，可得，由抛物线与轴交于原点上方，可得，，故②正确； 由抛物线对称轴为直线且，可得，故③错误； 由抛物线的顶点坐标为，可得当时，有最大值为 关于的一元二次方程的解为，即有两个相等的实数根，故④正确 正确的共个， 故选： 13.已知二次函数及一次函数,将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新的函数图象(如图所示),当直线与新图象有个交点时,的取值范围是（ ） A. B. C. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】如图,令,解得,则,,二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分的解析式为,即,当直线经过点时,,解得;当直线与抛物线有唯一公共点时,方程有两个相等的实数解,即有两个相等的实数解,此时,解得,分析图象可知当直线与新图象有个交点时,的取值范围为． 故选． 14.如图，二次函数的图象经过点，顶点为，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D.关于的方程无实数根 【答案】C 【解析】根据二次函数的图像和性质逐个判断即可． 【解答】解：图象开口向下， ， 顶点为， 对称轴为， ， ， 图象与轴交于正半轴， ， ， 选项正确； 图象与轴有两个交点， ， ， 选项正确； 对称轴为， ， 图象经过点， 图象与轴的另一个交点为， ， ， 选项错误； 顶点为， 二次函数的最大值为， ， 关于的方程无实数根， 选项正确． 故选：． 15.如图，在矩形中，，点 从点出发，以的速度沿 方向运动到点 停止，同时点 从点 出发，以的速度沿路线 运动到点 停止.若 的面积为（单位：），运动时间为（单位：），则下列最能反映与之间的函数关系的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想． 根据题意分三部分确定函数解析式：当时，当时，当时，然后结合函数图像求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ， 当时，， 当时，，故选项不合题意； 当时，，此时图象为抛物线，且抛物线的开口向下，故选项符合题意，选项、不合题意． 故选：． 16.如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有个交点时，． 下列说法正确的是（    ） A.只有①正确 B.只有②④正确 C.只有③④不正确 D.①②③④都正确 【答案】C 【解析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【解答】解：，且， 的最大值为， 无论取何值，总是负数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ， 的顶点坐标为， ， 顶点坐标为， 抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到的，故②正确； ， 当时，的值随着的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有个交点时，直线过的顶点或点， 此时或，故④错误． 故选： 17.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是 A. B. C. D.以上都正确 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【解答】解：、、两点在抛物线上， 当时，，原选项错误，不符合题意； 、在抛物线上， 当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 18.在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ） ①． ②． ③当线段长取最小值时，则的面积为． ④若点，则． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，将问题转化成一元二次方程问题去解决即可得解． 【解答】解：由题意，联列方程组 可得得，满足方程；，满足方程． 依据根与系数的关系得，，，，， ①、②正确． 由两点间距离公式得，． 当时，最小值为． ． ③正确． 由题意，，， ． 当时，；当是，与不垂直． ④错误． 故选：． 19.如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移个单位长度后与直线有个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【解答】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， 函数的解析式为，其顶点坐标为， 函数在段的图象的最高点的坐标为， 将函数图象向上平移个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， 将函数图象向上平移个单位长度后与直线有个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， 方程根的判别式， 解得， 当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值，最小值为， 对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：． 20.抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，，为抛物线上三点，且，，则；⑥当是等腰直角三角形时，则；其中正确的有（    ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据抛物线的对称性，抛物线的最值，函数的增减性，与三角形的性质结合判断即可． 【解答】因为， 所以， 因为， 所以； 所以①错误； 因为抛物线交轴于，， 所以，， 所以；， 所以②正确； 因为抛物线交轴于， 所以， 所以， 所以， 所以③错误； 因为抛物线的对称轴为， 所以抛物线有最小值，且为， 当时，， 所以， 所以④正确； 因为，，为抛物线上三点，且，， 所以， 所以的对称点坐标为， 所以， 根据抛物线对称轴的左侧，随的增大而减小， 所以； 所以⑤正确； 设对称轴与轴的交点为， 因为抛物线交轴于，， 所以对称轴为，， 所以抛物线有最小值，且为， 所以， 因为是等腰直角三角形， 所以， 所以， 解得或（舍去）， 所以； 所以⑥正确， 故选． 二、填空题汇编 21.若抛物线的顶点在轴上，则______0___________． 【答案】 【解析】本题考查二次函数的性质，根据的顶点坐标为求解即可． 【解答】解：抛物线其顶点坐标为， 顶点在轴上， ， ， 故答案为：． 22.将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的抛物线的解析式是    ． 【答案】． 【解析】根据二次函数图像平移规律：左加右减，上加下减，进行解答即可. 【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移个单位，再向下平移个单位，新抛物线的顶点为，新抛物线的解析式为：； 故答案为 23.已知点在抛物线上，当时，总有，当时，总有，则的值为____________． 【答案】 【解析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键． 根据抛物线的顶点坐标和增减性，结合条件判断的符号，并利用对称点函数值相等建立方程求解． 【解答】解：抛物线的顶点为， 由当时，总有， 可知，抛物线开口向下， 和关于对称轴对称，函数值相等且为， 由当时，，将代入函数解析式， 得， 由当时，总有， 得， 故且， 解得，即． 故答案为：． 24.如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为_________________． （2）点是上方抛物线上一动点（不与点，重合），连接，，则面积的最大值为______16___________． 【答案】 【解析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点的坐标，再求出此时的面积即可． 【解答】（1）解：抛物线经过点，， ，解得， ， 该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ，点， ，解得： 直线的解析式为， 设过点且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点到的距离最大， 面积最大， 关于的方程有两个相等的实数根， 有两个相等的实数根， ，解得：， 过点且与直线平行的直线解析式为， ，解得：， ． 作轴交于点， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ， 点的坐标为， 此时的面积． 25.二次函数，，是常数，的图象如图所示，对称轴为直线．有以下结论：①；②（为实数）；③（为实数）；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 ____①②③④⑤_______（只填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 【解析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得时最大，从而判断③；由对称轴可得，由时可判断④；根据函数与的图象有两个交点可判断⑤． 【解答】解：抛物线开口向下，与轴交点在轴正半轴， ，， 又对称轴是直线， ， ，故①正确； 对称轴是直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 是实数， ， ， 即，故②正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为 ， ， 即， 故③正确； 由图象知，时，， ， ， ， ，故④正确； 根据图象可知，函数与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根， 故⑤正确， 故答案为：①②③④⑤． 26.如图，抛物线与轴交于点，顶点为，连接并延长交抛物线的另一个交点为点，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，且，当时，则的值是 __________________________． 【答案】 【解析】设、，因为抛物线的顶点为，连接并延长交抛物线的另一个交点为点，只有点在线段上这个情况，由，利用相似三角形的性质可得出、间的关系，将、点坐标代入抛物线与抛物线对称轴联立方程组，解方程组即可求得的值．本题属于二次函数综合题型，主要考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据找到、点坐标的关系． 【解答】解：过点作轴， ， 设、点坐标分别为、， ， ，， ， 如图所示． ， 点为线段的中点， ，， 点横坐标为． 由题意知、点均在抛物线的对称轴上， ，． 点坐标为， ，在抛物线上，且抛物线对称轴为， 把，，对称轴为分别代入 得出 ， 解得：，或， ， ． 故答案为：．  27.如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为____或_______________． 【答案】或 【解析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．根据图象求得答案即可． 【解答】解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 28.二次函数的图象与轴交于点，，，则常数的值为__或__________． 【答案】或 【解析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于的方程，解方程即可． 【解答】解：二次函数的图象与轴交于点，， 令，即， 0 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，的值为或． 故答案为：或 29.如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是 __或__________ ． 【答案】或 【解析】本题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键．根据图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【解答】解：抛物线与直线交于，两点， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 30.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加_________________． 【答案】 【解析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．根据已知得出直角坐标系，设这条抛物线为，把代入进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，则， 可设这条抛物线为， 把代入得：， 解得：， ， 当时，， 解得：， 水面下降，水面宽度增加． 故答案为：． 31.公园要建造一个如图的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，恰在水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少______2.5__________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 【答案】 【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数解决喷水问题，求抛物线的解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 先利用顶点式求出抛物线解析式，然后转化成一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是，并且经过点， 设抛物线解析式为， 则， 解得， 右侧的抛物线解析式为， 当时，， 解得（舍去）， 水池的半径至少米． 故答案为：． 32.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，则点到直线的距离的最大值是____________． 【答案】 【解析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，一次函数的应用，勾股定理，先求出，得到，直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，求出，从而可得，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，，即，， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ， ， ， 当时，的值最大，为， ， 此时的值也最大，为， 故答案为：． 33.如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是___或_________． 【答案】或 【解析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【解答】解：令，则， 令，则， 解得或， ，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ，，， ，，而， ，， ， ，即， 设直线为， ，解得：， 直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ，，， ， ， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或 故答案为：或 34.如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；② ；③的两根为和；④ ；⑤关于的一元二次方程有两个相等的解，其中正确的命题是__①③④⑤______．（只要求填写正确命题的序号） 【答案】①③④⑤ 【解析】此题暂无解析 【解答】解：∵ 时，， ∴ ，所以①正确； ∵ ， ∴ ，所以②错误； ∵ 点关于直线对称的点的坐标为， ∴ 抛物线与轴的交点坐标为和， ∴ 的两根分别为－和，所以③正确； ∵ 抛物线与轴的交点在轴下方， ∴ , 而, ∴ , ∴ . ∵ ， ∴ ，所以④正确． ∵ ， ∴ ， ∴ 关于的一元二次方程有两个相等的解，所以⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 35.已知二次函数，，为常数，图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 以上结论正确的有（请填写序号）________②③④⑤____________； 【答案】②③④⑤ 【解析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【解答】解：二次函数，，为常数，图像的顶点坐标是， 且经过，两点， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，抛物线与轴的交点为：和， 图像如下所示： 令，当， ， ， 结合函数图像可知有两个相等的实数根， 当， 结合函数图像可知没有实数根， 当， 结合函数图像可知有两个不相等的实数根，故①错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，故②正确； 抛物线与轴的交点为：和 二次函数为， ， ， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ， ， ，， ， 即对于任意实数，，故⑤正确， 综上：②③④⑤正确， 故答案为：②③④⑤ 三、解答题汇编 36.． （1）当取何值时，此函数是正比例函数？ （2）当取何值时，此函数是二次函数？ 【答案】当时，此函数是正比例函数； 当时，此函数是二次函数． 【解析】（1）根据正比例函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【解答】（1）解：函数是正比例函数， 且， 解得：； 当时，此函数是正比例函数； （2）解：函数是二次函数， 且， 解得：， 当时，此函数是二次函数． 37.数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： 抛物线开口向下， ， ， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 【答案】错误，原因是忽略了的指数为，正确解法见解析 【解析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【解答】解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：抛物线开口向下， ， ， 又函数为二次函数， ， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 38.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 【答案】， 当时，有最大值为平方米 【解析】（1）此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式以及二次函数的性质，注意在求自变量的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定． 依题意易求得与的函数关系式以及的取值范围； 把的函数关系式用配方法化简求得的最大值即可． 【解答】（1）解：由题意得：， 自变量的取值范围是； （2）解： ， 当时，随着的增大而增大， ，， 当时，有最大值为平方米， 即当时，满足条件的绿化带面积最大． 39.如图，现有长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … … … … … … （1）表格中__3.5____； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当__4.7____时，； ②当__7.1____时，． 【答案】 见解答 ①；② 【解析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合得到的结论及函数图象，可得当约为多少时， 【解答】 （1）解:当时，， 故答案为：； （2） （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的的值约为 故答案为：； ②结合得到的结论及函数图象，可得当约为时，， 故答案为：； 40.已知关于的方程（为实数） （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若是方程的一个根，抛物线与轴交于、两点，结合图形（画草图），写出时自变量的取值范围； 【答案】且； 或． 【解析】（1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根；画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或． 【解答】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； 则抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或． 41.祁门红茶是安徽名茶之一．某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元．经调查发现，其日销售量与售价元之间的函数关系如图所示． （1）与之间的函数表达式为_______； （2）设日利润为元，求与之间的函数表达式，并求出最大日利润； （3）若公司想获得不低于元的日利润，求售价的范围． 【答案】 ，最大日利润为元 【解析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意列出二次函数关系式，然后根据二次函数的图象和性质进行求最值即可； （3）根据题意求出一元二次方程的根，然后结合二次函数的图象进行求解即可． 【解答】（1）解：设函数表达式为， 将代入解析式得， 解得， 函数表达式为， 故答案为：； （2）解：根据题意得， ， 因为，所以当时，取得最大值，即最大日利润为元； （3）解：当时，解得 ， 因为，所以公司想获得不低于元的日利润，售价的范围为．  42.如图是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如下表： （米） （米） （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为____6_______米，并求出满足的函数关系式； （2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． （3）若如图的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于米且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到米）？ 【答案】，． 见解答 隧道需标注的限高应为米 【解析】（1）根据二次函数的对称性可知在时取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可； （3）令，求得相应的值，结合到隧道顶面的距离不小于米,可得汽车最高点距地面的距离即可解答． 【解答】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当时，有最大值， 设 的坐标为 ，解得 ． 故答案为：，． （2）解：根据题意，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： （3）解：令，可得 隧道需标注的限高应为（米）． 答：隧道需标注的限高应为米． 43.项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： 根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的__一次____函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为______． 现计划在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】一次， 销售单价应定为元 黄花的最优销售单价为元/千克，最大利润为元 【解析】（1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）利用中销售量求得利润函数，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）利用中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值． 【解答】（1）解：观察表格可知黄花每月的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为， 将点代入，得 ， 解得， 一次函数关系式为． 故答案为：一次函数，； （2）解：根据题意知，月销售利润为： ， 月销售利润达到元， ， 解得， 当时， 销售成本为， 不符合题意舍去； 当时， 销售成本为， 符合题意； 故销售单价应定为元； （3）解：根据题意，得， ， 抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 答：当黄花的单价为元/千克，最大利润为元． 44.如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】抛物线的解析式 当时，的面积有最大值，最大值为 点的坐标为或或或 【解析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点，交于点，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点作轴于点，交直线于点，作于点，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出的值可得答案． 【解答】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ， 解得：， 抛物线的解析式； （2）解：作轴于点，交于点， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点作轴于点，交直线于点，作于点， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或或或． 45.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】 ①点；②的最大值为 或 【解析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①过点作轴交于点，交轴于点，由得，当时，，则，，由，得，，从而得出点； ②求出直线的函数表达式为，设，则，，则，故有，然后通过二次函数的性质即可求解； （3）先求得解析式为，设，由在直线上方，，则，然后找出临界点，从而求解． 【解答】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得，    抛物线的解析式为； （2）解：①如图，过点作轴交于点，交轴于点， 由得，当时，， ， ， ， ， ，， ， ， 点， ②设直线解析式为，代入， ， 解得， 直线解析式为， 设，则，， ，， ， ， 当时，的值最大，的最大值为； （3）解：设直线解析式为，代入， 解得： 直线解析式为， 设， 在直线上方，， ， 如图，当点在抛物线上时，， ， 解得， ， 当与重合时，此时， 当与重合时，此时， 线段与抛物线有交点， 满足条件的的取值范围为或． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末基础知识复习及习题汇编 第22章 二次函数 本章是初中函数体系的核心内容，承接一次函数、反比例函数，聚焦二次函数的定义、图像、性质及实际应用，重点考查 “函数表达式确定”“图像性质分析”“最值求解”“与方程 / 不等式综合” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破二次函数与几何的综合难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：二次函数的核心定义与表达式 准确理解二次函数的定义、掌握三种表达式的特征，是求解参数、分析性质的前提，需重点把握 “二次项系数非零” 的核心限制与表达式的灵活转化。 1. 二次函数的定义 一般地，形如（为常数，） 的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 核心限制：（若，函数退化为一次函数）。 自变量取值范围： 数学意义上：为全体实数； 实际问题中：需结合情境补充限制（如面积问题中边长为正数，时间不能为负数)。 2. 二次函数的三种表达式（核心考点） 二次函数有三种常见形式，需根据已知条件灵活选择，实现 “知式析形” 与 “知形求式” 的转化： 表达式类型 形式 适用场景 关键特征 一般式 已知函数图像上任意三点坐标 可通过配方法转化为顶点式，求对称轴、顶点；通过因式分解（若可能）转化为交点式 顶点式 k 已知顶点坐标\((h,k)\)或对称轴、最值 直接读出顶点、对称轴为函数的最值（时为最小值，时为最大值） 交点式 已知函数图像与x轴的两个交点、 直接读出与轴的交点；对称轴为（两点的中点横坐标） 3. 表达式的转化 一般式→顶点式：通过配方法转化， 交点式→一般式：展开多项式即可. 二、核心突破：二次函数的图像与性质 二次函数的图像是抛物线，其开口方向、对称轴、顶点、增减性等性质均由系数（或）决定，是 “数形结合” 的核心载体。 1. 图像特征（抛物线的基本属性） 形状：开口向上或向下的抛物线（轴对称图形，只有一条对称轴）； 对称轴： 一般式：； 顶点式：； 交点式：； 顶点： 一般式：通过配方法或公式）计算； 顶点式：直接为)； 与坐标轴的交点： 与轴交点：令，得()（必过一点，且唯一）； 与轴交点：令，解方程，交点个数由判别式决定（见下表）。 2. 性质与系数的关系（核心考点） 系数共同决定抛物线的位置与增减性，具体对应关系如下表： 系数 / 判别式 符号 / 取值 图像特征与性质 （开口方向） 0 开口向上，抛物线有最低点（顶点），函数有最小值（或） 开口向下，抛物线有最高点（顶点），函数有最大值k（或） 与（对称轴位置） >0（异号） 对称轴在轴右侧 =0() 对称轴为轴（） <0（同号） 对称轴在轴左侧 （与轴交点） 与轴交于正半轴，(()在轴上方 与轴交于原点，((0)在轴上方 与轴交于负半轴，(()在轴下方 （与轴交点） 与轴有两个不同交点（方程有两个不等实根） 与轴有一个交点（顶点在轴上，方程有两个相等实根） 与轴无交点（方程无实根） 3. 增减性（高频易错点） 二次函数的增减性以对称轴为界，分两侧讨论，需严格遵循 “对称轴左侧”“对称轴右侧” 的前提： 的符号 对称轴左侧或 对称轴右侧或 0开口向上） 随的增大而减小 随的增大而增大 0（开口向下） 随的增大而增大 随的增大而减小 易错警示：若忽略 “对称轴两侧” 的前提，直接说 “0时随增大而增大” 会出错。 4. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 与一元二次方程的关系：抛物线与x轴的交点横坐标，就是方程的实根（)时）。 与一元二次不等式的关系： 当0时： 0（抛物线在x轴上方）对应或（）； （抛物线在x轴下方）对应（）。 当时： （抛物线在x轴下方）对应（）； 0（抛物线在x轴上方）对应或（）。 三、核心技能：二次函数表达式的确定 确定二次函数表达式的关键是求系数（或或，常用待定系数法，根据已知条件选择合适的表达式形式可简化计算。 1. 待定系数法的三种场景 已知条件 选择表达式 解题步骤 图像过任意三点 一般式 1. 设表达式；2. 将三点坐标代入，列三元一次方程组；3. 解方程组求；4. 代入表达式整理。 已知顶点 + 任意一点 顶点式k 1. 设表达式，代入顶点；2. 将已知点坐标代入，列一元一次方程；3. 解方程求；4. 代入表达式（可整理为一般式）。 已知与x轴交点 + 任意一点 交点式 1. 设表达式，代入交点(）；2. 将已知点坐标代入，列一元一次方程；3. 解方程求；4. 代入表达式（可整理为一般式）。 2. 易错点：忽略0的验证 若通过方程组解得0，需排除该情况（此时函数不是二次函数），重新分析是否为一次函数。 四、综合应用：实际问题与函数综合题 期末考查重点分为两类：一是二次函数的实际建模（最值问题），二是与几何图形（三角形、四边形）的综合应用，后者常作为压轴题出现。 1. 实际应用：二次函数的最值建模 当实际问题中变量的关系为二次函数（如面积、利润、高度等），且需求 “最大值” 或 “最小值” 时，可通过二次函数的顶点求解0求最小，0求最大）。 （1）常见场景与模型 场景 等量关系 函数模型 面积最值 面积 = 长 × 宽（或底 × 高），设其中一个量为，用表示另一个量 ，求最大面积） 利润最值 总利润 =（单价 - 成本）× 销量，设单价变化量为，表示销量 （0)，求最大利润） 运动轨迹 抛射体运动（如小球竖直上抛），高度与时间的关系 （0)，求最大高度） （2）解题步骤 审：分析题意，找出变量间的等量关系，确定 “固定量” 与 “变量”； 设：设自变量为（如边长、单价变化量、时间），函数为（如面积、利润、高度）； 列：根据等量关系列出二次函数表达式； 求：通过顶点式或顶点公式求最值（注意自变量的实际取值范围，若顶点横坐标在范围内，最值为顶点纵坐标；若不在，最值在区间端点处）； 验：检验结果是否符合实际（如长度为正、利润非负）。 2. 与几何图形的综合应用（高频压轴） 核心是 “以形助数”“以数解形”，利用二次函数性质分析图形位置，结合几何性质（如全等、相似、勾股定理）求解。 （1）核心考点 求交点坐标：联立二次函数与一次函数（或其他函数）的解析式，解方程组（交点坐标是方程组的解）； 求图形面积：利用交点坐标和坐标轴，通过 “割补法” 将不规则图形（如抛物线与直线围成的图形）转化为矩形、三角形或梯形计算； 存在性问题：判断是否存在点P，使△PAB为等腰三角形 / 直角三角形 / 平行四边形等，需分情况讨论（如等腰三角形分 “PA=PB”“PA=AB”“PB=AB” 三种情况）。 （2）解题思路 建系：若未给出坐标系，需根据图形特征建立平面直角坐标系（如以顶点、对称轴为坐标轴）； 求式：确定二次函数与其他函数的表达式； 找关系：结合几何性质（如线段相等、角度为 90°）列方程； 求解验证：解方程得坐标，检验是否符合图形范围。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 定义类错误 1. 忽略0，认为 “一定是二次函数”；2. 混淆二次函数与一次函数，如将误判为一次函数。 1. 判定函数类型时，先看最高次项系数是否非零；2. 牢记 “二次函数必须满足：① 整式；② 最高次项为 2 次；③ 二次项系数0”。 性质类错误 1. 增减性漏 “对称轴两侧” 前提，如 “0时y随x增大而增大”；2. 误将 “顶点横坐标” 当 “最值”，如认为顶点中h是最值。 1. 分析增减性时，先标出对称轴，明确 “左侧”“右侧”；2. 牢记 “顶点纵坐标k是最值，横坐标h是取得最值的x值”。 计算类错误 1. 配方法出错（如漏乘二次项系数）；2. 顶点公式记错；3. 与x轴交点个数判断错误。 1. 配方法步骤：先提二次项系数，再配方，最后整理；2. 熟记顶点公式、判别式公式，计算后代入检验；3. 判断与x轴交点前，先算。 实际问题类错误 1. 忽略自变量的实际取值范围，如 “边长为负数”；2. 最值求解时，未判断顶点横坐标是否在取值范围内。 1. 列表达式后，标注自变量的实际范围；2. 求最值前，先检查顶点横坐标是否在范围内，不在则取端点值。 综合题类错误 1. 存在性问题漏情况（如等腰三角形只考虑一种边相等）；2. 面积计算时，图形割补错误。 1. 存在性问题分情况讨论，用 “分类列表” 避免漏解；2. 面积计算前，画出示意图，标注已知坐标，确定割补方案（如 “大矩形减小三角形”）。 六、备考策略 夯实基础：“三式三性” 过关 掌握三种表达式的转化（一般式↔顶点式↔交点式），通过 “给定表达式画图像”“给定图像写表达式” 双向训练； 牢记 “开口方向、对称轴、增减性” 三大性质，结合具体例子默写性质。 突破难点：针对性训练 针对 “最值问题”：多练面积、利润类实际题，重点训练 “自变量范围对最值的影响”； 针对 “综合题”：重点练 “二次函数 + 一次函数 + 三角形” 的综合题，总结 “求表达式→找交点→析图形→算面积 / 判存在” 的解题流程。 规范步骤：避免逻辑漏洞 待定系数法需写 “设→代→求→写” 四步，每一步标注依据； 实际问题需写 “设变量→列表达式→求最值→检验”，明确自变量范围； 综合题分情况讨论时，需标注 “情况 1：XXX”“情况 2：XXX”，避免混乱。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “配方法错误”“增减性漏前提”“实际问题漏范围” 三类错题，标注错误原因，重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀:二次函数抛物线，是关键；正开口向上翘，负开口向下弯；一般式含，顶点式里见；交点式显，三式转化很方便。对称轴是生命线，记心间；增减性分两侧看，顶点最值在顶端；实际问题找关系，变量范围不能忘；综合题用数形合，分类讨论解疑难。 一、选择题汇编 1.下列关于的函数中，是二次函数的是（   ） A. B. C. D. 2.参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（    ） A. B. C. D. 3.若是二次函数，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（        ） A. B. C. D. 5.已知点是二次函数图像上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是（        ） A. B. C. D. 6.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（      ） A. B. C. D. 7.如图，抛物线过点和点，且顶点在第三象限，设，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 8.将二次函数化为的形式为（        ） A. B. C. D. 9.二次函数的图象如何平移可得到的图象（    ） A.向左平移个单位，向上平移个单位 B.向右平移个单位，向上平移个单位 C.向左平移个单位，向下平移个单位 D.向右平移个单位，向下平移个单位 10.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，左轮廓所在抛物线的解析式为．则右轮廓所在抛物线的解析式为（   ） A. B. C. D. 11.如图，抛物线的对称轴为直线，、是抛物线上两点，若，则的取值范围是（      ） A. B. C. D. 12.已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，则下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A. B. C. D. 13.已知二次函数及一次函数,将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新的函数图象(如图所示),当直线与新图象有个交点时,的取值范围是（ ） A. B. C. 14.如图，二次函数的图象经过点，顶点为，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D.关于的方程无实数根 15.如图，在矩形中，，点 从点出发，以的速度沿 方向运动到点 停止，同时点 从点 出发，以的速度沿路线 运动到点 停止.若 的面积为（单位：），运动时间为（单位：），则下列最能反映与之间的函数关系的图象是（    ） A. B. C. D. 16.如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有个交点时，． 下列说法正确的是（    ） A.只有①正确 B.只有②④正确 C.只有③④不正确 D.①②③④都正确 17.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是 A. B. C. D.以上都正确 18.在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ） ①． ②． ③当线段长取最小值时，则的面积为． ④若点，则． A. B. C. D. 19.如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移个单位长度后与直线有个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 20.抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，，为抛物线上三点，且，，则；⑥当是等腰直角三角形时，则；其中正确的有（    ）个． A. B. C. D. 二、填空题汇编 21.若抛物线的顶点在轴上，则________________． 22.将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的抛物线的解析式是    ． 23.已知点在抛物线上，当时，总有，当时，总有，则的值为_________． 24.如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为________________． （2）点是上方抛物线上一动点（不与点，重合），连接，，则面积的最大值为_______________． 25.二次函数，，是常数，的图象如图所示，对称轴为直线．有以下结论：①；②（为实数）；③（为实数）；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 __________（只填写序号）． 26.如图，抛物线与轴交于点，顶点为，连接并延长交抛物线的另一个交点为点，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，且，当时，则的值是 ____________________．  27.如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的实线）．观察图象若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围为__________________． 28.二次函数的图象与轴交于点，，，则常数的值为___________． 29.如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于的不等式的解集是 __________ ． 30.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加______________． 31.公园要建造一个如图的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，高度为米，恰在水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与水平距离为米时，达到距水面最大高度米，（不计其他因素）水池的半径至少____________米，才能使喷出的水流不致落到池外． 32.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，则点到直线的距离的最大值是___________． 33.如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是__________． 34.如图，是二次函数 的图象的一部分，给出下列命题：①；② ；③的两根为和；④ ；⑤关于的一元二次方程有两个相等的解，其中正确的命题是________．（只要求填写正确命题的序号） 35.已知二次函数，，为常数，图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 以上结论正确的有（请填写序号）___________________； 三、解答题汇编 36.． （1）当取何值时，此函数是正比例函数？ （2）当取何值时，此函数是二次函数？ 37.数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： 抛物线开口向下， ， ， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 38.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图）．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）当为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 39.如图，现有长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … … … … … … （1）表格中_____； （2）在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； （3）根据图象，完成下列填空： ①当_____时，； ②当____时，． 40.已知关于的方程（为实数） （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若是方程的一个根，抛物线与轴交于、两点，结合图形（画草图），写出时自变量的取值范围； 41.祁门红茶是安徽名茶之一．某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元．经调查发现，其日销售量与售价元之间的函数关系如图所示． （1）与之间的函数表达式为_______； （2）设日利润为元，求与之间的函数表达式，并求出最大日利润； （3）若公司想获得不低于元的日利润，求售价的范围． 42.如图是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点，测量点到墙面的距离，点到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了与的几组值，如下表： （米） （米） （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面的最大距离为__________米，并求出满足的函数关系式； （2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． （3）若如图的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于米且到隧道顶面的距离不小于米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到米）？ 43.项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … … 每月销售数量（千克） … … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： 根据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为______． 现计划在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为多少？ 若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 44.如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、均为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作的平行线交轴于点，连接交直线于点，连接、． ①求点的坐标； ②求面积的最大值； （3）如图②，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线上方），已知，若线段与抛物线有交点，设点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $