专题04 二次函数基础综合（期末真题汇编58题，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题04 二次函数基础综合 6大高频考点概览 考点01二次函数的图象和性质 考点02 求抛物线与x或y轴的交点坐标 考点03 抛物线与x轴的交点问题 考点04根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点05 图形问题 考点06 销售问题 地 城 考点01 二次函数的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)现要在抛物线上找点，若，则点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)关于抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 11．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，已知抛物线经过等腰直角的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，，则（   ） A．2 B． C． D． 12．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ． 2．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 3．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)二次函数的常数项为 ． 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)抛物线的顶点坐标是 ． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)已知二次函数 (1)当时，如图，此抛物线与x轴交于两点， ①求抛物线的解析式． ②若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (2)当时，若，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由． 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知等腰三角形，，． (1)若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值． (2)若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长． (3)若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标． 4．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式； 地 城 考点02 求抛物线与x或y轴的交点坐标 一、填空题 1．(24-25九上·广东汕头澄海区·期末)二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 二、解答题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 2．(24-25九上·广东肇庆封开县·期末)如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 3．(24-25九上·广东湛江雷州·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 地 城 考点03 抛物线与x轴的交点问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论中：①，②，③，④．正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．当时，x的取值范围是 C． D．若是抛物线上两点，则 3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)抛物线与轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 4．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)对于二次函数，下列说法正确的是（   ）． A．当时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数有最大值1 D．函数图象与轴有2个交点 5．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中m为任意实数）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．(24-25九上·广东珠海·期末)二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值，如表格给出了以下结论： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 5 … ①二次函数有最小值，最小值为； ②当时，； ③二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧； ④当时，y随x的增大而减小． 则其中正确结论有（　　） A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)若抛物线与x轴交于点，则 ． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)二次函数 （，，为常数，）的与的部分对应值如下表： x 0 3 y n 2 2 当时，下列结论中一定正确的是 （填序号）． ①； ②抛物线与轴的交点坐标是和； ③对于任意实数，总有； ④若关于的方程的两根是，则． 三、解答题 1．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 2．(24-25九上·广东广州番禺区·期末)已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 3．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山统考·)已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 地 城 考点04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．(24-25九上·广东汕尾·)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图， 二次函数． 的图象经过点，下列四个结论中∶①抛物线开口向上； ②当时， y取最大值；③当时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根∶ ④直线经过点A， C， 当 时，的取值范围是． 正确的个数有（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．(23-24九上·广东广州南沙区·期末)二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为 ． 地 城 考点05 图形问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)已知一个长方体包装盒的表面展开图如图（单位：）． (1)的长为 ；（用含有的代数式表示） (2)若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； (3)是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的的值和最大容积；若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定在边长为米的正方形区域上种植不同的花卉，设计图案如图所示，四周是四个全等的矩形，种植甲种花卉；中心区是正方形，种植乙种花卉．甲、乙两种花卉的种植成本分别为元、元．设矩形的较短边的长为米，种植总成本为元． (1)若，则的长为___________米，种植总成本为___________元； (2)求关于的函数关系式； (3)当中心区的边长不大于米时，求种植总成本的最小值． 4．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)用长为米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为米，养鸡场的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 5．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 6．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 地 城 考点06 销售问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 2．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 3．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (2)设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 4．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 5．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 6．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 7．(24-25九上·广东珠海香洲区·)珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． (1)当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ (2)当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 8．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件．根据题意，完成下列问题 (1)填空：当每件盈利42元时，每天销售量为______件，每天盈利______元； (2)设每件降价元，则每件盈利______元，每天销售量为______件；若每天盈利1600元，求的值． 9．(24-25九上·广东惠州博罗县·期末)某商场出售一种台灯，成本为每件30元，规定售价不低于进价，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价x元（x为正整数），每月的销量为y件． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 10．(24-25九上·广东汕尾·)2024年巴黎奥运会吉祥物（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大?最大为多少元? 11．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 12．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)根据以下素材，探索完成任务． 如何设计麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 （1）求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式． 任务2 探究销售方案 （2）若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为1250元，那么网上销售的价格应定为多少元． 任务3 拟定最优方案 （3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 2 / 55 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数基础综合 6大高频考点概览 考点01二次函数的图象和性质 考点02 求抛物线与x或y轴的交点坐标 考点03 抛物线与x轴的交点问题 考点04根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点05 图形问题 考点06 销售问题 地 城 考点01 二次函数的图象和性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)现要在抛物线上找点，若，则点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 求出抛物线的顶点坐标，开口方向可得结论． 【详解】解：抛物线，开口向下，且顶点坐标为， 结合函数图象得，当时，点的个数为； 当时，点P的个数为； 当时，点的个数为； 故，则点的个数为个 故选：A． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质．将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：，且抛物线开口向下， 离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 3．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)关于抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据抛物线的顶点式直接确定顶点坐标． 【详解】题目中的抛物线方程为，顶点坐标为，对应选项A． 故选：A． 4．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：B． 5．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据抛物线的大致图象，以及开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：二次函数的大致图象， 二次函数的图象开口向下， ， 故A选项错误，不符合题意； 抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ， 故B选项错误，不符合题意； 抛物线的顶点坐标为， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 抛物线与x轴与两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， ， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 6．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)二次函数的图象的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选：A． 7．(24-25九上·广东珠海金湾区·期末)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．解题的关键是正解掌握平移规律． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得函数图象的解析式为， 故选：B． 8．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由抛物线的解析式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故选：A． 9．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合函数图象，根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，与轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 故结论①正确，符合题意； 抛物线图象开口向下，与轴的正半轴相交， ，， ， ， ， 故结论②错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点， 当时，，即， ， ， ， 故结论③错误，不符合题意； 抛物线与轴交于点，， ， ①②得：， ， ， ， ， ， 故结论④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论有①④，为2个， 故选：B． 10．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；先根据二次函数的解析式得出对称轴为直线，开口向上，进而根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 又∵二次函数上有点，点，， ， 故选：A． 11．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，已知抛物线经过等腰直角的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．先求出点A的坐标是，则，过点B作于点H，根据等腰直角三角形的性质可以得到点B的坐标是，把点B的坐标代入函数解析式即可求出答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴点A的坐标是， ∴， 过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形， ∴垂直平分，， ∴， ∴点B的坐标是， ∵点B在抛物线上， ∴ ∴， 由图象得，， 由图象得， 故选：C． 12．(24-25九上·广东广州花都区·期末)如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再设点，则，且．列出，根据二次函数最值求法得到m值，代入点求出坐标即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为． 设点，则，且． ∴， 当时，有最大值，最大值为8， ∴． 故选：D． 二、填空题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组得到，看成是两个函数联立而成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可． 【详解】联立， 得：， 即，， 可以看成是两个函数联立而成的， ， 当时，此函数必过定点， 即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图， 将代入得， 解得，， 将代入得，， 解得，， 当时，直线与抛物线在内有两个交点， ， ， 当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点， 故答案为：或． 2．(24-25九上·广东潮州饶平县·期末)把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图像的平移，解题关键是熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的分析式为，即． 故答案为：． 3．(24-25九上·广东肇庆四会·期末)二次函数的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 4．(24-25九上·广东广州花都区·期末)抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·广东东莞南城第一初级中学·期末)已知二次函数 (1)当时，如图，此抛物线与x轴交于两点， ①求抛物线的解析式． ②若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． (2)当时，若，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②的最大值为，； (2)存在，． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，，利用待定系数法即可求解； ②由题意得，当最大时，取最大值，求出直线的解析式为，设点，则，，则，即可求解． （2）由题意得到，当时，，当时，，则二次函数图象一定经过，设经过这两个点的直线表达式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②当时，， ∴， ∵， ∴，， 要使面积的最大，则最大， 设直线的解析式为：， 把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴， ∴的最大值为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴， 当时，，当时，， ∴二次函数图象一定经过， 设经过这两个点的直线表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴直线表达式为，始终与二次函数交于两点． 2．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)在平面直角坐标系中，函数（为常数）． (1)若函数图象经过点时，求的值． (2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离． (3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是考查了二次函数的图象与性质，区间最值，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的性质以及区间最值的求法是解题关键． （1）把点代入函数中，即可求解的值； （2）由（1）可得函数解析式为，根据增减性可知当时， ，此时函数图象的最高点为，从而可求距离； （3）先求出对称轴为直线，开口向下，当时，分为①若和②若两类情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入函数中， 得， 解得； （2）解：在（1）的条件下，，故函数解析式为， 对称轴为直线，开口向下， 在时， 根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为， 则到直线的距离为； （3）解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当时， ①若，即时， 则当时，函数有最大值，即产生最高点， 又∵最高点到直线的距离为， ∴， 解得：或(皆不合题意，都舍去)； ②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为， 又∵最高点到直线的距离为，故， 解得：或2(舍去)， 或 (舍去)， 综上的值为或． 3．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)已知等腰三角形，，． (1)若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值． (2)若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长． (3)若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，求出的值； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出另两边的长之和，从而求出等腰三角形△的周长； （3）分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两根， ， ， ； （2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根， 另两边的长之和， 周长； （3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等， ， ， ， 顶点坐标为； ②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6， 当时，可得， ， ， 顶点坐标为； 综上所述：顶点坐标为或． 4．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … (1)根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式； 【答案】(1)见解析 (2)二次函数， 【分析】本题主要考查求解二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （2）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可． 【详解】（1）解：描点连线绘制函数图象如下： （2）解：根据（1）中图像可知此函数为二次函数， 由题意可知二次函数的顶点， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， （或）． 地 城 考点02 求抛物线与x或y轴的交点坐标 一、填空题 1．(24-25九上·广东汕头澄海区·期末)二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，依据题意，令，从而或，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵令 ∴或， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 二、解答题 1．(24-25九上·广东广州荔湾区第四中学·期末)已知抛物线． (1)它与轴一定有交点吗？说明你的理由． (2)在有交点的情况下，求出这两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线与轴一定有交点，理由见解析 (2)当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、交点坐标的求法以及最小值问题． （1）让函数值为，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就与x轴有几个交点即可． （2）令，则，解方程求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出两交点间的距离，当两交点间的距离最短时，最小，得出当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴一定有交点，理由如下： 令，则， ， 无论取何值，， 故抛物线与轴一定有交点； （2）令，则， ， ， 抛物线与轴的交点坐标为，， 两交点之间的距离为， 当两交点间的距离最短时，最小， ， 当时，两交点间的距离最小值为2，抛物线的解析式为． 2．(24-25九上·广东肇庆封开县·期末)如图，抛物线 与y 轴交于点B， 与 x 轴交于点A，C（点A在点C的右边）．求A点 、B 点 、C 点坐标． 【答案】，， 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴． 3．(24-25九上·广东湛江雷州·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 分别求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】令，则， 解得，，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点03 抛物线与x轴的交点问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线．下列结论中：①，②，③，④．正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①抛物线开口向上，对称轴为直线，即可得出、、，进而可得出，结论①正确；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为，进而可得出，结论②正确；③由，即，而，可得结论③正确；④由，，可得，可得结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴，结论②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，而， ∴，故③正确， ④∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，结论④错误； 综上所述，正确的结论有：①②③． 故选：A． 2．(24-25九上·广东珠海斗门区·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为；其部分图象如图所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．当时，x的取值范围是 C． D．若是抛物线上两点，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．利用抛物线与x轴的交点个数可对A进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对B进行判断；由对称轴方程得到可对C进行判断；根据图象并结合选项B对D进行判断． 【详解】解：A、∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，故结论正确； B、∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故结论正确； C、∵， ∴， 故结论正确； D、根据图象并结合选项B可知：当时，；时，； ∴， 故结论不正确． 故选：D． 3．(24-25九上·广东惠州一中教育集团·期末)抛物线与轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数与轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解． 令，求出，即可判断． 【详解】解：令，则， 此时， ∴抛物线与轴无交点， 故选：A． 4．(24-25九上·广东广州荔湾区·期末)对于二次函数，下列说法正确的是（   ）． A．当时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数有最大值1 D．函数图象与轴有2个交点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐一分析，判定即可． 【详解】解：A、抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而减小，原说法错误，该选项不符合题意； B、函数图象的对称轴是直线，原说法错误，该选项不符合题意； C、这个函数有最大值4，原说法错误，该选项不符合题意； D、当时，有，解得：，，因此函数图象与x轴有2个交点，正确，该选项符合题意； 故选：D． 5．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中m为任意实数）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在正半轴上可得，据此即可判断结论①；由抛物线的对称轴为直线且抛物线与轴的一个交点坐标为，可求出抛物线与轴的另一个交点坐标为，把代入，即可判断结论②；由关于x的一元二次方程无实数根可知，二次函数的图象与直线无交点，由于抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向下，据此即可判断结论③；可推出，，进而可得，由于，因而只有时，，据此即可判断结论④；由抛物线的对称轴为直线且抛物线开口向下可知，当时，随的增大而减小，据此即可判断结论⑤；综上所述，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴上， ∴， ，故结论①错误； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据轴对称的性质，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把代入，可得：，故结论②正确； ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴二次函数的图象与直线无交点， ∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口向下， ∴，故结论③正确； ， ， ， 又， 只有时，， 故结论④错误； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ， ，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有：， 共个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，抛物线与轴的交点问题，二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 6．(24-25九上·广东珠海·期末)二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值，如表格给出了以下结论： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 5 … ①二次函数有最小值，最小值为； ②当时，； ③二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧； ④当时，y随x的增大而减小． 则其中正确结论有（　　） A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，根据题意，利用和时，，可判断抛物线与轴有两个交点，可判断③，利用表中数据得到当当时，，可判断②，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，可判断①，根据二次函数的性质可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵和时，， ∴抛物线与x轴有两个交点坐标为，，且它们分别在y轴的两侧，故③符合题意； ∵点与为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， 由图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴， ∴当时，， ∴时，，故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，二次函数有最小值，故①不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故④符合题意； 故选：C． 二、填空题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)若抛物线与x轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】解：由题可知，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·广东东莞虎门外国语学校·期末)二次函数 （，，为常数，）的与的部分对应值如下表： x 0 3 y n 2 2 当时，下列结论中一定正确的是 （填序号）． ①； ②抛物线与轴的交点坐标是和； ③对于任意实数，总有； ④若关于的方程的两根是，则． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式等知识，有一定难度．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由表格可知该二次函数对称轴为直线，抛物线开口向下，即得出，，即得出，可判断①；将该抛物线向下平移2个单位，抛物线解析式为，即得出此时与x轴的交点坐标为，，可判断②；由抛物线可知当时，函数有最大值，且最大值为，即得出对于任意实数t，总有，可判断③；由该二次函数对称轴为直线，抛物线开口向下，易知在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即得出关于x的方程的两根是，则，可判断④． 【详解】解：由表格可知该二次函数对称轴为直线， ∴，即． ∵， ∴抛物线开口向下，则， ∴． 当时，， ∴， ∴，故①不符合题意； 由表格可知，为抛物线上两点，将该抛物线向下平移2个单位，则两点变为，，此时抛物线解析式为， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，，故②符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，且最大值为， ∴对于任意实数t，总有，即，故③符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，，为抛物线上两点， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∴关于x的方程的两根是，则，故④符合题意． 综上可知②③④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 1．(24-25九上·广东广州知用学校·期末)如图，抛物线与直线相交于点A和点． (1)求抛物线函数解析式； (2)结合图象写出不等式的解集； (3)将抛物线向上平移_____个单位与直线只有一个交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括交点问题，确定不等式的解集及平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意将点代入求解即可； （2）根据题意先确定函数与x轴的交点，然后结合图象求解即可； （3）利用待定系数法确定一次函数解析式，然后将交点问题转化为一元二次方程根的问题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴ ∴． ∴； （2）令， 解得： 结合图象可知，不等式的解集为：． （3）由（2）得， ∵直线相交于点A和点． ∴， 解得： ∴， 设新抛物线： 即， ∵只有一个交点， ∴， ． 2．(24-25九上·广东广州番禺区·期末)已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 【答案】(1)且 (2)另一个根是 (3)①或；②的面积为． 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根； （3）①画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或； ②求出，，再根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； （3）解：①由（2）知抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或； ②，， ， ， ， ， 的面积为． 3．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山统考·)已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 【答案】3 【分析】根据抛物线对称性可得抛物线对称轴为直线，从而可得，由抛物线x轴有公共点，可得，将代入可得，，进而求解．本题二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与轴交点与判别式的关系． 【详解】解：抛物线经过不同两点，， 抛物线对称轴为直线， 即，整理得， 该二次函数的图象与x轴有公共点 ∴ ， ∵， ∴， ，， ． 地 城 考点04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 一、单选题 1．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数的图象开口方向，与y轴交于点B及对称轴可判断①与②；③根据二次函数图象的开口方向、经过及对称轴可得出，，可得，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可判定；④利用一元二次方程根的判别式进行判断即可，⑤根据，分情况讨论即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B， ∴， 又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∴，故结论②正确， ∴， ③当时，， ∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确； ∵， ∴可化为：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确． ⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为， ∴当时，y的值随值的增大而增大； 当时，y的值随值的增大而减小， ∵，， 当时， 此时，此时， 当时，满足， 此时，， 当时，不满足舍去，故⑤正确， 综上所述，正确结论的个数是5个． 故选：D． 2．(24-25九上·广东汕尾·)已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点的坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向以及与y轴的交点情况可对①进行判断；根据对称轴的位置结合开口方向，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；根据抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为， ∴当时，的取值范围是，所以④正确； 故选：C． 3．(23-24九上·广东惠州一中教育集团·期末)如图， 二次函数． 的图象经过点，下列四个结论中∶①抛物线开口向上； ②当时， y取最大值；③当时，关于的一元二次方程 必有两个不相等的实数根∶ ④直线经过点A， C， 当 时，的取值范围是． 正确的个数有（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系．依据题意，结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案． 【详解】①由图象可知，抛物线开口向下，所以①错误； ②若当时，取最大值，则由于点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点和点纵坐标显然不相等，所以②错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点，则当时，抛物线与直线有两个交点，即于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，所以③是正确的； ④因直线经过点，当 时，的取值范围是，从而④正确； ∴正确的有个， 故选: B． 4．(23-24九上·广东广州南沙区·期末)二次函数图象上部分点的坐标满足下表∶ x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线；②；③不等式的解集为；④方程有两个不相等的实数根，正确的个数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与方程、不等式的关系．利用待定系数法求得二次函数解析式，然后利用二次函数的性质，二次函数与方程、不等式的关系逐个进行判断． 【详解】由表可知，二次函数图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数为， ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 把代入二次函数中，得， ∴ ∵二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为，， ∴不等式的解集为，故③正确； ∵方程即为， 整理为， 解得，， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确． 综上所述，说法正确的共有3个． 故选：C 二、填空题 1．(24-25九上·广东珠海香洲区·)如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：一元二方程变形为， ∵方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标， ∵二次函数 的图象与直线相交于点和点， ∴的解是，， 故答案为：，． 地 城 考点05 图形问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东广州南沙区·期末)如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程求解即可； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据可得可得与的函数关系式为 ，化为顶点式进行分析即可． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则 即 解得：(不合题意，舍去)，， 答：剪去的正方形的边长为； （2）解：有侧面积更大的情况， 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为， 即， ， 当时， 最大为， 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． 2．(24-25九上·广东湛江寸金培才学校·期末)已知一个长方体包装盒的表面展开图如图（单位：）． (1)的长为 ；（用含有的代数式表示） (2)若此包装盒的容积为，请列出关于的方程，并求出的值； (3)是否存在这样的的值，使得此包装盒的容积最大？若存在，请求出相应的的值和最大容积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，的值为或； (3)存在，的值是时，此包装盒的容积最大，最大容积为． 【分析】本题考查了几何体的展开图，一元二次方程和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据容积，列出关于的一元二次方程求解即可； （3）设此包装盒的容积是，根据题意得，由二次函数性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 整理得：， 解得：， ∴的值为或； （3）解：存在的值，使得此包装盒的容积最大， 设此包装盒的容积是， 根据题意，得：， ∵， ∴时，取最大值，最大值为 答：的值是时，此包装盒的容积最大，最大容积为． 3．(24-25九上·广东广州海珠区等5地·期末)某学校为美化校园环境，打造绿色校园，决定在边长为米的正方形区域上种植不同的花卉，设计图案如图所示，四周是四个全等的矩形，种植甲种花卉；中心区是正方形，种植乙种花卉．甲、乙两种花卉的种植成本分别为元、元．设矩形的较短边的长为米，种植总成本为元． (1)若，则的长为___________米，种植总成本为___________元； (2)求关于的函数关系式； (3)当中心区的边长不大于米时，求种植总成本的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)元 【分析】（）根据题意计算即可； （）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意求出的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴种植的总成本为元， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，此时， 答：种植总成本的最小值为元． 4．(24-25九上·广东韶关乳源县·期末)用长为米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设养鸡场的一边长为米，养鸡场的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)当为时，养鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据篱笆的总长为米，设养鸡场的一边长为米，根据矩形的面积公式得出函数关系式，根据题意列出不等式组得出自变量的取值范围，即可求解； （2）根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：篱笆的总长为米，设养鸡场的一边长为米， 边长为米的邻边长为米． 根据题意得：， 矩形的各边为正值， ， ， 与之间的函数关系式为； （2）， ， 当时，取得最大值，最大值为． 答：当为时，养鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 5．(24-25九上·广东肇庆某校·期末)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【答案】(1)的长为8厘米或12厘米． (2)10 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． （1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大． 6．(24-25九上·广东茂名龙岭学校·期末)如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系． （1）根据即可求得； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解： （2）， ， 又， 当时，S有最大值，为． 地 城 考点06 销售问题 一、解答题 1．(24-25九上·广东东莞松山湖未来学校·期末)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆：单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出______辆轮椅，则y与x的函数关系式为：______ (2)每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元 【分析】本题考查了二次函数的应用，列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据单价每降低10元，每天可多售出4辆可得第一空答案；根据总利润单个利润总数量可得第二空答案； （2）根据（1）所求结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵单价每降低10元，每天可多售出4辆， ∴若每辆轮椅降价x元，则每天可多售出辆轮椅； 根据题意，可得： 每辆轮椅的利润不低于180元， ， ， ∴； （2）解： ， ， 在时，随的增大而增大， 当时，每天的销售利润最大，最大利润为：（元）． 答：当每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 2．(24-25九上·广东东莞厚街福民学校·期末)某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)当单价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意列出方程，解方程即可求解； （）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ， 答：销售单价为元； （3）解：由题意得，， ∵，， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 3．(24-25九上·广东梅州兴宁宋声学校·期末)某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (2)设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 4．(24-25九上·广东东莞虎门外语学校·期末)某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 【答案】(1)道路的宽是米 (2)月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键． （1）设道路的宽为米，根据题意列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金为元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； （2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 5．(24-25九上·广东云浮新兴县·期末)张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)应降价10元，最大利润为800元 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用， （1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可； （2）根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案． 【详解】（1）设， 依题意，得，解得 所以与之间的函数关系式是． （2）依题意，得， ∵， ∴当时，． 答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元． 6．(24-25九上·广东云浮罗定·期末)某商店销售一种成本为50元/千克的水产品，若按80元/千克销售，一个月可售出700千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 【分析】本题考查了二次函数的应用．设售价定为x元，总利润为w元，根据总利润=单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【详解】解：设售价定为x元，总利润为w元， 由题意得： ， ∵， ∴当时，元， ∴当售价定为100元时会获得最大利润，最大利润为25000元． 7．(24-25九上·广东珠海香洲区·)珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． (1)当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ (2)当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1)当时销售单价定为60或80元月销售利润达到8000元 (2)当定价为70时，最大利润为9000元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和方程的思想解答． （1）根据月利润每千克的利润销售量列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据月利润每千克的利润销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求函数最值． 【详解】（1）解：设定价为x元时，获利8000元， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：，， 答：当时销售单价定为60或80元月销售利润达到8000元； （2）解：设定价为x元，利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润w有最大值为9000， 答：当定价为70时，最大利润为9000元． 8．(24-25九上·广东惠州惠阳区·期末)某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件．根据题意，完成下列问题 (1)填空：当每件盈利42元时，每天销售量为______件，每天盈利______元； (2)设每件降价元，则每件盈利______元，每天销售量为______件；若每天盈利1600元，求的值． 【答案】(1)30， (2)，，4元或36元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解． （1）根据某种服装每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多销售5件，进行解答即可； （2）根据（1）中所求可得，解方程即可； 【详解】（1）解：依题意：当每件盈利42元时，降价了2元，则每天可多销售10件，即每天的销售量为30件，每天盈利为（元） 故答案为：30， （2）依题意：设每件降价元，则每件盈利元，每天销售量为， 故答案为：， 若每天盈利1600元，可得方程为：， 整理得：， 解得：或， ∴每天盈利1600元，则每件应降价4元或36元， 9．(24-25九上·广东惠州博罗县·期末)某商场出售一种台灯，成本为每件30元，规定售价不低于进价，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价x元（x为正整数），每月的销量为y件． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当定价为49元时，每月的利润最大为1178元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用， （1）利用每月的销量每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进价，即可确定自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可找出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题； 熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵售价不低于进价， ∴， 解得 ， ∴自变量x的取值范围且为整数； （2）解：设每月的销售利润为元，   ， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时有最大值 ， 又∵ 且x为整数， ∴当时，有最大值 ， ， ∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元． 10．(24-25九上·广东汕尾·)2024年巴黎奥运会吉祥物（音译：弗里热）深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进该吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，5月份的销售量为256件，7月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物5月份到7月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，8月份的销售量将与7月份持平，现商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物降价多少元时，8月份的销售利润可达最大?最大为多少元? 【答案】(1) (2)当该吉祥物降价元时，8月份的销售利润可达最大，最大为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数解析式是解题的关键． （1）设吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设吉祥物降价为m元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，设8月份的销售利润为元，得到，根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为． （2）设该吉祥物降价为m元，则每件的销售利润为元，月销售量为 件，设8月份的销售利润为元， 根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， 当时， 取得最大值为． 答：当该吉祥物降价元时，8月份的销售利润可达最大，最大为元． 11．(24-25九上·广东东莞松山湖区·期末)综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 (1)直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【详解】（1）解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； （2）设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 12．(24-25九上·广东惠州仲恺区·期末)根据以下素材，探索完成任务． 如何设计麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 （1）求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式． 任务2 探究销售方案 （2）若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为1250元，那么网上销售的价格应定为多少元． 任务3 拟定最优方案 （3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】（1）；（2）网上销售的价格应定为35元；（3）当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆两的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务1：     任务2：当时，得    经整理，得 ∴ 解得或（不符合题意，舍去）    由（1）得网上销售的价格为 ∴网上销售的价格应定为35元．     任务3：设该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润为W元 则   ∵ ∴当时，W的值最大，W最大 （元） ∴当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆两的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 2 / 55 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $