期末复习03有理数的加法与减法讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学有理数加减复习讲义通过分类梳理与步骤化解析构建知识体系，用表格呈现10大核心知识点，框架图梳理加法“符号+绝对值”规则、减法转加法三步法等运算逻辑，突出符号判定、运算律及混合运算等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“典例+跟踪训练”的分层题型设计，如温度变化、海拔差等生活应用题型，培养运算能力与模型意识。通过易错点避雷、简便计算技巧指导，基础生掌握规则，优秀生提升综合应用，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

期末复习03 有理数的加法与减法讲义 1.有理数加法的基本运算规则 2.有理数加法中的符号判定技巧 3.有理数加法在生活实际应用场景 4.有理数加法运算律(交换律.结合律) 5.有理数减法运算方法 6.有理数减法的实际问题应用 7.有理数的加减混合运算步骤 8.有理数加减中的简便计算方法 9.有理数加减混合运算的综合练习 10.有理数加减中“省略加法和括号”的书写形式 【知识点01】有理数加法的核心原则(必背) 分三种情况，用 “符号 + 绝对值” 的逻辑计算： 1.同号两数相加 *符号：取与原数相同的符号 *绝对值：把两个数的绝对值相加 例：(+4)+(+6)=+(4+6)=+10； (−3)+(−5)=−(3+5)=−8 2.异号两数相加 *符号：取绝对值较大的数的符号 *绝对值：用大绝对值减小绝对值 例：(+7)+(−2)=+(7−2)=+5 (−9)+(+4)=−(9−4)=−5 3.一个数与 0 相加 *结果：仍得这个数（0 不改变数的大小） 例：0+(−5)=−5；(+3)+0=+3 【知识点02】符号判定的适用技巧 遇到多个数相加时，先 “分类 + 定符号”： *先把所有数按正、负、0分成三组 *分别计算正数的和、负数的和（负数和的绝对值是各负数绝对值之和） *最后按 “异号相加” 法则，计算两组和的结果 例：(+2)+(−5)+(+3)+(−1) → 正数和：2+3=5；负数和：−(5+1)=−6 → 最终：5+(−6)=−1 【知识点03】加法运算律(简便计算必备) 用这两个规律凑整、凑 0，减少计算量： 1.交换律：a+b=b+a（数的位置可以互换） 2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（数的组合可以调整） 常用凑法： *凑 0：找 “互为相反数” 的数（和为 0）， 例：(−3)+(+3)+(−2)=0+(−2)=−2 *凑整：找和为整十 / 整百的数， 例：(+18)+(+2)+(−5)=20+(−5)=15 【知识点04】生活中的加法应用 场景：温度变化、海拔升降、收支统计等，步骤是 “用正负数表示→列加法式→计算”： 例：早上气温-2，中午上升了5，中午气温是(-2)+(+5)=+3 易错点提醒 1.异号相加时，别把 “减绝对值” 做成 “加绝对值”（例：(+3)+(−5)易错算成+8，正确是−2） 2.多个数相加时，别漏看符号（例：−1+2−3要当成(−1)+(+2)+(−3)） 【知识点05】有理数减法核心原则(核心公式) 一.核心原则 减法转加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数 公式：a−b=a+(−b) （关键：把 “减号” 变成 “加号”，同时把后面的数变成它的相反数） 2.运算的具体步骤（3 步走） 以 “(−5)−(+3)” 和 “4−(−2)” 为例： (1)变符号：把减号（−）改成加号（+） (2)变减数：把减数变成它的相反数（正数变负，负数变正） (3)按加法计算：用有理数加法的法则算结果 【知识点06】生活中的减法应用 主要用于求 “差值”，比如： *温差：最高温−最低温（注意最低温是负数的情况） 例：某天最高温℃，最低温℃，温差为℃ *高度差：高处海拔−低处海拔 例：山峰海拔+1200m，山谷海拔−300m，高度差为1200−(−300)=1500m *收支差：收入−支出 例：月收入5000元，支出3500元，结余为5000−3500=1500元 易错点避雷 1.转加法时，只变 “减数” 的符号，被减数符号不变 2.遇到 “连减”，要逐个转加法 3.注意 “0 的减法”：0−a=0+(−a)=−a 【知识点07】有理数的加减混合运算 1. 运算步骤 *第一步：统一转加法：将所有减法转成 “加相反数” *第二步：省略加号与括号：写成 “代数和” 形式（符号跟着数走） 例：3−5+7−9=(+3)+(−5)+(+7)+(−9)（可简写为3−5+7−9） *第三步：简便计算：用加法交换律、结合律分组计算 2. 省略加号的书写规则 *符号直接与数字结合，“+” 可省略，“-” 保留 例：(−2)+(+3)−(−4)=−2+3+4. 3. 综合计算技巧 *分组凑整：将正数、负数分别结合，或凑 0 / 整数值 *注意符号：每一步都要确认数的正负性 高频易错点清单 一、符号类易错点 1.异号相加，错把 “减” 当 “加” 2.减法转加法时，漏变减数符号 3.多个数相加，漏看数字前的符号 二、运算律类易错点 1.交换数的位置时，漏带符号 2.结合律分组时，符号与数脱节 三、步骤类易错点 1.加减混合运算，跳过 “转加法” 直接算 2.省略加号时，错写符号顺序 四、特殊数类易错点 1.0 参与运算时，混淆加减规则 2.互为相反数相加，错算成 “相减” 题型1.有理数加法的基本运算规则 【典例】定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如，，据此规定， ． 【跟踪训练1】如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】有10个互不相同的正整数的和为2024，则其中最小的三个正整数的和的最大值是 ． 题型2.有理数加法中的符号判定技巧 【典例】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【跟踪训练1】已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有： ． 【跟踪训练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3.有理数加法在生活中实际应用场景 【典例】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【跟踪训练1】铁观音是中国十大名茶之一，其最佳保存的温度为（），以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】现有1克，2克，5克的砝码各1个，用天平可以称出 种不同质量的物品． 题型4.有理数加法运算律(交换律.结合律) 【典例】计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【跟踪训练1】大于小于2.5的所有整数之和是 ． 【跟踪训练2】计算的值等于（   ） A． B． C． D． 题型5.有理数减法的运算方法 【典例】数轴上表示10的点为，该数轴上到点的距离为2的点所表示的数为 ． 【跟踪训练1】小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】规定表示小于的最大整数，如：，则下列结论中正确的有（填序号）：①；②；③的最小值是0；④的最大值是1；⑤存在有理数，使，则上述结论中正确的有 （填序号）． 题型6.有理数减法的实际问题应用 【典例】通常情况下，技术人员都会对探月卫星进行环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达，白天阳光垂直照射的地方可达，那么夜晚的温度降至（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是 ． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【跟踪训练2】今日最高温度，最低温度，今日温差为（   ）． A．3 B．7 C． D． 题型7.有理数的加减混合运算步骤 【典例】对有理数规定一种新运算“*”：，则 ． 【跟踪训练1】如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 【跟踪训练2】把有理数t代入算式中得，称为第一次运算；再将作为t的值代入算式得到，称为第二次运算；……，依此规律，当，且经过第十次运算后得到的结果是 ． 题型8.有理数加减中的简便计算方法 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【跟踪训练1】计算 . 【跟踪训练2】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 题型9.有理数加减混合运算的综合练习 【典例】如图，都是有理数，若每个圆圈里的数都等于与它相邻的两个圆圈里数的和，则（　　） A．4 B．3 C． D． 【跟踪训练1】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况；第一天售出19种商品，第二天售出13种，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，该网店这三天售出的商品最少有 种． 【跟踪训练2】在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为 ． 题型10.有理数加减中“省略加法和括号”的书写形式 【典例】把写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【跟踪训练2】将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 1．若且a，b异号，，则a 0． 2．把写成省略加号的和的形式是 ． 3．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 4．已知，且，则的值为（   ） A．2 B．8 C．2或8 D． 5．若，互为相反数且，则下列各组数：①和；②和；③和；④和；⑤和，其中一定是互为相反数的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若，，，则（  ） A． B． C． D． 7．计算的值等于(    ) A． B． C． D． 8．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为 ． 9．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 10．在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 11．计算： (1) (2) 12．算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为：：如405，表示为． (1)835用算筹可表示为（   ） A．　B． C． 　D． (2)算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中的算筹表示两个三位数的运算，其算式为______． 13．一辆货车在南北方向的公路上行驶，从起点开始向北行驶记为正，司机记录他一天的行程如下：(单位：千米) 12，， 8，， 7，， 20，， 25，， 40，． (1)这一天货车最后停在离起点多远的地方？ (2)若每100千米耗油8升，货车这一天用了多少升油？ 14．定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 15．如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 有理数的加法与减法讲义 1.有理数加法的基本运算规则 2.有理数加法中的符号判定技巧 3.有理数加法在生活实际应用场景 4.有理数加法运算律(交换律.结合律) 5.有理数减法运算方法 6.有理数减法的实际问题应用 7.有理数的加减混合运算步骤 8.有理数加减中的简便计算方法 9.有理数加减混合运算的综合练习 10.有理数加减中“省略加法和括号”的书写形式 【知识点01】有理数加法的核心原则(必背) 分三种情况，用 “符号 + 绝对值” 的逻辑计算： 1.同号两数相加 *符号：取与原数相同的符号 *绝对值：把两个数的绝对值相加 例：(+4)+(+6)=+(4+6)=+10； (−3)+(−5)=−(3+5)=−8 2.异号两数相加 *符号：取绝对值较大的数的符号 *绝对值：用大绝对值减小绝对值 例：(+7)+(−2)=+(7−2)=+5 (−9)+(+4)=−(9−4)=−5 3.一个数与 0 相加 *结果：仍得这个数（0 不改变数的大小） 例：0+(−5)=−5；(+3)+0=+3 【知识点02】符号判定的适用技巧 遇到多个数相加时，先 “分类 + 定符号”： *先把所有数按正、负、0分成三组 *分别计算正数的和、负数的和（负数和的绝对值是各负数绝对值之和） *最后按 “异号相加” 法则，计算两组和的结果 例：(+2)+(−5)+(+3)+(−1) → 正数和：2+3=5；负数和：−(5+1)=−6 → 最终：5+(−6)=−1 【知识点03】加法运算律(简便计算必备) 用这两个规律凑整、凑 0，减少计算量： 1.交换律：a+b=b+a（数的位置可以互换） 2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)（数的组合可以调整） 常用凑法： *凑 0：找 “互为相反数” 的数（和为 0）， 例：(−3)+(+3)+(−2)=0+(−2)=−2 *凑整：找和为整十 / 整百的数， 例：(+18)+(+2)+(−5)=20+(−5)=15 【知识点04】生活中的加法应用 场景：温度变化、海拔升降、收支统计等，步骤是 “用正负数表示→列加法式→计算”： 例：早上气温-2，中午上升了5，中午气温是(-2)+(+5)=+3 易错点提醒 1.异号相加时，别把 “减绝对值” 做成 “加绝对值”（例：(+3)+(−5)易错算成+8，正确是−2） 2.多个数相加时，别漏看符号（例：−1+2−3要当成(−1)+(+2)+(−3)） 【知识点05】有理数减法核心原则(核心公式) 一.核心原则 减法转加法：减去一个数，等于加上这个数的相反数 公式：a−b=a+(−b) （关键：把 “减号” 变成 “加号”，同时把后面的数变成它的相反数） 2.运算的具体步骤（3 步走） 以 “(−5)−(+3)” 和 “4−(−2)” 为例： (1)变符号：把减号（−）改成加号（+） (2)变减数：把减数变成它的相反数（正数变负，负数变正） (3)按加法计算：用有理数加法的法则算结果 【知识点06】生活中的减法应用 主要用于求 “差值”，比如： *温差：最高温−最低温（注意最低温是负数的情况） 例：某天最高温℃，最低温℃，温差为℃ *高度差：高处海拔−低处海拔 例：山峰海拔+1200m，山谷海拔−300m，高度差为1200−(−300)=1500m *收支差：收入−支出 例：月收入5000元，支出3500元，结余为5000−3500=1500元 易错点避雷 1.转加法时，只变 “减数” 的符号，被减数符号不变 2.遇到 “连减”，要逐个转加法 3.注意 “0 的减法”：0−a=0+(−a)=−a 【知识点07】有理数的加减混合运算 1. 运算步骤 *第一步：统一转加法：将所有减法转成 “加相反数” *第二步：省略加号与括号：写成 “代数和” 形式（符号跟着数走） 例：3−5+7−9=(+3)+(−5)+(+7)+(−9)（可简写为3−5+7−9） *第三步：简便计算：用加法交换律、结合律分组计算 2. 省略加号的书写规则 *符号直接与数字结合，“+” 可省略，“-” 保留 例：(−2)+(+3)−(−4)=−2+3+4. 3. 综合计算技巧 *分组凑整：将正数、负数分别结合，或凑 0 / 整数值 *注意符号：每一步都要确认数的正负性 高频易错点清单 一、符号类易错点 1.异号相加，错把 “减” 当 “加” 2.减法转加法时，漏变减数符号 3.多个数相加，漏看数字前的符号 二、运算律类易错点 1.交换数的位置时，漏带符号 2.结合律分组时，符号与数脱节 三、步骤类易错点 1.加减混合运算，跳过 “转加法” 直接算 2.省略加号时，错写符号顺序 四、特殊数类易错点 1.0 参与运算时，混淆加减规则 2.互为相反数相加，错算成 “相减” 题型1.有理数加法的基本运算规则 【典例】定义一种运算，设表示不超过x的最大整数，例如，，据此规定， ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，理解新定义是解答的关键． 根据定义，表示不超过x的最大整数，分别求出和的值，再进行加法运算． 【详解】解：由定义，，，所以． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 【跟踪训练2】有10个互不相同的正整数的和为2024，则其中最小的三个正整数的和的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，先理解题意，得，再分析：为了使最小的三个正整数的和的最大值，则10个互不相同的正整数尽量靠近，然后进行分类讨论，再计算它们的和值，即可作答． 【详解】解：∵有10个互不相同的正整数的和为2024， ∴ 为了使最小的三个正整数的和的最大值，则10个互不相同的正整数尽量靠近， 当比小的数有5个时，则， 则，符合题意； 此时 当比小的数有4个时，则， ，不符合题意； 或 ∴，符合题意； ∴； ∵ ∴其中最小的三个正整数的和的最大值是 故答案为：． 题型2.有理数加法中的符号判定技巧 【典例】如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【跟踪训练1】已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有： ． 【答案】 a、b、c、d 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，中点的定义， 根据点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点，结合数轴上的顺序和，推导出点B表示的数b一定为负数，从而点A表示的数a也为负数，进一步推导出点D表示的数d一定为负数，点C表示的数c也一定为负数． 【详解】解：点B、D、F表示的数分别为b、d、f， 点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点， 得， 解得． 由数轴上点的顺序可知，由，且， 知b一定为负数， 所以，a为负数， 由和， 分情况讨论：若b和f均为负数，则； 若b为负数、f为正数，由得，则， 因此d一定为负数． 由，且c在b与d之间，故c一定为负数， 综上，点A、B、C、D表示的数一定为负有理数． 故答案为：a、b、c、d． 【跟踪训练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型3.有理数加法在生活中实际应用场景 【典例】如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：， ∴顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是5， 故答案为：5． 【跟踪训练1】铁观音是中国十大名茶之一，其最佳保存的温度为（），以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算及范围判断，解题的关键是先求出适合储存的温度范围，再对比选项判断． 先计算、，确定适合的温度范围是到，再逐一对比选项，找出不在此范围内的温度． 【详解】解：保存温度为， 最低温度为， 最高温度为， 适合保存的温度范围为． 选项A：，不在范围内； 选项B：在范围内； 选项C：在范围内； 选项D：在范围内． 故选A 【跟踪训练2】现有1克，2克，5克的砝码各1个，用天平可以称出 种不同质量的物品． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，熟练掌握组合分类方法是解题和关键． 将1克、2克、5克的砝码分成使用1个砝码，使用2个砝码，使用3个砝码，3种情况，多个砝码分加法（放在一个天平盘里）与减法（分放在两盒天平盘里），防止重复或遗漏． 【详解】解：1克，2克，5克， （克）， （克）， （克）， （克）， （克）． 共8种. 故答案为：8． 题型4.有理数加法运算律(交换律.结合律) 【典例】计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 【跟踪训练1】大于小于2.5的所有整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则及运算律是解题的关键． 先找出大于小于2.5的所有整数，再求它们的和即可． 【详解】大于小于2.5的整数有、、、、1、2． ． 大于小于2.5的所有整数之和是． 故答案为：． 【跟踪训练2】计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 题型5.有理数减法的运算方法 【典例】数轴上表示10的点为，该数轴上到点的距离为2的点所表示的数为 ． 【答案】8或12 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的求解，有理数的加、减法运算． 根据数轴上两点距离的定义，到点A距离为2的点有两个，分别位于点A的左侧和右侧，再根据有理数的加、减法计算即可． 【详解】解：∵数轴上表示10的点为， ∴数轴上到点的距离为2的点所表示的数为或， 故答案为：8或12． 【跟踪训练1】小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，理解图示是解题的关键． 根据图示可知图2表示的是7减去的计算，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，借助图2可以解释算式的运算过程与结果， 故选：A． 【跟踪训练2】规定表示小于的最大整数，如：，则下列结论中正确的有（填序号）：①；②；③的最小值是0；④的最大值是1；⑤存在有理数，使，则上述结论中正确的有 （填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题主要考查了新定义，有理数比较大小，有理数的减法计算，根据新定义可得，，据此可得判断①、②；根据新定义可得，据此可得判断③、④；当时，，则，据此可判断⑤． 【详解】解；∵表示小于x的最大整数， ∴，故①正确、②错误； ∵表示小于x的最大整数， ∴， ∴，故③错误； ∵表示小于x的最大整数， ∴， ∴的最大值是1，故④正确； 当时，，则此时，故⑤正确； ∴正确的有①④⑤， 故答案为：①④⑤． 题型6.有理数减法的实际问题应用 【典例】通常情况下，技术人员都会对探月卫星进行环境适应性设计，这是因为月球表面的昼夜温差可达，白天阳光垂直照射的地方可达，那么夜晚的温度降至（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法的应用，理解温差概念是关键． 根据温差定义，温差等于白天最高温度减去夜晚最低温度，直接计算夜晚温度即可． 【详解】解：∵温差白天温度夜晚温度， ∴夜晚温度白天温度温差． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是 ． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意分析并正确列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，第一行中间格属于左上的小正方形，也属于右上的小正方形， 则第一行中间格的数字为左上和右上正方形的变化次数之和， 第三行第一个格和第三个格分别为左下的小正方形和右下的小正方形独有， 则第三行第一个格的数字为左下正方形的变化次数，第三行第三个格的数字为右下正方形的变化次数， 正中间的格子为的小正方形都包含， 则正中间的格子的数字为左上、右上、左下、右下的变化数之和， 即， 故答案为：． 【跟踪训练2】今日最高温度，最低温度，今日温差为（   ）． A．3 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用最高气温减去最低气温，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 题型7.有理数的加减混合运算步骤 【典例】对有理数规定一种新运算“*”：，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据新运算的定义，将，代入计算即可． 【详解】解：根据定义，． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么的值为（   ） A．13 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出方格中心位置的空格里面的数及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 则下面的空格里面的数为， ∴的值为：， 故选：C． 【跟踪训练2】把有理数t代入算式中得，称为第一次运算；再将作为t的值代入算式得到，称为第二次运算；……，依此规律，当，且经过第十次运算后得到的结果是 ． 【答案】 【分析】本题为运算规律类问题，考查了有理数的加减运算，绝对值的化简等知识，根据多次运算结果发现规律是解题关键．根据运算程序进行多次运算，得出结果规律“从第二次计算开始，偶数次运算结果为，奇数次运算结果为”，据此即可求解． 【详解】解：第一次运算，当时，； 第二次运算，当时，； 第三次运算，当时，； 第四次运算，当时，； 第五次运算，当时，； 观察结果，从第二次运算开始，偶数次运算结果为，奇数次运算结果为， ∴第十次运算后得到的结果是． 题型8.有理数加减中的简便计算方法 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 【跟踪训练1】计算 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了加法中的巧算问题，注意加法结合律的应用，根据加法结合律，通过观察题目可以发现，1后面每相邻的四项的和为0，从而可以解答本题． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【跟踪训练2】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 题型9.有理数加减混合运算的综合练习 【典例】如图，都是有理数，若每个圆圈里的数都等于与它相邻的两个圆圈里数的和，则（　　） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法和减法的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“每个圆圈里的数都等于与它相邻的两个圆圈里数的和”求解即可． 【详解】解：根据题意得，由，得； 由，得； 由，得； 由，得； ∴， 故选A． 【跟踪训练1】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况；第一天售出19种商品，第二天售出13种，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，该网店这三天售出的商品最少有 种． 【答案】29 【分析】本题考查了有理数的加减的应用，先求出第一天售出且第二天没有售出的商品的种数和第三天售出且第二天没有售出的商品的种数，再根据三天商品种数最少时，第三天中种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，列式计算即可得解，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵第一天售出19种商品，第二天售出13种，前两天都售出的商品有3种， ∴第一天售出且第二天没有售出的商品有（种）， ∵第二天售出13种，第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种， ∴第三天售出且第二天没有售出的商品有（种），有种商品第一天未售出， ∴三天商品种数最少时，第三天中种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种）， 故答案为：． 【跟踪训练2】在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则． 故答案为：或． 题型10.有理数加减中“省略加法和括号”的书写形式 【典例】把写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则去括号即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪训练1】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 【跟踪训练2】将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 【答案】（1）30+（-20）+（-10）+15，15；（2）（-4）+（-28）+25+（-22），-29. 【详解】试题解析：（1）30-20-10+15=30+（-20）+（-10）+15= 15； （2）-4-28+25-22=（-4）+（-28）+25+（-22）=-29. 故答案为(1). 30+（-20）+（-10）+15；15；(2). （-4）+（-28）+25+（-22）；-29. 1．若且a，b异号，，则a 0． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法法则，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行判断即可． 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 2．把写成省略加号的和的形式是 ． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 3．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法和减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义运算，先计算 的值，再与 进行加法运算． 【详解】由定义 ，得 ， 则 ． 故答案为：． 4．已知，且，则的值为（   ） A．2 B．8 C．2或8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的减法运算，解题关键是结合绝对值求出a、b的可能值，再根据的条件筛选后计算． 根据绝对值的定义，a 和 b 各有两种可能值，结合条件筛选出满足条件的组合，计算 即可． 【详解】， 或； ， 或． 又， 当，时，成立，此时； 当，时，成立，此时； 当，时，，不满足； 当，时，，不满足． 的值为或． 故选 C． 5．若，互为相反数且，则下列各组数：①和；②和；③和；④和；⑤和，其中一定是互为相反数的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相反数，有理数的加法运算，根据相反数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：，互为相反数且， ∴， ∴，，，，； 故①和；②和；③和；均为相反数； 故选C． 6．若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值，有理数的减法运算及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值，有理数的减法运算及有理数的大小比较是解题的关键；由于a、b、c均为负数，比较大小需先比较其绝对值，绝对值越大，负数越小；通过计算各分数与1的差值，比较差值大小，进而得出绝对值大小关系，再转换为负数的大小关系即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，由于a、b、c为负数， ∴ 故选C． 7．计算的值等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将序列每两个数分组，每组和为，最后剩余一个正数，计算组数和剩余项求和． 【详解】解： ． 故选：C． 8．用，，，，，这个数组成两个无相同数码的三位数，记较大的三位数与较小的三位数的差为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，要使得值的最小，需两个三位数尽可能的接近，即百位上的数字相差，较大三位数中的十位取最小数，较小三位数中的十位取最大数，据此，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：两个三位数需尽可能的接近， 故百位上的数字相差， 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 当两个三位数百位上的数字分为是和时， 较大的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 较小的三位数中，百位上的数字是，十位上的数字取，个位上的数字取， 此时； 综上，的最小值为． 故答案为：． 9．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 10．在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 【答案】10或14 【分析】本题主要考查了整数的加减运算的应用，理解游戏过程以及分类讨论思想是解题的关键． 先分析确定胜负情况，然后运用整数的加减运算求解即可． 【详解】解：小亮出现一次3连胜前进：； 小伟出现一次3连胜和一次4连胜，； 其余10回合为小亮胜6回合或小伟胜5回合， ①当其余10回合小亮胜6回合时，则负4回合，总共负11回合， ∴其余10回合小伟负6回合时，则胜4回合，总共负9回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； ②当其余10回合小亮胜5回合时，则负5回合，总共负12回合， ∴其余10回合小伟负5回合时，则胜5回合，总共负8回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； 综上，游戏结束时两人相距为10或14米． 故答案为：10或14． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）变减法为加法，根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为：：如405，表示为． (1)835用算筹可表示为（   ） A．　B． C． 　D． (2)算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中的算筹表示两个三位数的运算，其算式为______． 【答案】(1)B； (2)． 【分析】本题考查了算筹问题． （1）根据题意可得8335用算筹的表示方法； （2）由算筹表示方法的到算式，再计算． 【详解】（1）解：835用算筹可表示为： ， 故选：B； （2）解：由题意得：图②中算式为：， 故答案为：. 13．一辆货车在南北方向的公路上行驶，从起点开始向北行驶记为正，司机记录他一天的行程如下：(单位：千米) 12，， 8，， 7，， 20，， 25，， 40，． (1)这一天货车最后停在离起点多远的地方？ (2)若每100千米耗油8升，货车这一天用了多少升油？ 【答案】(1)出租车最后停在离起点11千米的地方 (2)出租车这一天用了17.04升油 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的意义，理解题意，正确列出算式是解题的关键． （1）求出各数据的和，根据结果可的结论； （2）求出各数据的绝对值的和，即为所行驶的总路程，再除以100，再乘以8即可求解． 【详解】（1）解：根据有理数的加法法则可得 (千米)， 故出租车最后停在离起点11千米的地方； （2）解：根据绝对值的意义可得 （千米）， （升）． 答：货车这一天用了17.04升油． 14．定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】（1）观察运算及结果的符号和绝对值的规律可得结论； （2）根据（1）中的结论同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号即可； （3）根据（1）中的结论，分类讨论的取值范围，分别计算即可． 本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确新定义混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 15．如图①点，，为数轴上三点，点在，之间且，那么我们就称点是的奇点；点在，之间且，我们就称点是的奇点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为5． (1)数____________所表示的点是的奇点；数____________所表示的点是的奇点； (2)现有一动点在数轴上运动，的最小值为____________． (3)如图③，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为30，现有一动点在数轴上运动，点运动到数轴上的什么位置时，点，，中恰有一个点为其余两点的奇点？ 【答案】(1)3； (2)8 (3)点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，和中恰有一个点为其余两点的奇点 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数加减运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据奇点定义进行求解即可； （2）根据点E在M、N之间时，最小，求出结果即可； （3）分六种情况讨论：当点B为的奇点时，当点B为的奇点时，当点P为的奇点时，当点P为的奇点时，当点A为的奇点时，当点A为的奇点时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 设的奇点为P，则， ∴， ∴此时点P表示的数为：， 即数3所表示的点是的奇点； 设的奇点为Q，则， ∴， ∴此时点Q表示的数为：； （2）解：∵点是数轴上的一个动点， ∴当点E在M、N之间时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：8； （3）解：∵点所表示的数为，点所表示的数为30， ∴； 当点B为的奇点时，， 此时点P表示的数为； 当点B为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为； 当点P为的奇点时，， ∴， ∴此时点P表示的数为：； 当点P为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， 此时点P表示的数为：； 当点A为的奇点时，， ∴， 此时点P表示的数为：； 综上，点运动到数轴上的或或或10或或270位置时，，，中恰有一个点为其余两点的奇点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $