期末复习02绝对值与相反数讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学期末复习讲义通过结构化梳理和表格归纳，系统构建了绝对值与相反数的知识体系，涵盖相反数的代数几何定义、绝对值的几何意义非负性及化简计算等核心知识点，用对比表格呈现易错点，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，每个知识点配套典例与跟踪训练，如结合数轴距离问题培养几何直观，通过足球质量偏差等实际场景应用发展数学眼光，易错点提醒助力基础薄弱学生，综合应用题提升推理能力，支持教师精准分层教学。

期末复习02 绝对值与相反数讲义 1.绝对值的几何意义 2.绝对值的计算方法 3.绝对值的非负性性质 4.绝对值的综合应用 5.有理数的大小比较的基本方法 6.有理数大小比较的实际场景应用 7.相反数的概念与定义 8.相反数的实际应用 9.多重符号的化简规则 【知识点01】相反数 1. 核心定义 *代数定义：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0 的相反数是 0。 *几何定义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0 除外）分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.基本性质 (1)求和为 0（核心性质） 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0；反之，若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数（这是判断两个数是否互为相反数的根本依据）。 (2)双重否定还原 一个数的相反数的相反数是它本身，即 −(−a)=a。 (3)几何对称性 在数轴上，互为相反数的两个点（0 除外）关于原点对称，且到原点的距离相等（与绝对值关联：互为相反数的两数绝对值相等）。 (3) 0 的特殊性 0 的相反数是 0（唯一一个相反数等于自身的数），不存在 “-0” 的独立概念，−0=0。 (4) 符号规律 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0（可总结为：改变数的符号即得其相反数，0 不变）。 3. 求相反数的方法 *求一个数的相反数：只需在这个数的前面添上 “-” 号（注意：数前面有符号时需化简）。 *求一个代数式的相反数：将代数式整体添上 “-” 号，再去括号化简。 易错点 1. 混淆 “相反数” 与 “倒数”：相反数是符号相反、绝对值相等的数，和为 0；倒数是乘积为 1 的数，两者概念完全不同 2. 2.认为 “带负号的数就是负数”：例如 -(-3)=3 是正数，-(+5)=-5 是负数，需先化简再判断符号。 3.忽略 0 的特殊性：0 的相反数是 0，没有倒数，这是唯一例外情况。 【知识点02】绝对值的几何意义 一、核心几何意义（基础定义） 在数轴上，一个数a所对应的点（记为点A）与原点（记为点 O，对应数字 0）之间的距离，叫做这个数的绝对值，记作∣a∣。 关键要点： 1.载体：必须依托数轴（一维直线，有原点、正方向、单位长度）； 2.对象：数对应的点与原点的位置关系； 3.本质：距离（距离是非负的长度，因此绝对值天然具有非负性：∣a∣≥0）； 4.特例：原点对应的数 0，到自身的距离为 0，故 ∣0∣=0。 二、延伸几何意义（拓展应用） 绝对值的几何意义可推广到数轴上任意两点间的距离：若数轴上点A对应数a，点B对应数b，则A、B两点之间的距离 =∣a−b∣（或∣b−a∣）。 原理： 两点间距离是 “两数差的绝对值”，本质是将其中一个点视为 “新原点”，转化为基础几何意义： 例：数轴上表示 3 和 - 2 的两点间距离 →∣3−(−2)∣=∣5∣=5（或 ∣−2−3∣=∣−5∣=5）； 例：数轴上表示x和 5 的两点间距离 →∣x−5∣（若 x=2，则距离为∣2−5∣=3）。 三、几何意义的核心价值 1.直观理解非负性：距离不可能为负，因此任何数的绝对值都≥0； 2.解释相反数的绝对值相等：互为相反数的两个数（如 3 和 - 3）在数轴上位于原点两侧，到原点的距离相等，故∣3∣=∣−3∣=3； 3.简化绝对值方程 / 不等式：例如∣x∣=2表示 “数轴上到原点距离为 2 的点”，对应x=2或x=−2；∣x∣<3 表示 “数轴上到原点距离小于 3 的点”，对应−3<x<3。 易混淆点提醒 1.绝对值的几何意义是 “距离”（长度，无方向），而非 “位置”（数轴上的点有正负方向，但距离无方向）； 2.两点间距离公式∣a−b∣中，a−b的正负表示方向，但绝对值消去了方向，只保留长度。 【知识点03】绝对值的非负性 绝对值的非负性是其最核心、最基础的性质（由几何意义 “距离” 推导而来），具体定义、表现形式及应用如下： 一、非负性的核心定义 对于任意有理数a，其绝对值满足∣a∣≥0（即绝对值的结果要么是正数，要么是 0，不可能为负数）。 本质原因： 绝对值的几何意义是 “数轴上点到原点的距离”，而距离是物理上的长度，长度不可能为负，因此绝对值天然具有非负性。 二、非负性的具体表现 1.单个绝对值的非负性 任何数的绝对值都≥0： *正数的绝对值是正数 *0 的绝对值是 0 *负数的绝对值是正数 2.多个绝对值的运算仍保持非负相关 *绝对值的和 / 积 / 商（除数≠0）仍≥0： 例：∣a∣+∣b∣≥0（两个非负数相加，结果≥0） 例：∣a∣⋅∣b∣≥0（两个非负数相乘，结果≥0）； *绝对值的最小值为 0（仅当 a=0 时，∣a∣=0）。 3.非负性的关键推论 若∣a∣+∣b∣=0（或多个绝对值的和为 0），则每个绝对值内的数都为 0（即a=0且b=0）。 原理：非负数相加为 0，只有每个非负数都为 0（“0+0=0”，正数 + 任何数≠0）。 三、非负性的典型应用 1. 求绝对值表达式的最值 最小值：绝对值的最小值为 0，因此含绝对值的表达式最小值可通过令绝对值内为 0 求得。 无最大值：绝对值可无限大，因此含绝对值的表达式无最大值（如 ∣x∣+5 可无限增大）。 2. 求解 “绝对值和为 0” 的方程 例：解方程∣2a+4∣+∣3b−9∣=0 解：由非负性可知，∣2a+4∣=0且∣3b−9∣=0 →2a+4=0→a=−2； →3b−9=0→b=3。 3. 判断绝对值等式的合理性 例：判断∣x∣=−2是否有解 → 无解（因为绝对值≥0，不可能等于负数）。 易错点提醒 1.混淆 “∣a∣=−a 与 “负数”：当a<0时，∣a∣=−a，但此时−a是正数（如 a=−5，−a=5），仍满足非负性； 2.忽略 “多个绝对值和为 0” 的推论条件：必须所有绝对值同时为 0，而非其中一个为 0； 3.错误认为 “绝对值的结果一定是正数”：忘记 0 的绝对值是 0（非负≠正数，正数 + 0 = 非负）。 【知识点04】绝对值的化简计算 核心原则：先判断绝对值内式子的正负，再按 “正不变、负变正、零为零” 去绝对值符号，最后计算。 一、基础类型（绝对值内为具体数字） 步骤： 1.算绝对值内结果，判断正负； 2.去绝对值符号（负数变相反数，正数 / 0 保留）； 3.计算最终值。 例：∣−5∣+∣3∣−∣−2∣=5+3−2=6 二、进阶类型（绝对值内含字母） 1. 已知字母取值范围 步骤： (1)根据条件判断绝对值内式子正负； (2)去符号化简。 例：已知x<−2，化简∣x+2∣+∣x−1∣=−(x+2)−(x−1)=−2x−1 2. 未知字母取值范围（分类讨论） 步骤： (1)找 “临界点”（令绝对值内式子 = 0 的字母值）； (2)按临界点分区间，判断每个区间内式子正负； (3)分区间去符号化简。 例：化简∣x−2∣ 临界点：x=2 x>2：x−2>0→∣x−2∣=x−2 x=2：∣x−2∣=0 x<2：x−2<0→∣x−2∣=2−x 三、特殊类型（绝对值和为 0） 规则：多个绝对值和为 0 → 每个绝对值内式子 = 0（非负性），先求字母值，再代入化简。 例：∣x−5∣+∣y+2∣=0→x=5，y=-2再代入计算。 易错点 1.未判断正负直接去绝对值； 2.分类讨论遗漏临界点； 3.负数去绝对值时符号错误。 【知识点05】绝对值的应用 1.比较两个负数的大小 规则：两个负数，绝对值大的反而小。 步骤：① 求两个负数的绝对值；② 比较绝对值的大小；③ 根据规则判断原数大小。 *例：比较 - 5 和 - 3 的大小 | -5 | = 5，| -3 | = 3，因为 5 > 3，所以 - 5 < -3。 2.表示数轴上两点间的距离 数轴上点 A（表示数 a）与点 B（表示数 b）之间的距离 = |a - b|（或 | b - a|）。 *例：数轴上表示 2 和 - 4 的两点间距离 = |2 - (-4)| = |6| = 6；表示 x 和 3 的两点间距离 = |x - 3|。 3.求解绝对值方程 / 不等式 绝对值方程：|x| = a（a ≥ 0）的解为 x = a 或 x = -a；若 a < 0，方程无解（因为绝对值非负）。 *例：|x|=4 → x=4 或 x=-4；|x|=-2 → 无解。 绝对值不等式： *|x| > a（a > 0）→ x > a 或 x < -a； *|x| < a（a > 0）→ -a < x < a； *若 a ≤ 0，|x| > a 的解集为全体有理数，|x| < a 无解。 例：|x| > 2 → x > 2 或 x < -2；|x| < 1 → -1 < x < 1。 易错点 1.忽略绝对值的非负性：例如认为 | x| = -x 时 x 一定是负数，忽略 x=0 的情况（x=0 时 | 0|=-0=0 也成立）。 2.化简含字母的绝对值时未分类讨论：例如直接认为 | a - 1|=a - 1，未考虑 a - 1 < 0 的情况。 3.混淆 “绝对值相等” 与 “数相等”：例如认为 | a|=|b | 则 a=b，忽略 a=-b 的情况。 4.比较负数大小时忘记 “绝对值大的反而小”：例如错误认为 - 6 > -4（实际 | -6 | = 6 > | -4 | = 4，所以 - 6 < -4）。 【知识点06】相反数与绝对值的关联 1.互为相反数的两个数绝对值相等：若 a 与 b 互为相反数，则 a = -b，因此 | a| = |-b| = |b|。 2.绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数：|a| = |b| ⇨ a = b 或 a = -b（即 a + b = 0）。 3.特殊情况：0 的相反数和绝对值都是它本身（0）。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值．根据绝对值的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 即一定是非正数． 故选：C． 【跟踪训练1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值，根据点在数轴上的位置，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， 综上：只有选项D正确； 故选D． 【跟踪训练2】如果是有理数，那么的最小值为 ． 【答案】/2.25 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，根据表示x与所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【详解】解：（1）当，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； （2）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当时，取得最小值为； （3）当，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 题型2.绝对值的计算方法 【典例】比较大小： ； ． 【答案】 < < 【分析】本题考查了有理数的大小比较及绝对值，对于第一个比较，先计算两个表达式的值，再比较大小；对于第二个比较，先求绝对值，再取相反数，然后根据负数比较法则比较． 【详解】解：计算 ，．由于负数小于正数，因此 ，即； 计算 ，所以 ． 比较 和 ，它们的绝对值分别为 2.5 和 2.25， 由于 2.5 > 2.25，根据负数比较法则，绝对值大的反而小， 因此 ，即． 故答案为：<，<． 【跟踪训练1】在数轴上，如果点A、B分别表示互为相反数的两个数（A在B的左边），且A、B两点的距离是5，则点A表示的数的绝对值是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、绝对值；点A、B分别表示互为相反数的两个数，说明这两个点在原点两侧，到原点距离相等，再根据A、B两点的距离是5即可求解. 【详解】解：∵点A、B分别表示互为相反数的两个数， ∴点A、B在原点两侧，到原点距离相等， ∵A、B两点的距离是5， ∴点A到原点的距离为 ∴点A表示的数的绝对值是. 故选：B. 【跟踪训练2】是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 【答案】 2 14 【分析】（1）根据，，，得解答即可． （2）分类计算即可． 本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据，，，得， ， 故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时， 当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时， 当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18， 综上所述，最小值为14， 故答案为：14． 题型3.绝对值的非负性性质 【典例】若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性作答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 【跟踪训练1】当 时，代数式有最大值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 【跟踪训练2】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 题型4.绝对值的综合应用 【典例】截至2025年10月18日，泸州足球窖香队在“川超”川南赛区的比赛中暂列第四名，每名球员每天都会进行高强度的训练．在下面4个训练用球中（其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数），从轻重的角度看，最适合训练的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 比较四个选项与标准质量的偏差绝对值的大小，据此进行求解即可． 【详解】解：因为、、、 则 从轻重的角度看，最接近标准的是D． 故选：D． 【跟踪训练1】若是实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 【跟踪训练2】的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求绝对值运算中的最小值问题，要根据算式先对的取值范围进行划分，再根据去绝对值符号法则进行化简，解题的关键是熟练掌握去绝对值符号法则． 【详解】当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ； ∴的最小值是， 故答案为：． 题型5.有理数的大小比较的基本方法 【典例】比较下列各组数的大小，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 通过直接计算比较各组数的大小，利用绝对值性质和负数比较法则判断． 【详解】解：A、因为正数大于负数，所以，故A错误； B、因为，所以，故B错误； C、因为，，，所以，故C错误； D、因为，，，所以，故D正确． 故选：D． 【跟踪训练1】若，则a、b、c中最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 c a 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先观察式子，再整理得，因为，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴最大的是，最小的是， 故答案为：c，． 【跟踪训练2】若为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，绝对值意义，由已知条件，，且，可得，进而比较，，，的大小关系，掌握有理数比较大小方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故选：． 题型6.有理数大小比较的实际场景应用 【典例】熔点是晶体物质熔化时的温度，标准大气压下，下列选项中熔点最高的是（   ） A．铜 B．煤油 C．甲苯 D．萘 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较的应用，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴熔点最高的是铜， 故选：A． 【跟踪训练1】小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 【跟踪训练2】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 【详解】解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． 题型7.相反数的概念与定义 【典例】如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，相反数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，可以确定在数轴上的位置，根据在数轴上越往右的数越大判断即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数到原点的距离相等， ∴可以确定在数轴上的位置如图， 根据在数轴上越往右的数越大， 只有A选项正确． 故选：A． 【跟踪训练1】用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 【答案】 【分析】 本题是一种新定义问题，间接考查了相反数的概念，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．解题的关键是根据题意掌握规律．根据新定义得到，，再计算即可． 【详解】 解：由题意得：，， ∴2， 故答案为：． 【跟踪训练2】若与互为相反数，则 ， ． 【答案】 0 2 【分析】此题考查了相反数的性质，以及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解本题的关键． 利用相反数的性质列出方程，再利用绝对值的非负数即可求出的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， 解得：， 故答案为：；． 题型8.相反数的实际应用 【典例】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查绝对值、相反数的意义； （1）根据表示的意义进行计算即可； （2）分均为小数；与中有一个是小数，一个是整数以及都是整数三种情况解答即可． 【详解】解：（1）根据表示的意义得，， 故答案为：； （2）当均为小数时，如，则，则， 和互为相反数，， 解得， 即的值是两个小于1的小数的和，即； 当与中有一个是小数，一个是整数时，的值是1与一个小于1的小数的和，即； 当都是整数时，， 和互为相反数，，即， 综上所述，代数式的最大值为2． 故答案为：2． 【跟踪训练2】的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数，熟练掌握相反数是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【详解】解：， 故选：B． 题型9.多重符号的化简规则 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号． 从内向外逐步化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪训练1】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 【跟踪训练2】的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，根据多重符号的计算顺序去括号即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 1．在，，，0中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，准确地化简各式是解题的关键．先化简各式，然后再进行比较即可解答． 【详解】解：，，， 在，，，0中， ， ∴最小的数是， 故答案为：． 2．下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点表示的数越大 B．符号不同的两个数互为相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值和0的概念，熟练掌握相关知识是解题关键．根据数轴的性质、相反数的定义、绝对值的性质和0的概念逐项判断即可得． 【详解】解：A、数轴上离原点越远的点表示的数的绝对值越大，如：离原点的距离大于1离原点的距离，但，则原说法错误，不符合题意； B、只有符号不同的两个数互为相反数，则原说法错误，不符合题意； C、绝对值等于本身的数是正数和0，则原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，则原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 4．有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 【答案】2 【分析】此题采用天平进行称量．先把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，根据平衡情况进行分析即可． 【详解】至少称两次，才能找出这袋较轻的糖． 第一次：把7袋糖果分为3份，分别为3袋、3袋、1袋，先将两个3袋的糖果分别放在天平秤两端，若一样重，则余下那一袋为最轻的；若不一样重，则略轻的1袋在天平较高端的1份中，此时进行第二次称量； 第二次：把较高端的1份再平均分为3份每份1袋，任取2份分别放在天平秤两端；若天平平衡，则略轻的1袋是剩下的1份；若天平不平衡，则天平较高端是略轻的1袋． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，关键是把7袋糖果进行合理分组． 5．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 【答案】2 【分析】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．根据题意，a、b、c两两不等，可设，易得，，，进而可得，，的符号，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设， 易得，，， 则，，中有2个是负数， 故答案为2． 6．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值有关的问题，根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ， 最后输出的结果是2，故①错误； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， 此时输出结果为4，故②错误； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ， 此时输出结果为0，为最小值，故③正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得(负值舍去)， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； ③④正确，正确的个数是2个， 故选B． 9．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．分种情况讨论，再进行计算求值；每种情况交换两组数，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：若取6，7，8，取5，4，3， ∴； 若取5，6，7；取8，4，3， ∴； 若取4，5，6；取8，7，3， ∴； 若取3，4，6；取8，7，5， ∴； 若取3，4，7；取8，6，5， ∴； 若取4，7，8；取6，5，3， ∴； 若取3，5，8；取7，6，4， ∴； 若取3，6，8；取7，5，4， ∴； 若取4，6，8；取7，5，3， ∴； 若取4，5，8；取7，6，3， ∴； 以上每种情况交换两组数，即，，分别变为，，；，，分别变为，，，则，结果不变；如取4，5，8；取7，6，3，交换两组数，即取3，6，7；取8，5，4，此时； 综上所述，m为9． 故选：B． 10．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 11．把下列各数填在相应的集合里： 11，，，0，，，，，． (1)正整数集合{______……}； (2)负有理数集合{______……}； (3)正分数集合{______……}． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查有理数分类，掌握有理数的相关定义是解题的关键． （1）将正的整数填入集合即可； （2）将负有理数填入集合即可； （3）将正分数填入集合即可． 【详解】（1）解：正整数集合{11，}； （2）解：负有理数集合{，，}； （3）解：正分数集合{，}． 12．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是．    13．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【详解】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 14．在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题主要考查数轴，化简多重符号；先化简，然后在数轴上表示各数，利用数轴比较有理数的大小即可． 【详解】解：化简：，，， 在数轴上表示各数： ∴． 15．定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 (3)或3 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （1）由题意即可求解； （2）根据表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离，根据这个距离为2即可求解； （3）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8，根据此意义考虑数x表示的点在表示的点的左边、在1表示的点的右边两种情况，即可求解； （4）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和，当数x表示的点在1表示的点与表示的点之间时，取到最小值． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离为2，而数轴上到表示的点的距离为2的点有两个，这两个点表示的数分别为1与， 即或， 故答案为：或； （3）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8， 由于数轴上1表示的点与表示的点的距离， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，且当时，有，满足题意； 当数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，且当，有，满足题意； 综上，或； 故答案为：或3； （4）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和， 当数轴上数x表示的点在1表示的点与表示的点的之间（包括这两个点）时，， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，或数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，这时数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和都大于4， 所以取到最小值4，此时x的取值范围为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02 绝对值与相反数讲义 1.绝对值的几何意义 2.绝对值的计算方法 3.绝对值的非负性性质 4.绝对值的综合应用 5.有理数的大小比较的基本方法 6.有理数大小比较的实际场景应用 7.相反数的概念与定义 8.相反数的实际应用 9.多重符号的化简规则 【知识点01】相反数 1. 核心定义 *代数定义：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0 的相反数是 0。 *几何定义：在数轴上，表示互为相反数的两个点（0 除外）分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 2.基本性质 (1)求和为 0（核心性质） 若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0；反之，若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数（这是判断两个数是否互为相反数的根本依据）。 (2)双重否定还原 一个数的相反数的相反数是它本身，即 −(−a)=a。 (3)几何对称性 在数轴上，互为相反数的两个点（0 除外）关于原点对称，且到原点的距离相等（与绝对值关联：互为相反数的两数绝对值相等）。 (3) 0 的特殊性 0 的相反数是 0（唯一一个相反数等于自身的数），不存在 “-0” 的独立概念，−0=0。 (4) 符号规律 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0 的相反数是 0（可总结为：改变数的符号即得其相反数，0 不变）。 3. 求相反数的方法 *求一个数的相反数：只需在这个数的前面添上 “-” 号（注意：数前面有符号时需化简）。 *求一个代数式的相反数：将代数式整体添上 “-” 号，再去括号化简。 易错点 1. 混淆 “相反数” 与 “倒数”：相反数是符号相反、绝对值相等的数，和为 0；倒数是乘积为 1 的数，两者概念完全不同 2. 2.认为 “带负号的数就是负数”：例如 -(-3)=3 是正数，-(+5)=-5 是负数，需先化简再判断符号。 3.忽略 0 的特殊性：0 的相反数是 0，没有倒数，这是唯一例外情况。 【知识点02】绝对值的几何意义 一、核心几何意义（基础定义） 在数轴上，一个数a所对应的点（记为点A）与原点（记为点 O，对应数字 0）之间的距离，叫做这个数的绝对值，记作∣a∣。 关键要点： 1.载体：必须依托数轴（一维直线，有原点、正方向、单位长度）； 2.对象：数对应的点与原点的位置关系； 3.本质：距离（距离是非负的长度，因此绝对值天然具有非负性：∣a∣≥0）； 4.特例：原点对应的数 0，到自身的距离为 0，故 ∣0∣=0。 二、延伸几何意义（拓展应用） 绝对值的几何意义可推广到数轴上任意两点间的距离：若数轴上点A对应数a，点B对应数b，则A、B两点之间的距离 =∣a−b∣（或∣b−a∣）。 原理： 两点间距离是 “两数差的绝对值”，本质是将其中一个点视为 “新原点”，转化为基础几何意义： 例：数轴上表示 3 和 - 2 的两点间距离 →∣3−(−2)∣=∣5∣=5（或 ∣−2−3∣=∣−5∣=5）； 例：数轴上表示x和 5 的两点间距离 →∣x−5∣（若 x=2，则距离为∣2−5∣=3）。 三、几何意义的核心价值 1.直观理解非负性：距离不可能为负，因此任何数的绝对值都≥0； 2.解释相反数的绝对值相等：互为相反数的两个数（如 3 和 - 3）在数轴上位于原点两侧，到原点的距离相等，故∣3∣=∣−3∣=3； 3.简化绝对值方程 / 不等式：例如∣x∣=2表示 “数轴上到原点距离为 2 的点”，对应x=2或x=−2；∣x∣<3 表示 “数轴上到原点距离小于 3 的点”，对应−3<x<3。 易混淆点提醒 1.绝对值的几何意义是 “距离”（长度，无方向），而非 “位置”（数轴上的点有正负方向，但距离无方向）； 2.两点间距离公式∣a−b∣中，a−b的正负表示方向，但绝对值消去了方向，只保留长度。 【知识点03】绝对值的非负性 绝对值的非负性是其最核心、最基础的性质（由几何意义 “距离” 推导而来），具体定义、表现形式及应用如下： 一、非负性的核心定义 对于任意有理数a，其绝对值满足∣a∣≥0（即绝对值的结果要么是正数，要么是 0，不可能为负数）。 本质原因： 绝对值的几何意义是 “数轴上点到原点的距离”，而距离是物理上的长度，长度不可能为负，因此绝对值天然具有非负性。 二、非负性的具体表现 1.单个绝对值的非负性 任何数的绝对值都≥0： *正数的绝对值是正数 *0 的绝对值是 0 *负数的绝对值是正数 2.多个绝对值的运算仍保持非负相关 *绝对值的和 / 积 / 商（除数≠0）仍≥0： 例：∣a∣+∣b∣≥0（两个非负数相加，结果≥0） 例：∣a∣⋅∣b∣≥0（两个非负数相乘，结果≥0）； *绝对值的最小值为 0（仅当 a=0 时，∣a∣=0）。 3.非负性的关键推论 若∣a∣+∣b∣=0（或多个绝对值的和为 0），则每个绝对值内的数都为 0（即a=0且b=0）。 原理：非负数相加为 0，只有每个非负数都为 0（“0+0=0”，正数 + 任何数≠0）。 三、非负性的典型应用 1. 求绝对值表达式的最值 最小值：绝对值的最小值为 0，因此含绝对值的表达式最小值可通过令绝对值内为 0 求得。 无最大值：绝对值可无限大，因此含绝对值的表达式无最大值（如 ∣x∣+5 可无限增大）。 2. 求解 “绝对值和为 0” 的方程 例：解方程∣2a+4∣+∣3b−9∣=0 解：由非负性可知，∣2a+4∣=0且∣3b−9∣=0 →2a+4=0→a=−2； →3b−9=0→b=3。 3. 判断绝对值等式的合理性 例：判断∣x∣=−2是否有解 → 无解（因为绝对值≥0，不可能等于负数）。 易错点提醒 1.混淆 “∣a∣=−a 与 “负数”：当a<0时，∣a∣=−a，但此时−a是正数（如 a=−5，−a=5），仍满足非负性； 2.忽略 “多个绝对值和为 0” 的推论条件：必须所有绝对值同时为 0，而非其中一个为 0； 3.错误认为 “绝对值的结果一定是正数”：忘记 0 的绝对值是 0（非负≠正数，正数 + 0 = 非负）。 【知识点04】绝对值的化简计算 核心原则：先判断绝对值内式子的正负，再按 “正不变、负变正、零为零” 去绝对值符号，最后计算。 一、基础类型（绝对值内为具体数字） 步骤： 1.算绝对值内结果，判断正负； 2.去绝对值符号（负数变相反数，正数 / 0 保留）； 3.计算最终值。 例：∣−5∣+∣3∣−∣−2∣=5+3−2=6 二、进阶类型（绝对值内含字母） 1. 已知字母取值范围 步骤： (1)根据条件判断绝对值内式子正负； (2)去符号化简。 例：已知x<−2，化简∣x+2∣+∣x−1∣=−(x+2)−(x−1)=−2x−1 2. 未知字母取值范围（分类讨论） 步骤： (1)找 “临界点”（令绝对值内式子 = 0 的字母值）； (2)按临界点分区间，判断每个区间内式子正负； (3)分区间去符号化简。 例：化简∣x−2∣ 临界点：x=2 x>2：x−2>0→∣x−2∣=x−2 x=2：∣x−2∣=0 x<2：x−2<0→∣x−2∣=2−x 三、特殊类型（绝对值和为 0） 规则：多个绝对值和为 0 → 每个绝对值内式子 = 0（非负性），先求字母值，再代入化简。 例：∣x−5∣+∣y+2∣=0→x=5，y=-2再代入计算。 易错点 1.未判断正负直接去绝对值； 2.分类讨论遗漏临界点； 3.负数去绝对值时符号错误。 【知识点05】绝对值的应用 1.比较两个负数的大小 规则：两个负数，绝对值大的反而小。 步骤：① 求两个负数的绝对值；② 比较绝对值的大小；③ 根据规则判断原数大小。 *例：比较 - 5 和 - 3 的大小 | -5 | = 5，| -3 | = 3，因为 5 > 3，所以 - 5 < -3。 2.表示数轴上两点间的距离 数轴上点 A（表示数 a）与点 B（表示数 b）之间的距离 = |a - b|（或 | b - a|）。 *例：数轴上表示 2 和 - 4 的两点间距离 = |2 - (-4)| = |6| = 6；表示 x 和 3 的两点间距离 = |x - 3|。 3.求解绝对值方程 / 不等式 绝对值方程：|x| = a（a ≥ 0）的解为 x = a 或 x = -a；若 a < 0，方程无解（因为绝对值非负）。 *例：|x|=4 → x=4 或 x=-4；|x|=-2 → 无解。 绝对值不等式： *|x| > a（a > 0）→ x > a 或 x < -a； *|x| < a（a > 0）→ -a < x < a； *若 a ≤ 0，|x| > a 的解集为全体有理数，|x| < a 无解。 例：|x| > 2 → x > 2 或 x < -2；|x| < 1 → -1 < x < 1。 易错点 1.忽略绝对值的非负性：例如认为 | x| = -x 时 x 一定是负数，忽略 x=0 的情况（x=0 时 | 0|=-0=0 也成立）。 2.化简含字母的绝对值时未分类讨论：例如直接认为 | a - 1|=a - 1，未考虑 a - 1 < 0 的情况。 3.混淆 “绝对值相等” 与 “数相等”：例如认为 | a|=|b | 则 a=b，忽略 a=-b 的情况。 4.比较负数大小时忘记 “绝对值大的反而小”：例如错误认为 - 6 > -4（实际 | -6 | = 6 > | -4 | = 4，所以 - 6 < -4）。 【知识点06】相反数与绝对值的关联 1.互为相反数的两个数绝对值相等：若 a 与 b 互为相反数，则 a = -b，因此 | a| = |-b| = |b|。 2.绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数：|a| = |b| ⇨ a = b 或 a = -b（即 a + b = 0）。 3.特殊情况：0 的相反数和绝对值都是它本身（0）。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】已知，则的值是（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【跟踪训练1】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如果是有理数，那么的最小值为 ． 题型2.绝对值的计算方法 【典例】比较大小： ； ． 【跟踪训练1】在数轴上，如果点A、B分别表示互为相反数的两个数（A在B的左边），且A、B两点的距离是5，则点A表示的数的绝对值是（    ） A． B． C．5 D．10 【跟踪训练2】是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为 ． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为 题型3.绝对值的非负性性质 【典例】若为有理数，式子存在最大值，则这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【跟踪训练1】当 时，代数式有最大值． 【跟踪训练2】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 题型4.绝对值的综合应用 【典例】截至2025年10月18日，泸州足球窖香队在“川超”川南赛区的比赛中暂列第四名，每名球员每天都会进行高强度的训练．在下面4个训练用球中（其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数），从轻重的角度看，最适合训练的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】若是实数，则的最小值为 ． 值是 ． 题型5.有理数的大小比较的基本方法 【典例】比较下列各组数的大小，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若，则a、b、c中最大的是 ，最小的是 ． 【跟踪训练2】若为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型6.有理数大小比较的实际场景应用 【典例】熔点是晶体物质熔化时的温度，标准大气压下，下列选项中熔点最高的是（   ） A．铜 B．煤油 C．甲苯 D．萘 【跟踪训练1】小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【跟踪训练2】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 题型7.相反数的概念与定义 【典例】如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，2，y，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】用“”与“”表示一种法则：，，如：，则2= ． 【跟踪训练2】若与互为相反数，则 ， ． 题型8.相反数的实际应用 【典例】若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练1】对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如，． （1）填空： ； （2）如果和互为相反数，那么代数式的最大值为 ． 【跟踪训练2】的值是（   ） A． B． C． D． 题型9.多重符号的化简规则 【典例】 ． 【跟踪训练1】下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】的值是 ． 1．在，，，0中，最小的数是 ． 2．下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点越远的点表示的数越大 B．符号不同的两个数互为相反数 C．绝对值等于本身的数是正数 D．0既不是正数也不是负数 3．有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 4．有7袋糖果，其中6袋质量完全相同，另1袋略轻一些，至少称 次才能找出这袋较轻的糖果． 5．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有 个是负数． 6．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 7．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是3；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则为（    ） A．10 B．9 C．7或9 D．9或10 10．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．把下列各数填在相应的集合里： 11，，，0，，，，，． (1)正整数集合{______……}； (2)负有理数集合{______……}； (3)正分数集合{______……}． 12．如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 13．已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 14．在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来． 15．定义：若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是______（用含的代数式表示）； (2)若，则的值为______； (3)若，则的值为______； (4)当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $