期末复习01有理数讲义(一)(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习01 有理数讲义(一) 1.正负数的定义 2.具有相反意义的量 3.正负数的实际应用意义 4.有理数的概念 5.有理数的分类方式 6.数轴的三要素及绘制方法 7.用数轴的点表示有理数 8.借助数轴比较有理数大小 9.数轴上两点间距离的计算 10.数轴上点的平移(动点问题) 11. 数轴上整点覆盖问题 12. 数轴上的规律探究类问题 【知识点01】正负数核心定义 1.正数：大于 0 的数，如 3、5.2、+7（“+” 通常省略）。 2.负数：小于 0 的数，如 - 2、-4.5、-3%（“-” 不可省略）。 3.0 的意义：既不是正数也不是负数，是正负数的分界；可表示 “没有”“基准”（如 0℃、海平面高度 0）。 4.相反意义的量：成对出现、意义相反且为同类数量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下。 5.有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称；有限小数、无限循环小数可化为分数，属于有理数。 【知识点02】关键公式与表示方法 1.相反意义的量表示：规定一方为正，另一方为负。例：上升 5 米记为 + 5 米，下降 3 米记为 - 3 米。 2.有理数分类 *按定义：有理数分为整数和分数；整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 *按性质：有理数分为正有理数、0、负有理数；正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。 3.常用“非”类有理数：非负数是正数和 0；非正数是负数和 0；非负整数是正整数和 0；非正整数是负整数和 0。 【知识点03】解题方法 1.正负数判断：看与 0 的大小关系，大于 0 为正，小于 0 为负，0 除外。 2.相反意义的量表示步骤 *(1)确定基准与正方向（如以海平面为 0，高于记正、低于记负）。 *(2)统一单位后用正负数记录。 *(3)检验是否符合 “成对、相反、同类” 三要素。 3.有理数分类步骤 *(1)先判断是否为整数或分数。 *(2)再按定义或性质归入对应类别，注意 0 的位置（既非正也非负）。 核心要点速记 1.正正、负负，0 分界；相反意义成对记，同类基准要统一。 2.有理分为整与分，性质正负零三分；非负包含正和零，非正包含负和零。 【知识点04】数轴核心定义及三要素 1. 定义 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，可向两端无限延伸，是表示实数（有理数和无理数）的几何模型。 2. 三要素（缺一不可） 要素 定义 注意事项 原点 数轴上表示数字 0 的点，是正负数的分界与度量基准 位置可灵活选定，但一经确定不得改动 正方向 数轴上数字增大的方向，通常规定向右为正（也可向上等） 需用箭头明确标注，方向决定数的增减规律 单位长度 数轴上代表 “1” 的线段长度，用于统一度量刻度 必须均匀一致，不可随意改变，如 1 到 2 与 2 到 3 的距离需相等 【知识点05】数轴的规范画法 1.画一条水平直线（基础载体）； 2.在直线上选合适位置标注原点（通常居中或偏左 / 右，适配数字范围）； 3.标注正方向（右侧画箭头）； 4.选取均匀单位长度，依次标注刻度：原点右侧为 1,2,3…，左侧为 - 1,-2,-3…； 5.标注对应数字，确保刻度清晰、规范。 【知识点06】数轴上点与数的对应关系 1.有理数的表示：任何一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点；原点右侧为正数，左侧为负数，原点表示 0。 2.实数的对应：数轴上的点与实数是一一对应关系，即每个实数对应数轴上一个点，每个点也对应一个实数（包括 π、√2 等无理数）。 3.核心结论：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数（比较有理数大小的核心依据）。 【知识点07】数轴上两点间的距离 一、核心定义 数轴上两点间的距离，指的是这两个点在数轴上对应的位置之间的线段长度，本质是非负数值（距离不存在负数），等于两点所对应实数的差的绝对值。 二、计算公式 若数轴上两点 A、B 对应的实数分别为x1、x2，则 A、B 两点间的距离d=∣x1−x2∣（也可写作∣x2−x1∣，因为绝对值具有对称性）。 公式推导逻辑： 1.若两点在原点同侧（均为正数或均为负数）：距离为较大数减去较小数，如点 3 和点 5 的距离为5−3=2，点 - 4 和点 - 1 的距离为−1−(−4)=3； 2.若两点在原点异侧（一正一负）：距离为两点对应数的绝对值之和，如点 - 2 和点 3 的距离为∣−2∣+∣3∣=5； 3.统一用绝对值表示：无论两点位置如何，∣x1−x2∣ 均可覆盖以上两种情况，避免分类讨论的繁琐。 三、关键性质 1.非负性：距离d≥0，当且仅当两点重合（x1=x2）时，距离为 0； 2.对称性：A 到 B 的距离 = B 到 A 的距离，即∣x1−x2∣=∣x2−x1∣； 3.可加性：若数轴上有三点 A、B、C，且 B 在 A、C 之间，则AC=AB+BC（如 A 对应 1，B 对应 3，C 对应 5，则AC=∣1−5∣=4，AB+BC=∣1−3∣+∣3−5∣=2+2=4 【知识点08】数轴的核心应用场景 1.比较有理数大小 直接根据 “右大左小” 原则判断，如 - 3 < -1 < 0 < 2.5，可直观排除大小判断错误。 2. 表示数与数的移动 *点的平移规律：向右平移 n 个单位，对应数加 n；向左平移 n 个单位，对应数减 n； 3. 表示不等式（组）的解集 一元一次不等式：如 x > 2，在数轴上表示为 2 右侧的射线（空心圆圈，不含 2）；x ≤ -1 表示为 - 1 左侧及 - 1 处的射线（实心圆点，含 - 1）； 不等式组：数轴上多个解集的公共部分即为不等式组的解，可快速确定交集范围。 4. 解决实际问题 *位置与行程：如数轴表示数轴上的站点，计算两站距离或移动后的位置； *温度 / 海拔等：用正负数对应温度高低、海拔升降，数轴直观呈现数值变化。 常见易错点与避坑指南 1.三要素缺失：画图漏标原点、箭头或单位长度不均，导致数轴无效； 2.单位长度混淆：误将 “长度单位（如厘米）” 当作 “单位长度”，或刻度间距不一致； 3.移动方向错误：混淆左右平移与数的加减关系，如向左移误作加； 4.解集标注错误：表示不等式时，空心圈（不含端点）与实心点（含端点）混用； 5.计算失误：忽略距离的非负性，未用绝对值计算两点间距离。 题型1.正负数的定义 【典例】下列各式中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 【跟踪训练2】下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 题型2.具有相反意义的量 【典例】下面各组量中，不具有相反意义的是（   ） A．进3个球和输3场比赛 B．浪费1吨水和节约2吨水 C．盈利400元和亏损300元 D．增长和减少 【跟踪训练1】在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作 ． 【跟踪训练2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 题型3.正负数的实际应用意义 【典例】如果表示向南走，那么 表示向北走． 【跟踪训练1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过 次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 题型4.有理数的概念 【典例】在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 【跟踪训练1】下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练2】若是最简真分数，则a可取的正整数有 ． 题型5.有理数的分类方式 【典例】下列说法正确的是（   ） A．既是整数也是负整数 B．正分数和负分数统称为分数 C．正数和负数统称为有理数 D．正整数、负整数统称为整数 【跟踪训练1】下列各数：，10，，，0，其中非正数共有 个 【跟踪训练2】若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型6.数轴的三要素及绘制方法 【典例】我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【跟踪训练1】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 题型7.用数轴的点表示有理数 【典例】数轴上点A与点B相距2个单位且点A在点B的左侧，若点B表示的数为，则点A表示的数是 ． 【跟踪训练1】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为 ． 【跟踪训练2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 题型8.借助数轴比较有理数大小 【典例】如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【跟踪训练2】数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 题型9.数轴两点间距离的计算 【典例】数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示，则点B所表示的数是（   ） A． B．4 C． D．4或 【跟踪训练1】若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为． （1）若、，点表示的有理数是，并且满足，则为 ； （2）结合数轴探究：存在的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【跟踪训练2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ． 题型10.数轴上点的平移(动点问题) 【典例】点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【跟踪训练1】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 ．（用含n的代数式表示） 【跟踪训练2】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 题型11.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【跟踪训练1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练2】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 题型12.数轴上规律探究类问题 【典例】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练1】如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为 ． 【跟踪训练2】如图，将边长为1的正方形以顶点A为旋转中心，沿数轴顺时针连续滚动．起点A表示的数是，则数轴上数2025所对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 1．在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 2.在中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 3．薯片袋上标有“”的字样中，表示 ，表示为 ．说明每袋薯片的质量在 和 之间． 4．宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ． 5．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 6．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 7．有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 9．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 10．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 11．把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 12．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 13．已知有理数：，，3.2，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“”连接起来． 14．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 15．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01 有理数讲义(一) 1.正负数的定义 2.具有相反意义的量 3.正负数的实际应用意义 4.有理数的概念 5.有理数的分类方式 6.数轴的三要素及绘制方法 7.用数轴的点表示有理数 8.借助数轴比较有理数大小 9.数轴上两点间距离的计算 10.数轴上点的平移(动点问题) 11. 数轴上整点覆盖问题 12. 数轴上的规律探究类问题 【知识点01】正负数核心定义 1.正数：大于 0 的数，如 3、5.2、+7（“+” 通常省略）。 2.负数：小于 0 的数，如 - 2、-4.5、-3%（“-” 不可省略）。 3.0 的意义：既不是正数也不是负数，是正负数的分界；可表示 “没有”“基准”（如 0℃、海平面高度 0）。 4.相反意义的量：成对出现、意义相反且为同类数量，如收入与支出、上升与下降、零上与零下。 5.有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称；有限小数、无限循环小数可化为分数，属于有理数。 【知识点02】关键公式与表示方法 1.相反意义的量表示：规定一方为正，另一方为负。例：上升 5 米记为 + 5 米，下降 3 米记为 - 3 米。 2.有理数分类 *按定义：有理数分为整数和分数；整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 *按性质：有理数分为正有理数、0、负有理数；正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。 3.常用“非”类有理数：非负数是正数和 0；非正数是负数和 0；非负整数是正整数和 0；非正整数是负整数和 0。 【知识点03】解题方法 1.正负数判断：看与 0 的大小关系，大于 0 为正，小于 0 为负，0 除外。 2.相反意义的量表示步骤 *(1)确定基准与正方向（如以海平面为 0，高于记正、低于记负）。 *(2)统一单位后用正负数记录。 *(3)检验是否符合 “成对、相反、同类” 三要素。 3.有理数分类步骤 *(1)先判断是否为整数或分数。 *(2)再按定义或性质归入对应类别，注意 0 的位置（既非正也非负）。 核心要点速记 1.正正、负负，0 分界；相反意义成对记，同类基准要统一。 2.有理分为整与分，性质正负零三分；非负包含正和零，非正包含负和零。 【知识点04】数轴核心定义及三要素 1. 定义 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，可向两端无限延伸，是表示实数（有理数和无理数）的几何模型。 2. 三要素（缺一不可） 要素 定义 注意事项 原点 数轴上表示数字 0 的点，是正负数的分界与度量基准 位置可灵活选定，但一经确定不得改动 正方向 数轴上数字增大的方向，通常规定向右为正（也可向上等） 需用箭头明确标注，方向决定数的增减规律 单位长度 数轴上代表 “1” 的线段长度，用于统一度量刻度 必须均匀一致，不可随意改变，如 1 到 2 与 2 到 3 的距离需相等 【知识点05】数轴的规范画法 1.画一条水平直线（基础载体）； 2.在直线上选合适位置标注原点（通常居中或偏左 / 右，适配数字范围）； 3.标注正方向（右侧画箭头）； 4.选取均匀单位长度，依次标注刻度：原点右侧为 1,2,3…，左侧为 - 1,-2,-3…； 5.标注对应数字，确保刻度清晰、规范。 【知识点06】数轴上点与数的对应关系 1.有理数的表示：任何一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点；原点右侧为正数，左侧为负数，原点表示 0。 2.实数的对应：数轴上的点与实数是一一对应关系，即每个实数对应数轴上一个点，每个点也对应一个实数（包括 π、√2 等无理数）。 3.核心结论：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数（比较有理数大小的核心依据）。 【知识点07】数轴上两点间的距离 一、核心定义 数轴上两点间的距离，指的是这两个点在数轴上对应的位置之间的线段长度，本质是非负数值（距离不存在负数），等于两点所对应实数的差的绝对值。 二、计算公式 若数轴上两点 A、B 对应的实数分别为x1、x2，则 A、B 两点间的距离d=∣x1−x2∣（也可写作∣x2−x1∣，因为绝对值具有对称性）。 公式推导逻辑： 1.若两点在原点同侧（均为正数或均为负数）：距离为较大数减去较小数，如点 3 和点 5 的距离为5−3=2，点 - 4 和点 - 1 的距离为−1−(−4)=3； 2.若两点在原点异侧（一正一负）：距离为两点对应数的绝对值之和，如点 - 2 和点 3 的距离为∣−2∣+∣3∣=5； 3.统一用绝对值表示：无论两点位置如何，∣x1−x2∣ 均可覆盖以上两种情况，避免分类讨论的繁琐。 三、关键性质 1.非负性：距离d≥0，当且仅当两点重合（x1=x2）时，距离为 0； 2.对称性：A 到 B 的距离 = B 到 A 的距离，即∣x1−x2∣=∣x2−x1∣； 3.可加性：若数轴上有三点 A、B、C，且 B 在 A、C 之间，则AC=AB+BC（如 A 对应 1，B 对应 3，C 对应 5，则AC=∣1−5∣=4，AB+BC=∣1−3∣+∣3−5∣=2+2=4 【知识点08】数轴的核心应用场景 1.比较有理数大小 直接根据 “右大左小” 原则判断，如 - 3 < -1 < 0 < 2.5，可直观排除大小判断错误。 2. 表示数与数的移动 *点的平移规律：向右平移 n 个单位，对应数加 n；向左平移 n 个单位，对应数减 n； 3. 表示不等式（组）的解集 一元一次不等式：如 x > 2，在数轴上表示为 2 右侧的射线（空心圆圈，不含 2）；x ≤ -1 表示为 - 1 左侧及 - 1 处的射线（实心圆点，含 - 1）； 不等式组：数轴上多个解集的公共部分即为不等式组的解，可快速确定交集范围。 4. 解决实际问题 *位置与行程：如数轴表示数轴上的站点，计算两站距离或移动后的位置； *温度 / 海拔等：用正负数对应温度高低、海拔升降，数轴直观呈现数值变化。 常见易错点与避坑指南 1.三要素缺失：画图漏标原点、箭头或单位长度不均，导致数轴无效； 2.单位长度混淆：误将 “长度单位（如厘米）” 当作 “单位长度”，或刻度间距不一致； 3.移动方向错误：混淆左右平移与数的加减关系，如向左移误作加； 4.解集标注错误：表示不等式时，空心圈（不含端点）与实心点（含端点）混用； 5.计算失误：忽略距离的非负性，未用绝对值计算两点间距离。 题型1.正负数的定义 【典例】下列各式中，结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，通过计算每个表达式的值，判断其正负性，即可； 【详解】解：对于选项A：∵ ，∴ 不是负数； 对于选项B：∵ ，∴ 不是负数； 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ 是负数； 对于选项D：∵ ，∴ 不是负数； 故选：C 【跟踪训练1】已知一组数：，，，，0，把这些数分别填在下面对应的集合中：①负数集合： ；②整数集合： ；③非负数集合： ； 【答案】 ，0 ，，，0 【分析】本题考查了有理数的分类、正负数的定义等知识点，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 根据有理数的分类及正负数的定义解答即可． 【详解】解：负数集合：；整数集合：，0；非负数集合：，，，0． 故答案为：；，0；，，，0． 【跟踪训练2】下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 题型2.具有相反意义的量 【典例】下面各组量中，不具有相反意义的是（   ） A．进3个球和输3场比赛 B．浪费1吨水和节约2吨水 C．盈利400元和亏损300元 D．增长和减少 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量是指表示相反方向变化的量，如增加与减少、收入与支出等．选项A中的“进3个球”和“输3场比赛”不是同一类量，且不构成直接相反意义；而选项B、C、D中的量均具有明显相反意义． 【详解】解：∵ 相反意义的量需满足方向相反，如正负对应． 选项A：“进球”指得分增加，“输比赛”指比赛结果失败，二者概念不同，无直接相反关系； 选项B：“浪费”与“节约”行为相反； 选项C：“盈利”与“亏损”状态相反； 选项D：“增长”与“减少”趋势相反． ∴ 不具有相反意义的是选项A． 故选：A． 【跟踪训练1】在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作， 故答案为：． 【跟踪训练2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作， 故选：C． 题型3.正负数的实际应用意义 【典例】如果表示向南走，那么 表示向北走． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数的实际意义，涉及的知识点是“用正负数表示具有相反意义的量”．解题方法是根据已知的“向南用正数表示”，确定其相反意义的“向北”对应的符号；解题关键是明确相反意义的量用相反符号表示．易错点是混淆相反意义的量对应的符号，导致表示错误．解题思路为：根据“向南用表示”，判断向北走对应的符号，进而写出表示向北走40m的数． 【详解】由于向南走表示为，所以向南为正方向，那么向北走应用负数表示，因此表示为． 故答案为． 【跟踪训练1】微信钱包收入200元时在微信账单中显示为，那么支出50元将显示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，根据在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可解题． 【详解】解：收入200元显示为， 支出50元将显示为， 故选：B． 【跟踪训练2】桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过 次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 题型4.有理数的概念 【典例】在，，0，，，031313111…（每两个3之间依次多一个1）中，有理数有 个 【答案】4 【分析】此题考查有理数的定义：整数和分数（包括有限小数和无限循环小数）统称为有理数，据此判断每个数是否属于有理数 【详解】解：是无限循环小数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 中含有无理数π，是无限小数，不是有理数； 即，是有限小数，是有理数； 031313111…（每两个3之间依次多一个1）是无限不循环小数，不是无理数， 因此，有理数有4个， 故答案为：4 【跟踪训练1】下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【跟踪训练2】若是最简真分数，则a可取的正整数有 ． 【答案】1、3、5、7 【分析】根据最简分数的意义，分子、分母互质来求解，还要考虑是真分数，即分子比分母小．即可得解． 【详解】解：若是真分数，则a可取的正整数有：1、2、3、4、5、6、7； 其中2、4、6和8不互质，能约分，即＝，＝，＝，约分后分母不再是8； 所以a可取的正整数只有1、3、5、7． 故答案为：1、3、5、7． 【点睛】此题考查了有理数，关键是熟练掌握最简真分数的意义． 题型5.有理数的分类方式 【典例】下列说法正确的是（   ） A．既是整数也是负整数 B．正分数和负分数统称为分数 C．正数和负数统称为有理数 D．正整数、负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的定义，分数包括正分数和负分数；0是整数但不是负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；整数包括正整数、0、负整数，逐项判断即可． 【详解】解：∵ 0是整数但不是负整数，∴ A错误； ∵ 分数包括正分数和负分数，∴ B正确； ∵ 有理数包括正有理数、、负有理数，而正数和负数不包括，且正数和负数不一定都是有理数（如无理数），∴ C错误； ∵ 整数包括正整数、、负整数，∴ D漏了，∴ D错误． 故选：B． 【跟踪训练1】下列各数：，10，，，0，其中非正数共有 个 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法即可得出答案，掌握有理数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：， 非正数有，，0，，共个， 故答案为：． 【跟踪训练2】若为整数，则整数可取的值有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键． 分别用列举法确定为整数的的值，然后取公共部分即可解答． 【详解】解：∵为整数时， ∴可取； ∵为整数时， ∴可取， ∴当为整数时，可取值为共两个． 故选C． 题型6.数轴的三要素及绘制方法 【典例】我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数． 故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正． 【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键． 【跟踪训练1】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【跟踪训练2】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 题型7.用数轴的点表示有理数 【典例】数轴上点A与点B相距2个单位且点A在点B的左侧，若点B表示的数为，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的相关知识，掌握数轴上两点之间距离的意义是解题关键． 根据数轴上点的位置关系，点A在点B左侧，故点A表示的数为点B表示的数减去距离． 【详解】解：点B表示的数为，点A在点B左侧且相距2个单位， 点A表示的数为． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：和刻度分别与数轴上表示2和4的两点对齐， 数轴的单位长度是， 原点对应的刻度， 数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故答案为：． 【跟踪训练2】已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据，，，得到且，然后结合选项中的数轴，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵，，， ∴且， 即 故选：D． 题型8.借助数轴比较有理数大小 【典例】如图所示，表示数的点在数轴上，则将从小到大排列正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较是解题的关键；由数轴可知，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴； 故选B． 【跟踪训练1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 【跟踪训练2】数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 题型9.数轴两点间距离的计算 【典例】数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示，则点B所表示的数是（   ） A． B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点距离公式． 根据数轴上两点距离公式计算即可． 【详解】解：∵数轴上A、B两点之间的距离是5，点A在数轴上表示， ∴点B所表示的数是或． 故选：D． 【跟踪训练1】若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为． （1）若、，点表示的有理数是，并且满足，则为 ； （2）结合数轴探究：存在的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示方法，熟记数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）根据两点距离公式，得到、，由得，解绝对值方程即可得到答案； （2）由题意可知，表示数轴上点到和的距离之差，分区间讨论其取值范围，从而求出最大值． 【详解】解：（1）由题意可知，、， ， ， 则或， 解得或， 故答案为：或； （2）由题意可知，指数轴上表示的点与表示的点之间的距离，指数轴上表示的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上点到和的距离之差， 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，， 即式子有最大值，这个最大值是， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，圆周长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点走过的路线长是圆的周长，据此解答即可． 【详解】解：∵圆的周长为， ∴半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是． 故答案为：． 题型10.数轴上点的平移(动点问题) 【典例】点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 【跟踪训练2】点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 题型11.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图，在数轴上，点A，B所表示的数分别为，，则A，B两点之间表示整数的点一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，正确理解题意是解题的关键．根据有理数大小比较的方法确定出、分别介于哪两个整数之间，进而即可得出A、B两点之间表示整数的点个数． 【详解】解：，， ∴所以大于并且小于的整数有、、、0、1、2共6个． 故答案为：6． 【跟踪训练1】如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【跟踪训练2】.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 题型12.数轴上规律探究类问题 【典例】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，将边长为1的正方形以顶点A为旋转中心，沿数轴顺时针连续滚动．起点A表示的数是，则数轴上数2025所对应的字母是（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点的规律．列举出数轴上1，2，3，4四个数对应的点，，故2025对应的点与1对应的点相同． 【详解】解：由题可知，正方形旋转1次后在的位置， 旋转第2次后，在0的位置， 旋转第3次后，在1的位置， 旋转第4次后，在2的位置， 旋转第5次后，在3的位置， 旋转第6次后，C在4的位置， ∵， ∴数轴上2025所对应的点是点． 故选：D． 1．在，0，，，2024，，，中，非负整数有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查非负整数，熟练掌握非负整数的分类是解题的关键．根据非负整数即正整数以及即可得到答案． 【详解】解：非负整数有，0，2024． 故答案为：． 2.在中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 【答案】 4 2 3 【分析】根据分数、整数、非负数的定义，对给定的数进行分类统计．本题主要考察了有理数的分类，熟练掌握分数、整数、非负数的定义是解题的关键． 【详解】分数有，共4个；整数有0，，共2个；非负数有0，，，共3个． 故答案为：4；2；3． 3．薯片袋上标有“”的字样中，表示 ，表示为 ．说明每袋薯片的质量在 和 之间． 【答案】 比多 比少 245 255 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：薯片袋上标有“”的字样中，表示比多，表示为比少．说明每袋薯片的质量在和之间． 故答案为：比多；比少；245；255． 4．宜宾有着“万里长江第一城”的美誉，长江的水位随着季节的变化而变化，如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法． 【详解】解：如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作， 故答案为：． 5．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移计算，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据数轴上点的平移解答即可． 【详解】解：当点在表示的点的右边时， 该点表示的数是：； 当点在表示的点的左边时， 该点表示的数是：； 故该点表示的数是2或， 故选：C． 6．如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 7．有理数，在数轴上表示的点如图所示，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过数轴比较有理数大小，根据数轴可知，所以在原点右侧，由，则，从而可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在原点的左侧， ∴， ∴在原点右侧， ∵， ∴， ∴，即， 故选：． 8．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 9．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 10．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 【答案】①③/③① 【分析】利用数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数等知识推理判断说明即可． 【详解】解：如图， 因为， 所以同号， 因为， 所以同号， 所以， 所以①正确； 因为， 所以同号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以②错误； 因为， 所以异号， 因为， 所以异号， 所以， 所以③正确； 因为， 所以异号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数，熟练掌握上述知识是解题的关键． 11．把下列各数填入相应的大括号内，，，，，，，． 负数集合{                   }；整数集合{                 }． 分数集合{                   }；非负数集合{                   }． 【答案】 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类，关键是根据定义准确区分； 根据负数、整数、分数、非负数的定义进行填写． 【详解】解：负数是小于零的数； 整数包括正整数、负整数、零； 分数包括正分数、负分数； 非负数包括零和正数； 故答案为：负数集合：； 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 12．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【分析】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【详解】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 13．已知有理数：，，3.2，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及有理数的大小比较，涉及的知识点是“数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）”“绝对值的化简”“有理数大小比较规则（数轴上左边的数小于右边的数，负数正数）”．解题方法是先化简绝对值，再将各数对应到数轴的相应位置；利用数轴上数的位置关系或有理数大小规则比较大小．解题关键是准确化简，正确在数轴上定位分数、负数．易错点是化简时符号错误，或数轴上分数的位置定位不准确． （1）先化简，再将6个数分别对应到数轴的对应点并标注； （2）根据数轴上数的左右位置，将6个数按从小到大排列． 【详解】（1），在数轴上表示为： （2）由图可知： ． 14．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 15．如图，在数轴上，点表示，点表示8，点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，同时，点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为． (1)求的长； (2)若，，且，求的长； (3)直接写出点、表示的数（用含、、的式子表示）； (4)点为、之间的动点，在、运动过程中，设，，且，始终为定值，直接写出、满足的数量关系． 【答案】(1)10 (2)7 (3)点表示的数为：，点表示的数为：； (4)． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）直接根据两点间的距离公式计算即可； （2）先求出点P、点Q表示的数，再求的长即可； （3）直接根据两点间的距离公式计算即可； （4）由（3）可知，，则，，即，由，，可知，根据求出，根据始终为定值得到，即可求出、满足的数量关系． 【详解】（1）解：； （2）解：若，，且， 则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴； （3）解：∵点从原点出发，沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； ∵点从点出发沿数轴负方向以的速度向终点运动，运动时间为， ∴点表示的数为； （4）解：∵点表示的数为：， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵始终为定值， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $