精品解析：陕西省西安市西咸新区秦汉中学2025-2026学年上学期九年级期中测试数学试卷

初三第一学期期中素质调研 数学 （秦汉中学初23级） 考试时间：120分钟 满分120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 如图所示三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图．主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内， 如图，主视图为， 故选：C． 2. 已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中． 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案． 【详解】解：∵点C把线段黄金分割，且， ∴， ∴． 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 4. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法与树状图法求概率的方法，先列表或画图展示所有等可能的结果数，再找出某事件发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率为，先画树状图展示所有6种等可能的结果，再找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为 ， 共有6种等可能的结果，它们是，其中点在第二象限的共2种结果，它们是， ∴点在第二象限的概率是   故选： ． 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该厂生产零件的月平均增长率为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设该厂生产零件的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：A． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 7. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点B作，交延长线于点G，利用平行线构造相似三角形是解题的关键； 过点B作，交延长线于点G，利用可得，，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点G， 设，，则， ， ，， 由，可得， ， 由，可得， 即． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，那么它们的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握形似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边上的中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， ∵其最大边上的中线长分别为和， ∴． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， 即． 故答案为：． 10. 小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼______ 条． 【答案】4000 【解析】 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数．本题主要考查了频率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设鱼的总数为条， 鱼的概率近似等于 解得． 故答案为：． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 12. 如图，直线轴，分别交函数，的图象于，两点，点是轴上一点，连接，，若的面积为，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有，再结合函数图象所在的象限，确定k的值． 【详解】解：如图，连接，． 轴． ． 令与轴交于点，由的几何意义知， ， ． 故答案为：. 13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点(点P不与B、C重合)，若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=__________. 【答案】6或 【解析】 【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，即可求得AB与CD的值，又由以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，可得∠DPC=90°或∠CDP=90°，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PC的值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12， ∴AB=15， ∵D是AB边的中点， ∴CD=BD=AB=7.5， ∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°， （1）如图1： 若∠DPC=90°，则DP∥AC， ∴==， ∴BP=BC=6， 则PC=6； （2）如图2： 若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA， ∴=， 即=， ∴PC=． 综上所述：PC=6或． 故答案为6或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用． 14. 如图,已知线段AB=9，点C为线段AB上一点,AC=3,点D为平面内一动点,且满足CD=3,连接BD将BD绕点D逆时针旋转90到DE，连接BE、AE,则AE的最大值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE．证明△EBO∽△DBC，从而发现E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆，求出AO，最后根据三角形三边关系，可得AC最大值． 【详解】解：以BC为直角边在BC上方作等腰直角三角形BOC，如图，连接AO、OE． 则， ∵∠EBD＝∠OBC， ∴∠EBO＝∠DBC， ∴△EBO∽△DBC． ∴． ∵D点运动轨迹是以C为圆心，CD＝3为半径的圆， ∴E点运动的轨迹是以O为圆心，OE＝为半径的圆． ∵AE≤AO＋OE，AO＝，OE＝． ∴AE最大值为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等，解题的关键是作出辅助线，通过证明△EBO∽△DBC找到E点运动的轨迹． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的混合运算．根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简和合并计算即可求解． 【详解】解：原式  16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解． （2）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， 即， ∴， ∴或， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】（1） 解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为 ； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， 又∵ ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得，则有和，结合中点得，即可证明，根据，即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成3份，分别标有数字1、2、3，其中标有数字1、2的扇形的圆心角均为．转动转盘，当它自动停止后，指针指向的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（指针指向两个扇形的分界线，则不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出数字1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次转出数字之积等于9的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）数字1的扇形圆心角为90°，除以360°，即可得转出数字1的概率； （2）将数字3的扇形等分为2份，则圆被4等分，分别标有数字1，2，3，3，再采用列表法列举出转两次，数字之积所有等可能的结果，找出等于9的情况数，利用概率公式即可求解． 【详解】（1）∵数字1的扇形圆心角为90°， ∴转出数字1的概率=； （2）如图，将数字3的扇形等分为2份，则圆被4等分，分别标有数字1，2，3，3，转动一次，四个数字出现的概率都为 转动两次，数字之积所有等可能的结果列表如下： 1 2 3 3 1 1×1=1 2×1=2 3×1=3 3×1=3 2 1×2=2 2×2=4 3×2=6 3×2=6 3 1×3=3 2×3=6 3×3=9 3×3=9 3 1×3=3 2×3=6 3×3=9 3×3=9 总共有16种等可能的情况，等于9有4种情况， ∴两次转出数字之积等于9的概率= 【点睛】本题考查求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程，有两个实数根．设，求的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程，有两个实数根． ∴， 解得： ∴ ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为 故答案为：． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽为，则车棚长为___________m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）设车棚宽度的长为，则车棚长度为，根据车棚面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 【小问1详解】 解： 故答案为：． 【小问2详解】 解：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，，而墙长，不合题意，舍去， 答：自行车车棚的长为，宽为． 23. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 24. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 【答案】牌坊的高度11米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，利用相似三角形的性质可求出，证明，得出，然后代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即牌坊的高度11米． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，连接． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的前提. （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【小问1详解】 解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 26. 【实践感悟】 （1）如图1，把两个自制的直角三角板与的直角顶点叠放在一起，其中，，则线段与的数量关系为_____； 【探究发现】 （2）如图2，在中，，为上一点，，交于点，将绕点顺时针旋转对应点分别为N，M，连接，在旋转过程中设（为参数），试求的值（用表示）； 【问题解决】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图3所示．其中厘米，厘米，，垂足是，是的中点，且，连结，．在尝试画图的过程中，王师傅发现图中三条线段之间存在一定的数量关系，请你求出这个关系式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接、，先证明，再证明，得到，即可得到答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）通过证明，由相似三角形的性质可求，由勾股定理可求关系式，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，连接、，如图： 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：根据题意，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴； （3）证明：，是的中点， ，，， 如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期期中素质调研 数学 （秦汉中学初23级） 考试时间：120分钟 满分120分 说明：请将所有答案填写在答题纸上． 第I卷（选择题，共24分） 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 如图所示三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 从，3，6这三个数中任取两个数作为点的横坐标和纵坐标，则点在第二象限的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂生产零件的月平均增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 48 8. 如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共96分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9. 如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，那么它们的面积比为______． 10. 小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼______ 条． 11. 若，是方程的两个实数根，则的值为________． 12. 如图，直线轴，分别交函数，的图象于，两点，点是轴上一点，连接，，若的面积为，则的值是_____． 13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点(点P不与B、C重合)，若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=__________. 14. 如图,已知线段AB=9，点C为线段AB上一点,AC=3,点D为平面内一动点,且满足CD=3,连接BD将BD绕点D逆时针旋转90到DE，连接BE、AE,则AE的最大值为 ________． 三、解答题（共12小题，满分78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． （1）在图中找出点的位置，并写出点的坐标． （2）以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．求证：． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成3份，分别标有数字1、2、3，其中标有数字1、2的扇形的圆心角均为．转动转盘，当它自动停止后，指针指向的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（指针指向两个扇形的分界线，则不计转动次数重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出数字1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次转出数字之积等于9的概率． 21. 已知关于的一元二次方程，有两个实数根．设，求的最大值． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若设车棚宽为，则车棚长为___________m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 23. 如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 （1）求证： （2）当时，求的长 24. 西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，连接． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【实践感悟】 （1）如图1，把两个自制的直角三角板与的直角顶点叠放在一起，其中，，则线段与的数量关系为_____； 【探究发现】 （2）如图2，在中，，为上一点，，交于点，将绕点顺时针旋转对应点分别为N，M，连接，在旋转过程中设（为参数），试求的值（用表示）； 【问题解决】 （3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（），如图3所示．其中厘米，厘米，，垂足是，是的中点，且，连结，．在尝试画图的过程中，王师傅发现图中三条线段之间存在一定的数量关系，请你求出这个关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $