精品解析：四川省凉山州西昌天立学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

四川省凉山州西昌天立学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 8. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 10. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 11. 如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（6分） 13. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 14. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______． 三、解答题（58分） 15. 解方程：． 16. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 17. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 18. 已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 20. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系满足，设公司获得的总利润为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）当取何值时，最大？最大值是多少？ 21. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 22. 如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 23. 在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省凉山州西昌天立学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 已知的半径为5，点到圆心的距离为4，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外则；点在圆上则；点在圆内则． 直接根据圆的半径以及点到圆心的距离，求解即可． 【详解】解：由题意可得，的半径为5，点到圆心的距离为4， ∵， ∴点在内， 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为； 故选：B． 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，在两边加上一次项系数的一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：． 7. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 8. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分， 画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况， ∴可配成紫色的概率是： 故选D． 9. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 10. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x﹣1）＝36， 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 11. 如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 根据四边形是正方形及，可证出，则得到：①；可判断④；可以证出，则②一定成立；用反证法可证明，即可判断③． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， （故①正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴（故④正确）； ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ 一定成立（故②正确）； 假设， ， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在中，， ，这与正方形的边长相矛盾， 假设不成立，（故③错误）； ∴正确的有①②④共3个正确， 故选：C． 12. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 二、填空题（6分） 13. 若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，点关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标均互为相反数，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：若点与点关于原点对称，则点的坐标为， 故答案为：． 14. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______． 【答案】等 【解析】 【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式． 【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a＞0，c=1， ∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键． 三、解答题（58分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先因式分解得，可得或，即可求出解． 【详解】解：， 移项得：， 则， 故或， 解得：． 16. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 17. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，y的取值范围为______． 【答案】（1） （2） 由题意可得函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 18. 已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 解：如图所示． （2）①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，切线的判定定理． （1）根据题目中的叙述，利用尺规作图即可； （2）根据“直径所对的圆周角是直角”以及“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有两个实数根，，且有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由方程可得，，，， 则判别式， 则无论为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法求一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系以及一元二次方程的求解． （1）求方程的判别式为，即可求证； （2）由方程可得，解得，，根据有一根为负数可得，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程可得， 解得，， 由有一个根为负数可得，，解得． 20. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系满足，设公司获得的总利润为元． （1）求与之间的函数表达式； （2）当取何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，的值最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出函数关系式，以及二次函数的性质． （1）根据题意可得，，再根据，求解即可； （2）利用二次函数的性质，求得最值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 再由可得，， 即， 答：与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵，开口向下，对称轴为， ∴时，取得最大值，最大值为， 答：当时，的值最大，最大值为． 21. 如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：是圆O的切线； （2）若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 22. 如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 23. 在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $