培优专题三 三角形的四心讲义-2026届高三数学一轮复习

三角形的四心 模块1 四心的基本性质 【1】重心 （1）是△的重心；重心坐标：； （2）为△的重心，P为平面上任意点，则； 【2】垂心 （1）斜三角形垂心坐标：； （2）H是△的垂心； 【3】内心 设的内切圆为圆，切边于，则有如下重要结论： （1）是的内心 （其中a、b、c为的三条边）； （2）； （3）； （4）内心点的坐标为； 【4】外心 （1）若O是的外心，则； （2）斜三角形外心坐标：； （3）设分别是的外心、重心、垂心，则三点共线，且（欧拉线）； 模块2 判断是某心 为了减少暗示性，下面的例题不过度分类，请同学们在订正之后，再按“重心”“内心”“外心”“垂心”进行梳理归纳. 基本策略：（1）消掉无关点 （2）移项分解 例1.在中，若，则点G是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 例2.若为所在平面内一点，且则点是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例3.已知是所在平面内一点，且满足，则点（ ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心 例4.若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 例5.是所在平面上一点，若，则是的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例6.为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．重心 例7.下列叙述正确的是________． ①为的重心． ②为的垂心． ③为的外心． ④为的内心． 例8.设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的　　 A．重心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．垂心 例9.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例10.（多选）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 例11.（多选）若点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（ ） A．直线必过边的中点 B． C．若的面积为9，则的面积是4 D． 模块3 判断过某心 基本结论：已知是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足： (1)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; (2)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; (3)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; (4)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; (5)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; (6)，则直线AP一定通过△ABC的（ ）心; 例1.已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例2.在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 例3.（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点 例4. 在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心 模块4 四心表示 顶点与重心连线的向量表示 结论： 顶点与内心连线的向量表示 策略：（1）若AD是的平分线，则. （2）根据求得AI的向量表示. 例1.已知在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝5，点I为△ABC的内心，若,求x，y的值. 顶点与外心连线的向量表示 例2.已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 顶点与垂心连线的向量表示 例3.在中，，，为的垂心，且满足，则___________. 模块5四心计算 重心计算 例1.在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________. 例2.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 外心计算 例3.在中，，为的外心，则（       ） A．－4 B．4 C．－6 D．6 例4. 设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（       ） A． B． C． D． 例5.设为的外心，若，则的值为___________. 例6.在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____． 例7.已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________． 例8.已知内接于一个半径为2的圆，其中为圆心，为的重心，则的取值范围为_______ 内心计算 例9.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________． 模块6四心轨迹 1.焦点三角形重心轨迹方程： 设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为． 2.焦点三角形外心轨迹方程： 动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的左、右焦点，设焦点三角形的外心为，则外心的轨迹方程为（或）． 3.焦点三角形内心轨迹方程： 设点为椭圆的焦点三角形的内心，则点的轨迹方程为：，其中． 4.焦点三角形垂心轨迹方程： 椭圆的焦点三角形的垂心的轨迹方程为； 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 6.（多选）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．椭圆的离心率等于 D．椭圆的离心率等于 【部分参考答案】 第一类：是某心 例1.在中，若，则点G是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【解析】因为，所以， 化简得，故点G为三角形ABC的重心故选：D 例2.若为所在平面内一点，且则点是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【解析】， 得，即； ， 得，即； ， ，即，所以为的垂心.故选：D. 例3.已知是所在平面内一点，且满足，则点（ ） A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上 C．在边的中线所在的直线上 D．是的外心 【答案】A 【解析】取的中点，则∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴点在边的高所在的直线上 例4.若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【解析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时， 即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心.故选：C. 例5.是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】由得：，即，则有， 由，同理可得，因此，， 所以是的外心.故选：B 例6.为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．重心 【答案】C　 【解析】由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心． 例7.下列叙述正确的是________． ①为的重心． ②为的垂心． ③为的外心． ④为的内心． 【答案】①②　 【解析】①为的重心，①正确；②由，同理，，②正确；③．， 与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；④ 为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②． 例8.设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的　　 A．重心　　　　　　　　B．外心　　　　　　　　C．内心　　　　　　　　D．垂心 【答案】C　 【解析】因为，所以，，所以，，所以，，所以，，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选C． 例9.已知O是所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为 则,即 移项可得 即 则 因为 所以 化简可得,即 设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量 所以, 则 所以 则在的角平分线上 同理可知 在的角平分线上 因而为的内心 故选:B 例10.（多选）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 【答案】BD 【解析】∵，∴，∴， 即.故点P在边AC所在的直线上.故选：D. 例11.（多选）若点为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（ ） A．直线必过边的中点 B． C．若的面积为9，则的面积是4 D． 【答案】BCD 【解析】对D，则，化简得，故D正确； 对A，若直线过边的中点则与题设矛盾，故A错误； 对B，由奔驰定理可得， 故，故，故B正确； 对C，由可得，故C正确； 故选：BCD 第二类：过某心 基本结论： （4）因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心，故选：D. （5）设的中点为， 因为， 所以， 即，两端同时点乘， 所以 ， 所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.故选：B (6)，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C． 例1.已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【解析】如图：设为的中点， 因为 由可得，， 所以三点共线，因为， 所以点在射线上， 所以点的轨迹一定通过的重心，故选：C. 例2.在中，，，，则直线通过的（ ） A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 【答案】D 【解析】因为,∴， 设,则， 又， ∴在的角平分线上， 由于三角形中, 故三角形的边上的中线，高线，中垂线都不与的角平分线重合， 故经过三角形的内心，而不经过外心，重心，垂心，故选D. 例3.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点 【答案】CD　 【解析】取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 例4. 在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心 【答案】C　 【解析】设BC边中点为D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，则⊥，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C． 四心表示（向量模块） 例1. 例2.已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A　 【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x．由⊥，得2－y·＝0，①，由⊥，得2－x·＝0，②，又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，所以·＝＝－，③，把③代入①、②得解得x＝，y＝．故实数对(x，y)为． 例3.在中，，，为的垂心，且满足，则___________. 【答案】 【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得. 故答案为：. 四心计算 例1.在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若O是△ABC的重心，则·＝________. 【答案】5 【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． ∵AB＝1，∠ABC＝60°， ∴.设C(a，0)．∵·＝－1，所以，解得a＝4. ∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，所以 . 故答案为：5. 例2.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：， 如图设D为BC的中点，则 因为G是的重心，， ， 又M，G，N三点共线， ，即. 故答案为：3. 例3.在中，，为的外心，则（       ） A．－4 B．4 C．－6 D．6 【答案】C 【解析】设的外接圆半径为r，． 由余弦定理得：，即，所以 ，即，所以． 所以 因为，， 所以． 故选：C． 例4. 设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，因为为的外心，过点作，， 则点分别为的中点， 可得, 同理可得， 又由， 因为，，可得. 故选：A. 例5.设为的外心，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 设外接圆的半径为， 因为，所以， 所以，且， 取的中点，连接，则， 因为，所以，即， 所以， 在中由余弦定理可得： ， 在中，由正弦定理可得：， 故答案为：. 例6.在△ABC中，D为边AC上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC的外心恰在线段BD上，则BC＝_____． 【答案】3　 【答案】解法1　如图1，设△ABC的外心为O，连结AO，则AO是∠BAC的平分线，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)，即＝＋，两边同时点乘得·＝()2＋·，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以cos∠BAC＝，则BC＝＝3．(说明：两边同时点乘也是一样的) 　　　　　　　　 图1　　　　　　　　　　 　图2　　　　　　　　 　　　　图3 解法2　如图2，设∠BAC＝2α，外接圆的半径为R，由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD，得·6Rsinα＋·4Rsinα＝·6·4sin2α，化简得24cosα＝5R．在Rt△AFO中，Rcosα＝3，联立解得R＝，cosα＝，所以sinα＝，所以BC＝2BE＝2ABsinα＝12×＝3． 解法3　如图3，延长AO交BC于点E，过点D作BC的垂线，垂足为F，则＝＝，＝＝．又DF∥AE，则＝＝，所以＝．设OE＝x，则AE＝5x，所以OB＝OA＝4x，所以BE＝x．又因为25x2＋15x2＝36，所以x＝3，所以BC＝2BE＝3． 例7.已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________． 【答案】1　 【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos∠ADB＝＝，在△BDC中，cos∠BDC＝＝，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R，得R＝1． 例8.已知内接于一个半径为2的圆，其中为圆心，为的重心，则的取值范围为_______ 【答案】 【解析】解：如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，， 设，所以，即， 又的重心为，所以， 所以， 又， ， 所以， 综上得， 所以的取值范围为. 例9.已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________． 【答案】　 【解析】不妨设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴sinA＝＝．由(a＋b＋c)r＝bcsin A，得r＝．∴S内切圆＝πr2＝． 【解析几何】 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】设，，则，由已知，利用切线的性质和椭圆的焦半径公式得，得，由，得，则，得，又，所以. 【详解】 设，，则， 因为椭圆，则， ，， 由切线的性质和椭圆的焦半径公式得 ， 则， 由， 即，即， 所以，则， 又， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：设出，，则，利用切线的性质和椭圆的焦半径公式得到，利用，得，进而求解. 6.（多选）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，内切圆的圆心为，直线交轴于点为坐标原点.则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．椭圆的离心率等于 D．椭圆的离心率等于 【答案】AD 【解析】由题意得外心在y轴上，设，，，则由得，求出，得，再设，得，可判断A B；因为为的角平分线，得可判断CD. 【详解】由题意得外心满足，所以必在y轴上， 设，，， 则由得，即， 所以，所以， 所以，， 所以， 因为在椭圆上，设， 所以 ， 当时，有，所以 的最小值为， 故A正确，B错误； 连接，则分别为的角平分线，由角平分线定理可知，，则，故D正确，C错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，解题关键点是明确外心的位置和内角平分线性质，考查了推理能力、运算求解能力. 1 学科网（北京）股份有限公司 $