第六章 5 教材拓展11 平面向量与三角形“四心”（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

该高中数学讲义聚焦平面向量与三角形重心、内心、垂心、外心的综合应用，覆盖高考核心考点，按四心分类梳理知识点内在联系。通过考点分析、结论提炼、例题精讲、对点训练的教学流程，帮助学生构建知识网络，突破向量与几何结合的难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于采用结论体系化梳理与分层训练结合的教学策略，如重心题型中先提炼向量表达式与重心位置关系的核心结论，再通过真题例题引导学生用数学思维构建转化思路，培养逻辑推理能力。设置基础巩固到综合应用的练习，配合即时反馈，保障复习效果，有效提升学生应考能力，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

　平面向量与三角形“四心” 　　在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 题型一　平面向量与三角形的重心 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案：D 解析：因为动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，所以＝λ，取BC中点D(图略)，则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心.故选D. 　　设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①＋＋＝0；②＝＋＋)；③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的重心. 　　 对点练1.(2025·陕西渭南期末)如图所示，△ABC中G为重心，PQ过G点，＝m，＝n，则＋＝ 　　　　. 答案：3 解析：设＝a，＝b，根据题意，＝＝＋)＝a＋b；因为＝m，＝n，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，即nb－ma＝λ(a＋b－ma)＝(－mλ)a＋，所以整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3. 题型二　平面向量与三角形的垂心 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＝＋λ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心 答案：C 解析：－＝λ，＝λ＋， 所以·＝λ＋＝λ＋ ＝λ(－｜｜＋｜｜)＝0，所以⊥，所以动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选C. 　　设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①·＝·＝·；②｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2；③动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈R，则动点P经过三角形的垂心. 　　 对点练2.(双空题)已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC＝45°，则·＝　　　；若＝＋，则＝　　　. 答案：30　5 解析：如图，AH是△ABC的BC边上的高，则·＝0；设＝λ，因为∠ABC＝45°，面积为15，所以sin 45°＝15，即＝30；·＝·＝·＝·＋λ·＝cos 45°＝30.由第一空可知·＝30，所以·＝·＝·＋＝30，所以＝45，由＝30可得＝2，即＝40.因为＝＋，所以＝＋＋·＝10＋5＋10＝25，所以＝5. 题型三　平面向量与三角形的内心 在△ABC中，｜｜＝3，｜ ｜＝2，＝ ＋，则直线AD通过△ABC的(　　 ) A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心 答案：D 解析：由题知， ｜｜＝ ｜｜＝ .设＝ ，＝ ，则｜｜＝｜｜.因为＝ ＋ ＝＋，所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC，所以直线AD通过△ABC的内心.故选D. 　　设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长)；②动点P满足＝λ＋或＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的内心. 　　 对点练3.已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则·＝　　　 . 答案：－1 解析：设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以 ，，两两夹角为120°，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜AD｜＝××＝.所以·＝＋·＋·＋·＝2－2×－2×－2×＝－1. 题型四　平面向量与三角形的外心 设P是△ABC所在平面内一点，若·＝2·且＝－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案：A 解析：由·＝2·，得·＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·＝0，(－)·(＋)＝0，｜｜＝｜｜.由＝－2·，得·＝－2·，即·(＋)＝2·，同理可得，｜｜＝｜｜.所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点P是△ABC的外心.故选A. 　　设O是△ABC的外心，则有以下结论：①｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝；②(＋)·＝·＝·＝0；③动点P满足＝＋)＝λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的外心. 　　 对点练4.在△ABC中，AC＝2，O是△ABC的外心，M为BC的中点，·＝8，N是直线OM上异于M、O的任意一点，则·＝(　　) A.3 B.6 C.7 D.9 答案：B 解析：因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D，连接OD，所以OM⊥BC，OD⊥AC，设＝λ，则·＝·＝·＋λ·＝·＝·＝·＋·＝－·＋·，又O是△ABC的外心，所以·＝·cos∠CAO＝·＝＝×＝14，所以·＝－·＋·＝－8＋14＝6.故选B. 对点练5.(多选)(2024·广东汕头二模)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理，设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.设BC边的中点为D，则有＝3 D.＝＝ 答案：AB 解析：由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线.对于A，由题意得，＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，故A正确；对于B，由题意得，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，故B正确；对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；对于D，向量，，的模相等，方向不同，故D错误.故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 $