第六章 5 教材拓展10 平面向量与三角形的“四心”（教师用书word）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量与三角形“四心”核心考点，按重心、外心、垂心、内心的概念内涵和向量表征逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确四心定义与性质，方法指导提炼向量运算技巧，真题训练结合典型例题与对点练习，帮助学生系统构建知识网络，突破向量与几何综合应用难点。 资料特色在于四心分类突破策略，每个题型配套真题解析与结论总结，如重心问题用三点共线证明轨迹，内心问题借助单位向量揭示角平分线性质，培养学生数学思维与数学语言表达能力。设计概念理解、方法应用、真题实战分层教学环节，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生逻辑推理与解题应用能力。

　平面向量与三角形的“四心” 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力. 四心概念的介绍 (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1. (2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等. (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 学生用书⬇第157页 题型一　平面向量与三角形的“重心”问题 (1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心 D.△ABC的外心 (2)在△ABC中，＋＋＝0，＝2，｜｜＝λ｜｜，若·＝9·，则实数λ＝(　　) A. B. C. D. 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)取AB的中点D，则2＝＋，因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选C. (2)由＋＋＝0，知O为△ABC的重心，所以＝×＋)＝＋)，又＝2，所以＝－＝－，9·＝3(＋)·＝·－2＋3＝·，所以2＝3，λ＝＝＝.故选D. 　　设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 对点练1.已知△ABC的外接圆圆心为O，G为△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，若＋＝，则sin∠BOG＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：取BC的中点D，连接AD，由＋＋＝0，知G为△ABC的重心，则G在AD上，所以＝＋)＝，而＝＋)＝，所以A，G，O，D四点共线，所以AB＝AC，即AD⊥BC，不妨令AD＝5，则AO＝BO＝4，OD＝1.所以sin∠BOG＝sin∠BOD＝＝.故选C. 题型二　平面向量与三角形的“外心”问题 (1)设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且＝－2·，则点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足｜｜＝｜｜＝｜｜，则·＝　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.由＝－2·，得(＋)·(－)＝－2·，即(＋－2)·＝0.设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，故·＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心.故选A. (2)因为点O为△ABC所在平面内一点，且满足｜｜＝｜｜＝｜｜，所以O为△ABC的外心，取BC的中点为D，连接OD，AD(图略)，则OD⊥BC，即·＝0，所以·＝(＋)·＝·＋·＝＋)·(－)＝－)＝×(52－42)＝. 　　设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 对点练2.已知△ABC，点H，O为△ABC所在平面内的点，且·＝·，·＝·，＋＋＝，则点O为△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案：B 解析：因为·＝·，所以·(－)＝0，即·＝0，又因为＋＋＝，所以＋＝－，即＋＝，所以(＋)·＝0，即(＋)·(－)＝0，所以｜｜2－｜｜2＝0，所以OB＝OC，同理，OA＝OC，所以O为△ABC的外心.故选B. 题型三　平面向量与三角形的“垂心”问题 (2024·河南南阳模拟)若H为△ABC所在平面内一点，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，则点H是△ABC的(　　) A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 答案：D 解析：｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2⇒｜｜2＋(＋)2＝｜｜2＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥；｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2⇒｜｜2＋(＋)2＝｜｜2＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥；｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2⇒｜｜2＋(＋)2＝＋(＋)2，得·＝·⇒·＝0，即⊥，所以H为△ABC的垂心.故选D. 　　设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 对点练3.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足·＋｜｜2＝·＋｜｜2，则点O(　　) A.在AB边的高所在的直线上 B.在∠C平分线所在的直线上 C.在AB边的中线所在的直线上 D.是△ABC的外心 答案：A 解析：取AB的中点D，由题意，·(＋)＝－｜｜2＋｜｜2＝(＋)2－(＋)2＝2·，所以·2＝·(－2)，所以·2＝0，所以⊥，所以点O在AB边的高所在的直线上.故选A. 学生用书⬇第158页 题型四　平面向量与三角形的“内心”问题 若O在△ABC所在的平面内，且满足·＝·＝·＝0，则O是△ABC的(　　) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 答案：C 解析：，分别表示在边AC和AB上的单位向量，可设为，则－＝，则当·＝0时，即⊥，点O在∠BAC的平分线上，，分别表示在边BC和BA上的单位向量，可设为，则－＝，则当·＝0时，即⊥，点O在∠ABC的平分线上；同理可知，点O在∠ACB的平分线上，故O是△ABC的内心.故选C. 　　设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 对点练4.(1)在平面上有△ABC及其内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0(奔驰定理)，若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)(多选题)(2024·广东汕头二模)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理，设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心.下列四个选项中结论正确的是(　　) A.＝2 B.＋＋＝0 C.设BC边的中点为D，则有＝3 D.＝＝ 答案：(1)B　(2)AB 解析：(1)因为＝＋，＝＋，所以a·＋b·＋c·＝a·＋b(＋)＋c(＋)＝(a＋b＋c)·＋b·＋c·＝0，所以＝，因为，，方向上的单位向量，所以向量＋平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，所以O为△ABC的内心.故选B. (2)由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线.对于A，由题意得，＝2，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以＝2，故A正确；对于B，由题意得，＋＝2＝－，所以＋＋＝0，故B正确；对于C，由题意知AG＝2DG，又GH＝2GO，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以＝2，故C错误；对于D，向量，，的模相等，方向不同，故D错误.故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 $