精品解析：四川省宜宾市筠连县定水初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

四川省宜宾市筠连县定水初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 14. 计算__________________ ． 15. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 16. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 三、解答题（72分） 17. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 18. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 19. 如图，某单向行驶隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M、点N及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 20. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米） 21. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 22. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 24. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省宜宾市筠连县定水初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算器按键方法判断即可． 【详解】解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是 ． 故选：C． 【点睛】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16'，按键顺序正确的是 3. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C， 在Rt△ABC中，sinB=， 则AC=AB•sinB=100sin65°（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4. 已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∵抛物线上有三点，分别为，，，且， ∴， 故选：A． 5. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，取网格点D，连接， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 6. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴对称轴直线为原点的右边， 当时，， ∴抛物线与轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C． 7. 已知函数的图象上有，，三点，则的大小关系（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线，开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， 点A到对称轴的距离为， 点B到对称轴的距离为， 点C到对称轴的距离为， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大． 8. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案． 【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得． 故选：C． 9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的顶点为 B. 图象可由抛物线向下平移个单位长度得到 C. 图象的对称轴为直线 D. 当自变量取时，函数有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数平移，最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，即可解答，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、图象的顶点为，原选项错误，不符合题意； 、图象可由抛物线向下平移个单位长度得到，原选项正确，符合题意； 、图象的对称轴为直线，原选项错误，不符合题意； 、当自变量取时，函数有最小值，原选项错误，不符合题意； 故选：． 10. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 11. 如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题（12分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 14. 计算__________________ ． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，需熟记各特殊角的三角函数值，并正确计算绝对值和有理数运算． 【详解】解： ． 故答案为：0． 15. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由顶点在轴上可知抛物线的对称轴为轴，即直线，据此即可求解，掌握二次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线的对称轴为轴，即直线， ∴， 故答案为：． 16. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 三、解答题（72分） 17. 如图，在中，，是边上的中线，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. (1)求k的值： (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案； (2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案. 【详解】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴， ∴， 即k2+k－6=0， 解得k=－3或k=2， 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去， 当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3； (2)∵P到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5， ∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5). 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键. 19. 如图，某单向行驶隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M、点N及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1）、、 （2） （3）能， 理由如下： 过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动， 根据（2）可知，抛物线的对称轴为， ∵车的宽度为4米， ∴货车最左侧边缘的点的横坐标为， 即当x=4时，， ∵， ∴货车能通过． 【解析】 【分析】（1）看图可得出M，N，P的坐标； （2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式； （3）将代入（2）中的函数式求y的值，再与5m进行比较即可求解． 【小问1详解】 根据矩形的长为12，宽为3，可得，， 根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6， 结合隧道最大高度为6，即：； 故答案为：、、； 【小问2详解】 由顶点P设此函数解析式为：， 将点N代入中，得， ∴即抛物线解析式为：， 整理成一般式为：； 【小问3详解】 略 【点睛】点睛：本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 20. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米 【解析】 【分析】（1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，进而得CE的长；在Rt△DAE中由三角函数知识可求得DE，根据CD=CE−DE即可求得CD的长． 【详解】（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N， 由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米． ∵i＝1：＝＝tan∠BAM， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝5（米）， 即点B距水平地面AE的高度为5米； （2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE， ∴四边形BMEN为矩形， ∴NE=BM=5米，BN=ME， 在Rt△ABM中，∠BAM＝30°， ∴AM＝（米）， ∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN， ∵∠CBN＝45°， ∴CN＝BN＝（5+21）米， ∴CE＝CN+NE＝（5+26）米， 在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米， ∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米）， ∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米）， 即广告牌CD的高度约为6.7米． 【点睛】 本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 21. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 由函数图象可得当时，． 【小问3详解】 、， ． 设，则， ， ． ①当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 22. 某商店以20元/千克的价格采购一款商品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于35元/千克．经市场调查发现：每天的销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的函数关系如图所示． （1）直接写出与的函数关系式，及自变量的取值范围； （2）当该商店销售这款商品每天获得的销售利润为128元时，求此时商品的销售价格； （3）当商品的销售价格定为多少元时，该商店销售这款商品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】（1），自变量的取值范围为 （2）为24元/千克 （3）当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用、一元二次方程的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴， 自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：当商品的销售价格为24元/千克时，每天获得的销售利润为128元； 【小问3详解】 解：设每天获得的销售利润元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为200， ∴当商品的销售价格为30元/千克时，每天获得的销售利润最大，最大利润为100元． 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可； （2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点，点， ∴， 过点作轴，则：， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 过点D作轴于G，于H，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， 即：， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于G，如图所示： 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 24. 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值． 【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式； （2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值； （3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小. 【详解】（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3． 设直线AC的解析式为y=kx+b． ∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1． ∴直线AC的解析式为y=x+1． （2）如图， 设点P（m，﹣m2+2m+3）， ∴Q（m，m+1）， ∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+， ∴S△APC=PQ×|xC﹣xA| = [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=， ∴P（，）； （3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M． ∵当x=0时y═3， ∴N（0，3）． ∵点N与点N′关于x=3对称， ∴N′（6，3）． ∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． 设DN的解析式为y=kx+b． 将点N′与点D的坐标代入得：， 解得：k=﹣，b=． ∴直线DN′的解析式为y=﹣x+． 当x=3时，n=+=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，利用二次函数求最值，轴对称的性质.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，求出△APC面积的函数关系式是解（2）的关键，掌握轴对称最短是解（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $