精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2025-2026学年高一12月月考数学试卷

高一数学月考试题 满分：150分时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 3. 设函数, A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为和 5. 下列化简错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 6. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中最小值为2的是（     ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 若角的终边过点，则 C. 函数的图象关于原点对称 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为____________ 13. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参考数据：. 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的解，记为，且恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，求实数m的取值范围. 19. 已知函数（，且）过点． （1）求函数的解析式； （2）若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学月考试题 满分：150分时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得B，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可. 【详解】，， 又， ． 故选：C. 2. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】因为是奇函数， 所以. 故选：A 3. 设函数, A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】.故选C. 4. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 的单调递减区间为和 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】函数的定义域是，所以A选项正确. 当时，，所以B选项错误. ，是奇函数，所以C选项正确. 根据对勾函数的性质可知函数的单调递减区间为和， 所以D选项正确. 故选：B 5. 下列化简错误的是（ ） A. B. 时， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，根据诱导公式判断；B选项，利用同角三角函数关系式求解；C选项，根据根式的性质求解；D选项，利用指数、对数的运算性质求解. 【详解】对于A选项，根据诱导公式知，故选项A正确； 对于B选项，∵，，而，∴，故选项B错误； 对于选项C，根据根式的性质，，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D正确. 故选：B. 6. 已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 【详解】由在上单调递增，得，解得， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立.若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得的图象关于直线对称且在上为增函数，根据对称性与单调性比较大小即可. 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以， 因为，所以， 又由对任意，且，都有， 所以函数在上为增函数， 又，，， 所以，故. 故选：D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中最小值为2的是（     ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A利用二次函数性质求解最小值判断；对于B、C、D应用基本不等式求解最小值判断即可. 【详解】对于A：，显然时取到最小值2，故A正确； 对于B：由题意，所以， 当且仅当，即，也即时，等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D：， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 10. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 若角的终边过点，则 C. 函数的图象关于原点对称 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，根据三角函数定义求解判断；对C，根据函数奇偶性定义求解判断；对D，根据扇形的弧长和面积公式求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，故函数的定义域为，故A错误； 对于B，因为角的终边经过点，所以，故B正确； 对于C，由，解得， 又， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故C正确； 对于D，设扇形的半径为，则，解得， 所以扇形的面积，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ） A. B. 的图象关于轴对称 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，中，令得， 解得， 令得，解得，A正确； B选项，中，令得， ，故的图象关于轴对称，B正确； C选项，中，令，其中， 则， 因为当时，，且，所以， 所以，， 所以在上单调递增，C错误； D选项，因为，所以， 故， 即， 由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数， ，且， 两边平方得， 解得，且， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ABD 【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数在上单调递减，得出，再由幂函数为奇函数，得出只有符合，从而得出结论. 【详解】∵幂函数在上单调递减，∴， 又为偶函数， 为非奇非偶函数， ∴仅有满足条件，故满足条件的只有，所以值的个数为1. 故答案为：. 13. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是_______年.参考数据：. 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意列不等式，即可根据对数的性质求解. 【详解】设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 根据题意可得， 故，所以，解得， 所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 故答案为：2026 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的解，记为，且恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合分段函数的图象，确定的取值变化情况，可得出，将不等式转化为对任意恒成立，结合二次函数即可求解的取值范围． 【详解】， 作出函数的图象如下： 则可得， 因为， 所以， 所以， 所以，，， 因为恒成立，所以， 所以，对任意恒成立， 即， 所以当时，函数取到最大值， 所以，即的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）当时，求与； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）=， （2）或 【解析】 【分析】（1）首先化简集合，结合集合的基本运算即可求解； （2）先由题意得到，再分集合是否是空集进行讨论，结合包含关系列式即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，，， 所以=，. 【小问2详解】 因为，所以， 若，，满足题意， 若，，， 由，得， 综上：或. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【小问1详解】 根据任意角三角函数的定义可得 【小问2详解】 由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. 【小问3详解】 由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 17. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元． 【解析】 【分析】（1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 18. 已知函数，. （1）求不等式的解集； （2）若，，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）易得，即，再利用在上单调递增求解； （2）令，将问题转化为，使不等式恒成立求解， 【小问1详解】 解：因为， 所以，即， 因为在上单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 令，因为，所以， 若，使不等式恒成立， 即，使不等式恒成立，即恒成立， 所以， 因为在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增， 所以当时，取最小值2， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数（，且）过点． （1）求函数的解析式； （2）若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式即可得到结果. （2）利用反函数的概念求出的解析式，根据复合函数的单调性可求参数b的取值范围. （3）根据条件求出与的解析式，把问题转化在上恒成立，利用换元法分离参数结合基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 ∵函数过点， ∴，解得，故函数解析式为. 【小问2详解】 ∵函数为的反函数，∴，在上为增函数， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增，且当时，， ∵对称轴为直线，∴，解得， ∴b的取值范围为. 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵为奇函数，为偶函数，∴， ∴，. ∵，，∴， ∵对于任意，都存在，使得等式成立， ∴在上恒成立， ∵在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数. 令，则， 问题转化为在上恒成立，∴恒成立，即， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，即，∴， ∴实数c的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是把问题转化为在上恒成立，令，则，分离参数可得在上恒成立，利用基本不等式可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $