精品解析：北京第十一中学校 2024-2025学年八年级上学期期中数学考试（2层）

北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅱ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，即可解答. 【详解】解： 选项中的数学符号是轴对称图形的是，其它的都不是； 故选：D. 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 【详解】点关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余， 先根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． 在中，， ∴． 故选：B． 5. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项， ∴m-3=±1，n+2=0， 解得：m=4或m=2，n=-2， 当m=4，n=-2时，nm=16； 当m=2，n=-2时，nm=4， 则nm=4或16， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 6. 把分解因式（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，注意不要漏项． 根据提公因式法准确找出公因式即可求解； 【详解】解： 故选：D 7. 如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 8. 已知，，，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用； 分别逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转180°，得到， ∴ ， 则 同理可得， ……， 即 故选C 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，进而得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故答案为：5． 12. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 13. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 【答案】 ①. 6 ②. 0 【解析】 【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，，，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，，设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得． 【详解】解：∵的三边为边作三个正方形， ∴，，，， ，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故答案为：6，0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误； 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. 计算和因式分解 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． （6） （7） （8） （9） （10） （11）； （12）； （13）； （14）．（提示：平方差） 分解因式： （15）； （16）； （17）； （18）． （19）； （20）； （21） （22） （23） （24） （25） （26）已知，求的值． （27）先化简，再求值，，其中，． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）0 （7） （8） （9） （10） （11）3．98 （12）10000 （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） （25） （26）11 （27）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则、整式的运算律及因式分解的公式． （1）用单项式乘法法则，系数相乘、同底数幂相乘． （2）单项式乘法，系数与系数、同底数幂分别相乘，注意符号． （3）单项式乘单项式，系数、字母分别运算． （4）先算积的乘方，再算单项式乘法． （5）单项式乘单项式，系数、不同字母的幂分别运算． （6）先算幂的乘方，再合并同类项． （7）先算积的乘方，再算整式除法，最后合并同类项． （8）先算幂的乘方，再算乘除，注意符号． （9）将底数统一为，再用同底数幂的运算法则． （10）先算积的乘方，再算单项式乘法，最后合并同类项． （11）提取公因式1．99，用乘法分配律简化计算． （12）凑完全平方公式，简化计算． （13）提取公因式，简化计算． （14）补乘，连续用平方差公式简化计算． （15）用平方差公式分解． （16）先提取公因式，再用完全平方公式分解． （17）先变形再提取公因式，再对剩余部分用平方差公式分解． （18）把看作整体，用完全平方公式分解，再对结果用平方差公式分解． （19）用平方差公式分解，再对两个因式分别用完全平方公式分解． （20）先变形，提取公因式，再用平方差公式分解． （21）先提取公因式，再用完全平方公式分解． （22）先提取公因式，再用完全平方公式分解． （23）先提取公因式，再用完全平方公式分解． （24）用十字相乘法分解，找到和为、积为的数． （25）分组后分别提取公因式，再提取整体公因式． （26）先化简表达式，再结合已知条件整体代入求值． （27）先化简整式（算乘方、乘除、合并同类项），再代入、的值计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） （10） ； （11） ； （12） ； （13）； ； （14） （15） ； （16）； （17） ； （18） ； （19） ； （20） ； （21） （22） （23） （24） ； （25） ； （26） 由得 ， 代入上式： （27）先化简，再求值，，其中， ， ∴原式． 17. 作图题： 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点，，的坐标． （2）在轴上画出点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ，， （2） 如图所示，点即为所求； （3）6 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求； （3）利用割补法即可得到三角形的面积． 【小问1详解】 解：的坐标，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 19. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）4，64 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【小问1详解】 解：， ； ，且， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，，若， ，，． ， ，即， ； 【小问3详解】 解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 【答案】（1）， 证明：点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，经过1s后， ∴， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵AB＝BC＝AC＝12cm，BD＝AB， ∴是等边三角形，，， ∴， 在和中， ∴（SAS）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时间和速度求得BP、CQ的长，根据SAS判定两个三角形全等． （2）利用第（1）小题的方法可证得，，根据三角形外角性质可得，根据等边三角形性质和三角形内角和定理可得，根据对顶角性质可得的度数． （3）设点Q运动时间是x秒，根据列一元一次方程，根据任意一角为的等腰三角形是等边三角形，即可求出答案． 【详解】（1） 略 （2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴， ∵AB＝BC＝AC， ∴是等边三角形，， ∵在和中， ∴， ∴； 在中，， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴（对顶角相等）． （3）解：设点Q运动时间是x秒，若，可列方程： ， 解得：． ∵在中，，， ∴当秒时，是等边三角形（任意角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴当点Q运动秒后，可得到等边． 【点睛】本题考查了三角形外角定理、用SAS证明三角形全等及等边三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的判定和性质定理是解题关键． 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如1，2，3，4，5就是一个含有5个数的数列，其中数字1是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足：，，例如：时，；时，． （1）若，请直接写出，，，； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是3的倍数，证明：数列中所有项都是3的倍数； （4）若数列中第项是3的倍数，证明：数列前项也都是3的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 【答案】（1） （2），理由： 当时： ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； 此后数列循环出现12，24，因此数列中所有可能出现的数是； （3） 证明：当时，已知是3的倍数，结论成立； 假设当时，是3的倍数，即（是正整数）． 若，则，是3的倍数； 若，则，也是3的倍数， 综上，数列中所有项都是3的倍数； （4） 证明：设是的倍数，考虑： 若，则，故是的倍数，则是的倍数， 若，则，故是的倍数， ∵36是3的倍数， ∴必是3的倍数，则是的倍数， 同理可推至是的倍数， 前项都是的倍数； （5）8 【解析】 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，解题的关键是根据数列的递推公式分析项的变化规律． （1）根据递推公式依次计算即可； （2）按递推公式推导数列，找出循环规律； （3）用数学归纳法证明，先验证首项，再假设第项是3的倍数，推导第项； （4）通过逆向推导证明； （5）枚举不同首项的数列，找出出现不同数最多的情况． 【小问1详解】 解：已知，根据递推公式： 因为，所以， 因为，所以， 同理，， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：由（1）（2）（3）可知，当为3的倍数时，数列中所有出现的数出现的个数比较少，故可列举出如下数： 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共7个）； 当时，数列：，出现的数有（共4个）； 当时，数列：，出现的数有（共6个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 当时，数列：，出现的数有（共8个）； 尝试其他首项，发现出现的数最多为8个． 故的最大值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京第十一中学校2024-2025学年度八年级上学期期中考试 数学Ⅱ层 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分），每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 6. 把分解因式（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 已知，，，则的大小关系是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，…，按此规律进行下去，若点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则，则___________． 12. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 13. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 14. 如图，的两条直角边，，分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，．则的值为__，的值为__． 15. 如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______（填写序号）． 三、解答题（共6个小题，满分85分） 16. 计算和因式分解 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． （6） （7） （8） （9） （10） （11）； （12）； （13）； （14）．（提示：平方差） 分解因式： （15）； （16）； （17）； （18）． （19）； （20）； （21） （22） （23） （24） （25） （26）已知，求的值． （27）先化简，再求值，，其中，． 17. 作图题： 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点，，的坐标． （2）在轴上画出点，使最小．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求的面积． 18. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 19. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）______ ；若，则______ ； （2）已知，，，若，求的值； （3）若，，令． ①求的值； ②求的值． 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由． （2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数． （3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边△CQP？ 21. 按照一定次序排列的一列数称为数列，例如1，2，3，4，5就是一个含有5个数的数列，其中数字1是该数列第一项，通常记作，所以就是它的第五项，表示它的第项，有的数列是有限项，有的数列是无限项，现有一个无限项的数列：每一项都是正整数，且满足：，，例如：时，；时，． （1）若，请直接写出，，，； （2）若，写出这个无穷数列中所有可能出现的数，并说明理由； （3）若数列中第一项是3的倍数，证明：数列中所有项都是3的倍数； （4）若数列中第项是3的倍数，证明：数列前项也都是3的倍数； （5）设数列中所有出现的数（重复的数只计算一次）的总个数为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $