精品解析：四川省泸州市 叙永县永宁初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

永宁初级中学校2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解决此题的关键． 【详解】A、化简后不含二次项，不是一元二次方程，故A错误，不符合题意； B、是二元一次方程，故B错误，不符合题意； C、当时不是一元二次方程，故C错误，不符合题意； D、是一元二次方程，故D正确，符合题意； 故选：D． 3. 点与点关于原点对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标和纵坐标分别与点B的横坐标和纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算a的b次方． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故选：C． 4. 方程有两个实数根，m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 将方程化为一元二次方程的一般形式，利用判别式是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵方程 即有两个实数根， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选 B． 5. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于的半径的方程． 连接，设的半径是r，利用垂径定理和勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断方法以及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、与轴交点以及对称轴位置确定、、的符号，再据此分析一次函数的图象特征，从而确定选项． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 二次函数图象的对称轴，且， 二次函数图象与轴的交点在正半轴， ， 对于一次函数，，， 其图象经过第一、二、三象限． 观察选项，只有选项的图象符合． 故选： 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ，， ， 故选：A． 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：（长方形的长）（长方形的宽），即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 11. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 12. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 二、填空题（12分） 13. 抛物线的对称轴是直线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：∵的对称轴是直线，， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键． 14. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 15. 如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，设，则，然后根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵矩形为的面积为9， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】要求PM＋PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作ME⊥AC交AD于E，连接EN，连接BD与AC交于点O，则EN就是PM+PN的最小值， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AC＝12， ∴AO＝＝6，∠BAC＝∠BAD＝30°， ∴OB＝， 由勾股定理得，AB2﹣OB2＝OA2， ∴， ∴AB＝4， ∵M、N分别是AB、BC的中点， ∴BN＝BM＝AM， ∵ME⊥AC交AD于E， ∴AE＝AM， ∴AE＝BN，AE∥BN， ∴四边形ABNE是平行四边形， ∴ENAB， ∴PM+PN的最小值为4， 故答案为4． 【点睛】本题考了查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可； （3）移项后根据配方法求解即可； （4）移项后根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：， 【小问2详解】 解： 解得：， 【小问3详解】 解： 解得：， 【小问4详解】 解： 解得：， 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）△ABC的面积是　 　； （2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标　 　； （3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标　 　． 【答案】（1）3；（2）（2，2）；（3）如图所示，△A2B2C2即为所求， C2的坐标为（3，1）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积等于长方形的面积减去三个小三角形的面积解答即可； （2）根据平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，即可得到顶点B1的坐标； （3）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； 故答案为：3； （2）∵△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0）， ∴平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位， ∴顶点A1的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）； （3）略 19. 如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 【答案】AB长为8米，BC长为12米 【解析】 【分析】设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，然后根据题意可列出方程进行求解即可． 【详解】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米， x（36﹣3x）＝96， 解得：x1＝4，x2＝8， 当x＝4时， 36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去）， 当x＝8时， 36﹣3x＝12． 答：AB的长为8米，BC的长为12米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 20. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）最大值3， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 故当，y随x的增大而减小， 在范围内，时，函数y有最大值， 最大值为． 【解析】 【分析】（1），点为函数图象与轴的交点，将函数解析式按照交点式写出化简即可； （2）将一般式化为顶点式即可； （3）借助（2）中的对称轴，根据时，函数值随自变量的变化情况求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， 故抛物线解析式为，即． 【小问2详解】 ， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问3详解】 略 21. 为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，先证明得到，设，则，再证明得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ， 解得， ∴米， 答：的高度为米． 22. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁初级中学校2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 点与点关于原点对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. 方程有两个实数根，m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，为圆O的直径，弦于点E，，，则直径的长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 10. 如图，已知长方形铁皮的长为，宽为，分别在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖长方体盒子，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 抛物线的对称轴是直线，则______． 14. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 15. 如图，点、分别在函数、的图象上，点、在轴上．若四边形为矩形且矩形的面积为9，则的值为_______． 16. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）△ABC的面积是　 　； （2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标　 　； （3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标　 　． 19. 如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？ 20. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数y的最大值并说明理由． 21. 为了测量物体的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离为米；然后，小小在F处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得为米，DF为米，已知，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算的高度． 22. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $