精品解析：河北省保定外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

河北保定外国语学校高一年级第一学期期中考试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”是（ ） A. 假命题，否定为“，” B. 真命题，否定为“，” C. 真命题，否定为“，” D. 假命题，否定为“，” 2. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 8. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数满足，则（ ） A. 若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5 B. 若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5 C. 若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动．点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A. 在1s末，点的坐标为 B. 在末，点在单位圆上第一次重合 C. 在1s末，扇形的弧长为 D. 在末，的面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是__________. 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 四、解答题 15. 已知实数，，满足： （1）若满足方程：，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， . （1）求函数在上的解析式； （2）在给定的坐标系内画出函数的图象（不需列出表格），并写出函数的单调增区间； （3）若关于x的方程有2个不同解，求实数m的取值范围. 17. 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示. （1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 18. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北保定外国语学校高一年级第一学期期中考试 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”是（ ） A. 假命题，否定为“，” B. 真命题，否定为“，” C. 真命题，否定为“，” D. 假命题，否定为“，” 【答案】A 【解析】 【分析】由配方法整理不等式，得到命题的真假，然后写出命题的否定，得到结论. 【详解】∵，当时，,∴原命题为假命题， 命题“，”的否定为“，”， 故选：A. 2. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数单调性及函数在特殊点处的函数值的正负，即可判断零点所在区间. 【详解】当时，，故在区间上没有零点； 易得在上单调递减，又， 所以当时，，故在上没有零点，在上没有零点， 又，所以在上有零点. 故选：A. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 4. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 5. 若，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 6. 在同一直角坐标系中，函数与且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，两种情况下指数函数图象及二次函数对称轴及与轴交点的纵坐标，据此可判断选项正误. 【详解】当时，函数在上单调递减， 函数的对称轴为， 且函数与轴交点的纵坐标为，D不符合，C符合． 当时，函数在上单调递增， 函数的对称轴为，B不符合， 且函数与轴交点的纵坐标为，不符合． 故选： C． 7. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 8. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数满足，则（ ） A. 若函数为奇函数，且在上单调递减，那么它在上有最小值－5 B. 若函数为奇函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值－5 C. 若函数为偶函数，且在上单调递减，那么它在上有最大值5 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，那么它在上有最小值5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合单调性逐项分析求出最值即可. 【详解】对选项A，B，因为奇函数在轴两侧的单调性相同，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递减，故最小值为，故A正确； 当函数在上单调递增时，它在上单调递增，故最大值为，故B错误； 对选项C，D，因为偶函数在轴两侧的单调性相反，所以当函数在上单调递减时，它在上单调递增，故最大值为，故C正确； 当函数在上单调递增时，它在上单调递减，故最小值为，故D正确． 故选:ACD． 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，根据换元法，以及构造函数，根据函数单调性判断函数最值，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由题意得，即，因为，则，解得； 对于A，则， 设函数，可知函数在上单调减，即， 可得，即，所以A正确； 对于B，可知，即，化简得，当且仅当，即时取等号；所以B正确； 对于C，， 设函数，可知二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上的最小值为，所以C正确； 对于D，，当且仅当，即时取等号， 因为，即，所以D错误； 故选：ABC. 11. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动．点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（ ） A. 在1s末，点的坐标为 B. 在末，点在单位圆上第一次重合 C. 在1s末，扇形的弧长为 D. 在末，的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合图形分别求出末质点和的坐标，根据各选项的内容，利用单位圆上点的坐标表示，扇形弧长公式，三角形面积公式逐一计算判断即可. 【详解】由题设，起始位置时，，则末质点的坐标为质点的坐标为， 对于A，在末，的坐标为，故A错误； 对于B，若重合，则，故， 又，故，故在末，点在单位圆上第一次重合，故B正确． 对于C，在末，质点在角的终边上，质点在角2的终边上， 则扇形的弧长为，故C正确． 对于D，因的面积为， 当时，的面积为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，点位于第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】利用诱导公式一及三角函数值的符号法则判断出点的横、纵坐标的正负即可． 【详解】， ， 所以点位于第四象限. 故答案为：四 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，，则， 即函数的图象过定点. 故答案为：. 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，再转化为函数图象的交点问题，求的取值范围. 【详解】， 当时，，即，得（舍）或 当时，，即，得或（舍）， 所以， 若方程有四个不相同的实数根， 即与有4个交点， 如图，画出函数的图象， 此时与有4个交点，则. 故答案为： 四、解答题 15. 已知实数，，满足： （1）若满足方程：，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次方程求出，然后根据指数和对数的互换求出. （2）根据指数和对数的互换和对数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为满足，所以， 解得或. 因为，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 所以，所以. 16. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时， . （1）求函数在上的解析式； （2）在给定的坐标系内画出函数的图象（不需列出表格），并写出函数的单调增区间； （3）若关于x的方程有2个不同解，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2），的单调增区间为和 （3）或 【解析】 【分析】（1）当时，，代入条件，化简整理，根据为偶函数，即可求得答案. （2）根据解析式，作出图象，进而可得单调递增区间. （3）由题意与图象有2个不同交点，作出图象，分析判断，即可得答案. 【小问1详解】 当时，，则， 因为是定义在R上的偶函数， 所以 【小问2详解】 的图象，如图所示： 由图象可得，的单调增区间为和. 【小问3详解】 由图象可得， 因为关于x的方程有2个不同解， 所以与的图象有2个不同交点， 作出与的图象，如图所示 则或，解得或， 所以实数m的取值范围或. 17. 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示. （1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】（1）， （2）最大利润，生产B投入 【解析】 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. 【小问2详解】 由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 18. 已知函数. （1）当时，判断并证明的奇偶性； （2）当时，解关于的方程：； （3）若,求时，的值域. 【答案】（1） 偶函数，证明如下： ， 为偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系来判断的奇偶性； （2）可利用换元法，令简化计算； （3）可利用换元法，令，再结合的范围与函数单调性求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，令，则有， 得或（舍）， 即解得. 【小问3详解】 ，令，则有： ， 得，即的值域为. 19. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $