专题04 图形的相似 9大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题04 图形的相似 9大高频考点概览 考点01 成比例线段及黄金分割 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似多边形 考点04 相似三角形的判定 考点05 相似三角形的性质 考点06 图形的位似 考点07 相似三角形判定性质的综合 考点08 相似三角形的实际应用 考点09 相似三角形中的动点问题 地 城 考点01 成比例线段及黄金分割 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为），如图，为的黄金分割点，的长为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称 5．（24-25山西临汾山期末）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 （    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ． 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形是正方形，点是线段的黄金分割点（），以为边在正方形内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若的长为，则，两点之间的距离为 ． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，某书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，若，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，已知直线，两条直线，分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为 ． 7．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，已知，若，，，则的长为 ． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知：如图，中，，点是边的三等分点（）．    求作：线段的三等分点（）． 作法：①在边上截取； ②分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，在内部交于点，连接； ③延长交于点．点即为线段的三等分点． 请你按上述作法完成作图、标清字母，并说明这种作法的合理性． 地 城 考点03 相似多边形 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 2．（24-25九年级上·山西运城·期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上山西运城期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级下·山西临汾期末）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 5．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，这两个四边形相似，则的度数是 ． 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为 ． 地 城 考点04 相似三角形的判定 一、单选题 1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25山西临汾·期末）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 二、填空题 5．24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 三、解答题 6．（24-25山西晋中期末）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    地 城 考点05 相似三角形的性质 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，D，E分别是的边上的点，且，连接相交于点，若，则与的比为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，延长至点F，使，点E为边上一点，且，连接、，相交于点O．已知，，则线段的长为 ． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为 ． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在的延长线上，则线段的长为 ． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则 ． 地 城 考点06 图形的位似 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点位似，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且面积是2，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．18 D．32 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，帕特农神庙位于希腊共和国首都雅典卫城坐落的古城堡中心，是在世界艺术宝库之中具有鼎鼎大名的艺术瑰宝．神庙呈长方形，高与宽的比例为，比值接近于，这一比例能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这所蕴含的数学知识是（   ） A．黄金分割 B．平移变换 C．旋转变换 D．位似变换 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 10．（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 11．（24-25九年级上·山西大同期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为 13．（24-25九年级上·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，且与的相似比是．已知点A与点是对应顶点，点A的坐标是，则点的坐标是 ． 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)写出点的坐标． 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． (1)画出将绕点顺时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 17．（24-25九年级上山西晋中期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)用没有刻度的直尺作出关于点的同向位似图形，且位似比为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的． 地 城 考点07 相似三角形判定性质的综合 一、 填空题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长，与交于点，则的长为 ． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则 ． 二、解答题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 4．（24-25九年级上·山西运城期末）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 （1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时： 试判断四边形的形状，并说明理由； 求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：） 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 如图（1），矩形纸片的对角线，相交于点，将纸片折叠，使点与点重合，折痕为． 猜想证明： （1）请判断与的数量关系，并加以证明． （2）如图（2），将矩形纸片展开，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，角的两边分别与，的延长线交于点，，请判断与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）在（2）的条件下，当经过点时，如图（3），若，，请直接写出的长． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究问题情境： 如图1，点是正方形的对角线上一点，的延长线与的延长线交于点．将以点为中心，顺时针旋转得到（点与点对应），连接． 数学思考： （1）求证：； 拓展探究： （2）如图2，连接．若，与交于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长．请直接写出结果． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务． 用尺规作图将线段三等分 尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分． 探究一：已知：线段，如图． 求作：如图1，点C、点D，使点C、点D在线段上，且． 作法： 1．作射线． 2．在射线上依次截取线段使，连接． 3．分别过点作平行于的直线交于点，则点为所求的点． 探究二：已知：如图2，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法： 1．作边的垂直平分线交于点M． 2．连接交于N． 则点N为所求的点． 任务： (1)“探究一”作图的依据是_________________； (2)①按照“探究二”的作法，在图2中作出点N． ②在探究二中，．请说明理由． (3)已知：在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 地 城 考点08 相似三角形的实际应用 一、 单选题 1．（24-25九年级上山西晋中期末）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）身高1.8米的张老师在操场上的影长为0.3米，同一时刻测得操场上旗杆的影长为2.5米，则旗杆的高度为 米． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据． 数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为． 数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）学科实践——测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度． 活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具， 方案设计：如图，表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．（图中各点均在同一竖立平面内） 测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米． 问题解决： (1)根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度． 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度． (2)他们计划测量的线段是______，若用表示该线段的长，则路灯的高度可用含的代数式表示为______米． 9．（24-25九年级上山西忻州期末）如图，某水平地面上有一建筑物，在点和点处分别竖有米高的标杆和，两标杆相距米，并且建筑物，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退米到点处，点与建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上从标杆后退米到点处，点与建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上，求建筑物的高度． 10．（24-25九年级上山西太原期末）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 地 城 考点09 相似三角形中的动点问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知菱形，E、F是动点，边长为4，，，①；②为等边三角形；③；④若，则．则结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾期末）如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 三、解答题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 4．（24-25九年级上山西吕梁期末）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的相似 9大高频考点概览 考点01 成比例线段及黄金分割 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似多边形 考点04 相似三角形的判定 考点05 相似三角形的性质 考点06 图形的位似 考点07 相似三角形判定性质的综合 考点08 相似三角形的实际应用 考点09 相似三角形中的动点问题 地 城 考点01 成比例线段及黄金分割 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项符合题意； C、由得，，故本选项不符合题意； D、由得，，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·山西运城·期末）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为），如图，为的黄金分割点，的长为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵为的黄金分割点，的长为， ∴， ∴的长约为， 故选： C． 4．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　） A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键； 把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可． 【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点． 故选：A． 5．（24-25山西临汾山期末）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识，如图，动物学家发现翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的 （    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割 【答案】D 【分析】利用黄金分割比的意义解答即可． 【详解】解：∵蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618， 又∵黄金分割比为：， ∴蝴蝶双翅展开后的长度与其身长之比约为0.618，这体现了数学中的黄金分割， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．由黄金比值列式求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为： 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形是正方形，点是线段的黄金分割点（），以为边在正方形内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若的长为，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 先由正方形的性质得，再由黄金分割求出，再根据正方形的性质得到，，即可由勾股定理求解． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴， ∵点是线段的黄金分割点（）， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，某书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点，，都在横线上．若线段，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， ∵“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的， ∴ 根据平行线分线段成比例定理可得： ，即 解得：， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，若，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，正确记忆这个知识点是解题关键．根据得出， 代入数值计算出， 进而可求的长． 【详解】解：， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，已知直线，两条直线，分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，再由比例性质变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点D作，交于H， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 7．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，已知，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由于，可得，进而再由题干中的条件即可得出EF的长． 【详解】解：∵， ∴， 又，，，且 ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 三、解答题 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知：如图，中，，点是边的三等分点（）．    求作：线段的三等分点（）． 作法：①在边上截取； ②分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，在内部交于点，连接； ③延长交于点．点即为线段的三等分点． 请你按上述作法完成作图、标清字母，并说明这种作法的合理性． 【答案】图和字母见解析，过程见解析 【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理、菱形的判定和性质等知识． 连接．证明四边形为菱形．则，即．得到．证明．即可证明． 【详解】解：如图1：    理由：如图2，连接．    由作图可知，， 四边形为菱形． ，即． ． ∵点是的三等分点，且， ． ∵， ． ． 点是的三等分点． 地 城 考点03 相似多边形 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 2．（24-25九年级上·山西运城·期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 3．（23-24九年级上山西运城期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质；根据相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设放大后矩形的宽为， ∵放大前后矩形相似， ∴， ∴，即放大后的矩形的宽为， 故选：D． 二、填空题 4．（24-25九年级下·山西临汾期末）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 【答案】 【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：如图：，，令， 设，则老师在黑板上写的文字大小为， ∵， ∴， 解得：， ∴老师在黑板上写的文字大小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解． 5．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据矩形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得：，再利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形四边形， 解得： 故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，这两个四边形相似，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 地 城 考点04 相似三角形的判定 一、单选题 1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【详解】解：∵， ，故①正确； ∵， ∴是等腰三角形，与不一定相等， ∴与不相似，故②错误； ∵，， ，故③正确； ，即， 此两个对应边的夹角不是， ∴与不相似，故④错误； 能满足和相似的条件是①③， 故选：B． 2．（24-25山西临汾·期末）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． ①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A中，，，两个对应角相等，， 选项B中，，，两个对应角相等，， 选项C中，，，不是夹这两个角的边，所以不相似． 选项D中，，，两条对应边的比相等，且夹角相等，． 故选C． 3．（24-25九年级上·山西临汾）如图，在中，，，则图中共有（   ）对相似三角形    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 先根据、可知，即，再根据、可得，即，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 二、填空题 5．24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在和中，，再添加条件 可以使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 6．（24-25山西晋中期末）如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 地 城 考点05 相似三角形的性质 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在与中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，D，E分别是的边上的点，且，连接相交于点，若，则与的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 根据三角形面积公式得出，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，的边上的高与的边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，延长至点F，使，点E为边上一点，且，连接、，相交于点O．已知，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】证明出，得到，代数求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，，，． ． ， ， ． ． ，即． 又， ， ，即， 解得． ． ． ， ，． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，涉及的知识点是 “矩形的对边相等且四个角为直角”“角平分线的定义”“勾股定理”．解题方法是先利用矩形和中点条件求，再通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，最终求．解题关键是正确利用角平分线的性质建立线段关系，避免角的等量关系推导错误．解题思路为：先求，再作（或利用角平分线的对称性质），结合勾股定理列方程求，最后计算． 【详解】在矩形中，，，是中点，故． 在中，由勾股定理得： 因平分，故． 设，则． 如图所示： 在上截取，连接，， 则． ∵平分，， ∴， ∴． 在中，； 在中，； 故，解得，即． 在中，，， 由勾股定理得： 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在的延长线上，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据得到即，结合旋转的性质，得，于是得到，可以证明，利用相似的性质，证明，再利用勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴即， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 设， 则， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握相似的判定和性质，勾股定理，解方程是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在矩形中，，点E为的中点，连接，点F为上一点，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似．延长交于点M，延长交延长线于点N，利用矩形的性质和勾股定理，求出的长，证明，求出，证明得出，进而求出即可得出结果． 【详解】解：延长交于点M，延长交延长线于点N， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ∵， ， ， ； 故答案为：． 地 城 考点06 图形的位似 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据网格特点求出点的坐标，根据以原点为位似中心的位似图形的性质计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为， ∴根据网格可知：点的坐标为， 以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点位似，且相似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用位似的性质得到，则，所以，从而得到E点坐标． 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，也考查了正方形的性质． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为， 点的坐标为或， 即点的坐标为或， 故选C． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ， ∴点C的坐标为， ∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为， ∴点C的对应点的坐标为或， 即或， 故选：C． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且面积是2，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．18 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为 ， 又， ， 故选：D 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，帕特农神庙位于希腊共和国首都雅典卫城坐落的古城堡中心，是在世界艺术宝库之中具有鼎鼎大名的艺术瑰宝．神庙呈长方形，高与宽的比例为，比值接近于，这一比例能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这所蕴含的数学知识是（   ） A．黄金分割 B．平移变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割，熟知黄金分割比通常取0.618是解题的关键．根据题意和给出的数据得出结论即可． 【详解】解：0.618这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．这体现了数学中的黄金分割． 故选：A． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 10．（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 11．（24-25九年级上·山西大同期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．利用关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，通过点与点的坐标得到位似比，然后根据位似比得到点坐标． 【详解】解：与位似，原点是位似中心， 而，， 与的位似比为， ， 点的坐标是为，，即． 故选：C． 二、填空题 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为 【答案】32 【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点．得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点． ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为：32． 13．（24-25九年级上·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，且与的相似比是．已知点A与点是对应顶点，点A的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与位似，根据关于原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标关系进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，且与的相似比是，点A的坐标是，点A与点是对应顶点， ∴点的坐标是或， 即：点的坐标是或； 故答案为：或． 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，熟练掌握位似图形对应点的坐标比相等是银题的关键． 根据关于原点位似图形对应点的坐标比相等求解即可． 【详解】解：设， ∵与关于原点位似，若的对应点的坐标是， 点的对应点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画已知三角形关于原点位似的三角形，解答本题的关键要明确：一般的，在坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，位似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． （1）利用位似的概念画出图形即可； （2）根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求做的三角形； （2）解：根据图形可得． 16．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． (1)画出将绕点顺时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， 【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质作图即可； （2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为， ∴， 作图如下， ∵， ∴， ∴即为所求图形． 17．（24-25九年级上山西晋中期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)用没有刻度的直尺作出关于点的同向位似图形，且位似比为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了位似变换和旋转变换，理解位似图形和图形旋转的本质是解题的关键． （1）找到位似中心，把原来的三角形三边作关于位似中心对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的图形； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点作相应连线的垂线，变化过程中旋转前后对应线段长度不变，即可得出对应的图形． 【详解】（1）解：将原来的三角形三边关于点作对应的放大倍即可得到对应的图形，所作图形如下所示 即为所求； （2）将原三角形的三个顶点分别与原点相连，并过原点分别作的垂线且长度分别与之对应相等，即可得出对应的图形，如下图所示 即为所求． 地 城 考点07 相似三角形判定性质的综合 一、 填空题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长，与交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题关键． 过点作交的延长线于点，由旋转的性质，得，，，，所以，，得到是等腰直角三角形，根据勾股定理，求得，证明，求得的长，再根据 求解即可. 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵将绕点逆时针旋转得到，连接，，延长，与交于点， ∴，，，， ∴， ∴，， 是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意设，则，，结合正方形性质和勾股定理得到，以及证明，最后利用正方形性质和相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， 四边形为正方形， ，，， ，， ， 为正方形的对角线， ，， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 4．（24-25九年级上·山西运城期末）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①，②不变，理由见解析；（2） 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，过F作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①在和中，， ∴， ∴， 答案为：； ②的值不变， 理由：在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过F作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，． 【问题解决】 （1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长． （2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时： 试判断四边形的形状，并说明理由； 求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：） 【答案】（1）（2）四边形是平行四边形，见解析 （3）与的数量关系为，线段的长为 【分析】（1）利用四边形是矩形得到，由折叠的性质得，，，，所以，，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）利用四边形是矩形得到，由折叠的性质可知，，，，， 证明得到，再结合，即可求解； 根据勾股定理得，证明得到，代入数据，即可求解； （3）根据点是的中点以及折叠的性质可得，再根据得，所以，利用勾股定理得，连接交于点，则，证明得，代入数据求出，即可求解． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， ， 由折叠可知，，，，， ，， ，， ； （2）四边形是平行四边形， 理由：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质可知，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）与的数量关系为，线段的长为， 点是的中点， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 易知， ， ， 在中，由勾股定理得，， 如图，连接交于点，则， 又点是的中点， 是的中位线， ， 易证， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、中位线定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 如图（1），矩形纸片的对角线，相交于点，将纸片折叠，使点与点重合，折痕为． 猜想证明： （1）请判断与的数量关系，并加以证明． （2）如图（2），将矩形纸片展开，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，角的两边分别与，的延长线交于点，，请判断与的数量关系，并加以证明． 解决问题： （3）在（2）的条件下，当经过点时，如图（3），若，，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【分析】本题主要考查折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，有矩形的性质证明，得到，根据平行的性质证明，即可得到结论； （2）由旋转可得，证明，即可得到结论； （3）连接，根据题意证明，，由相似三角形的性质得到比例关系即可求出答案． 【详解】（1）． 证明：由折叠可得， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）； 证明：由旋转可得， ， 即． 由（1）得， ． 在中，是的中点， ， ． 易得， ， ， ，即． 又， ， ， ； （3）． ，，， ， ． ，， ． 又， ， ，即， ，， ， 如图，连接， 是的中点，是的中点， ，， ， ，即， ， ． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与探究问题情境： 如图1，点是正方形的对角线上一点，的延长线与的延长线交于点．将以点为中心，顺时针旋转得到（点与点对应），连接． 数学思考： （1）求证：； 拓展探究： （2）如图2，连接．若，与交于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，求的长．请直接写出结果． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由旋转的性质得，，进而得，证明，即可得出结论； （2）由（1）得，，，设，利用三角形内角和外角可以推导角度得到，， ，则， ，即可证明，得到； （3）由正方形可得 ，得到，， 设，则，，代入解方程即可． 【详解】（1）证明：∵是正方形， ∴， ∵将以点为中心，顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得，， ∴，， 设，则，， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵是正方形，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识点． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是某数学学习小组写的一篇研究小论文，请你认真阅读，并完成相应任务． 用尺规作图将线段三等分 尺规作图起源于古希腊数学家们对几何原理的研究和应用，是使用无刻度的直尺和圆规、并且只准许使用有限次，以解决不同的平面几何作图问题．我们利用尺规作图，可以把线段两等分，也可以把线段三等分． 探究一：已知：线段，如图． 求作：如图1，点C、点D，使点C、点D在线段上，且． 作法： 1．作射线． 2．在射线上依次截取线段使，连接． 3．分别过点作平行于的直线交于点，则点为所求的点． 探究二：已知：如图2，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法： 1．作边的垂直平分线交于点M． 2．连接交于N． 则点N为所求的点． 任务： (1)“探究一”作图的依据是_________________； (2)①按照“探究二”的作法，在图2中作出点N． ②在探究二中，．请说明理由． (3)已知：在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 (2)①见解析；②见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线截线段成比例和相似三角形判定与性质，掌握这些知识点是解题关键． （1）通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； （2）①先通过做中垂线得到中点M，再连接交于N点，即为所求； ②根据为中位线，得出，再利用相似比即可得证； （3）过点A作轴，过点B作于点D，分别过点作于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，从而求解点的坐标． 【详解】（1）解：，且， ， ， “探究一”作图的依据是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； （2）解：①如下图： ②如下图，连接， 分别是中点， 为中位线， ∴， ， ， ； （3）解：线段的三等分点C可能靠近A点，也可能靠近B点，如下图分别为， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点作于点E，F， ， ， ， 和， ，即； ，即； 故点Ｃ坐标为：或． 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究． (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，如图所示，由矩形性质得到相关角度与边长，由三角形全等的判定得到即可得到答案； （2）过点作交的延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定确定，再由三角形相似的判定得到，从而得证； （3）由矩形的性质得到相关角度与边长关系，再由矩形性质与三角形相似的判定得到，再由相似比求出，过点作交于点，如图所示，先判定，再由相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：， 证明如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 则， 在正方形中，， 四边形，四边形是矩形， ∴， 设交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：在矩形中，，， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： 此时，点在上，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 过点作交于点，如图所示： ，， ，， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义、直角三角形性质等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形及矩形性质、灵活运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质求解是解决问题的关键． 地 城 考点08 相似三角形的实际应用 一、 单选题 1．（24-25九年级上山西晋中期末）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，某综合与实践小组想要确定某池塘的长度，先在池塘的一侧取一个可以直接到达点的点，经测量得到．若在的延长线上分别取点，使，连接，测得，则该池塘的长度为 m． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）身高1.8米的张老师在操场上的影长为0.3米，同一时刻测得操场上旗杆的影长为2.5米，则旗杆的高度为 米． 【答案】15 【分析】根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，由此列式解答即可．本题考查了相似三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，设旗杆的高度为米， 则， 解得， ∴旗杆的高度为米， 故答案为：15． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为________米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】(1)15 (2)米，图见解析 (3)还需要测出线段（或线段）的长度． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键 （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明，得到，则只需要知道的长即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米； （2）解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米， ∴旗杆的高度为15米． （3）解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 6．（24-25九年级上·山西朔州·期末）研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据． 数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为． 数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长． 【答案】景德桥长． 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定．作的延长线交的延长线于点，证明，根据相似三角形性质得到进行求解，即可解题． 【详解】解：作的延长线交的延长线于点， ，， ，， ， 点到河岸的距离为． ， ，， ， ， 即景德桥长． 7．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）学科实践——测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度． 活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具， 方案设计：如图，表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．（图中各点均在同一竖立平面内） 测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米． 问题解决： (1)根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度． 质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度． (2)他们计划测量的线段是______，若用表示该线段的长，则路灯的高度可用含的代数式表示为______米． 【答案】(1)路灯的高为米； (2)；． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解：他们计划测量的线段是， ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 故答案为：； 9．（24-25九年级上山西忻州期末）如图，某水平地面上有一建筑物，在点和点处分别竖有米高的标杆和，两标杆相距米，并且建筑物，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退米到点处，点与建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上从标杆后退米到点处，点与建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度为54米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 首先证明出，，得到，，然后代数求解即可． 【详解】解：由题意得，米，米，米． ，，， ． 又，， ∴，， ，， 即，， ，， ， 解得米， ，解得米． 答：建筑物的高度为54米． 10．（24-25九年级上山西太原期末）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 地 城 考点09 相似三角形中的动点问题 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知菱形，E、F是动点，边长为4，，，①；②为等边三角形；③；④若，则．则结论正确个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用证，即可判定①；由得到，即可得出，所以是等边三角形，可判定②；由，得到，可判定③；过点E作交于点M点，易证是等边三角形，则，由利用相似三角形的判定和性质可得．即可判定④． 【详解】解：①∵菱形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④过点E作交于点M点， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵ ∵， ∴， ∴． 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 二、填空题 2．（24-25九年级上·山西临汾期末）如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题 3．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与探究 【问题情境】在矩形中，，，E是边上一动点，将矩形沿所在直线翻折，点B的对应点为点 【猜想证明】 （1）如图1，过点F作交于点M，连接 ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如图2，当点F恰好落在边上时，求出此时四边形的周长． 【深入探索】 （2）连接，当的面积为4时，直接写出的长． 【答案】（1）①四边形为菱形，理由见解析②（2）的长为或 【分析】本题主要考查了矩形与折叠、菱形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①由折叠易得，由平行可得，进而得到，所以，据此得解； ②由折叠可知，利用勾股定理可得，进而可知，然后在中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）分类讨论，当点F在上方或者下方时，利用一线三垂直相似求解即可． 【详解】解：（1）①四边形为菱形，理由如下： 连接， 将矩形沿所在直线翻折， 垂直平分，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ②如图， ∵在矩形中，，， ∴， ∵折叠， ，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 菱形的周长； （2）设点到的距离为， 则：由题可知， ， ； 当点F在下方时，如图，过点作， 则，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点F在上方时，如图，过点作， 则， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上，的长为或 4．（24-25九年级上山西吕梁期末）（1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①，②不变，理由见解析；（2） 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，过F作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①在和中，， ∴， ∴， 答案为：； ②的值不变， 理由：在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过F作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境： 如图1，已知正方形外有一动点，是等腰直角三角形，，连接，，请探究，的位置关系． 问题解决： （1）请直接写出，的位置关系 ． （2）如图2，将图1中的正方形变为矩形，等腰直角三角形变为，其中，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 拓展探究： （3）在（2）中，若，，，将绕点逆时针旋转，使，，三点在同一条直线上，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用上述性质是解题的关键． （1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）同（2）原理可得，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解：（1）如图，四边形为正方形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）成立，理由如下： 如图，设与，的交点分别为点，， 四边形为矩形， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， ；       （3）如图，当点，，在同一条直线上时，连接， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， 同（2）可得， ， ， 由（2）可知， ，即， 解得或（舍去）， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $