专题01 相似三角形的八大模型（举一反三专项训练）数学北师大版九年级上册

专题01 相似三角形的八大模型（举一反三专项训练） 【北师大版】 【题型1 “A字”相似模型】 6 【题型2 “8字”相似模型】 10 【题型3 “一线三等角”相似模型】 17 【题型4 “射影定理”模型】 26 【题型5 “飞鱼”模型】 29 【题型6 “手拉手”相似模型】 37 【题型7 “十字架”相似模型】 44 【题型8 “对角互补型”相似模型】 53 模型一 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 模型二 8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 模型三 一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 模型四 射影定理模型 模型特征 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 模型五 飞鱼模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 过点E与点A辅助线作法一样 过点B作辅助线 过点D与点B辅助线作法一样 过点C作辅助线 过点F作辅助线 模型六 手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 AD在内且拉手线无交点 AD在外且拉手线无交点 AD在外且拉手线有交点 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 模型七 十字架模型 模型特征 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 模型八 对角互补模型 模型特征 条件 如图①， 方法 如图②，过点C作于点M，于点N 图示 结论 【题型1 “A字”相似模型】 【例1】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 【变式1-1】如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 【答案】5 【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，相似三角形的判定，以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，如图： ∵，， ∴． 【变式1-3】如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【答案】B 【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积． 【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，    ∴四边形与四边形都为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的中位线， ∴，， ∴，且相似比为1：2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 【题型2 “8字”相似模型】 【例2】如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②． 【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题． （2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论； （3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论； ②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论． 【详解】（1）证明：∵AC=AB， ∴∠ACB=∠B， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE， ∴∠BDE=∠ACD； （2）证明：如图1， ∵EG∥AC， ∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB， 由（1）知：∠DCA=∠BDE， ∵DC=DE， ∴△DCA≌△EDG（AAS）， ∴AD=EG， ∵∠B=∠ACB=∠BEG， ∴EG=BG=AD， ∴DG=AB， ∵DE=2DF，AF∥EG， ∴， ∴DG=2AD=2AG， ∴AB=DG=2AG； （3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G， 则有∠A=∠G， ∵AB=AC，CD=DE， ∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC， ∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC， ∴∠ACD=∠EDG， 在△DCA和△EDG中， ∵， ∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG， ∵AC∥EG， ∴△ACB∽△GEB， ∴， ∵EG=AD，AC=AB， ∴AB•BE=AD•BC； ②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD， ∵AF∥EG， ∴， ∵DE=4DF， ∴， 设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a， ∵∠ACB=∠ABC， ∴∠GBE=∠BEG， ∴BG=EG=4a， ∴BD=12a， ∵AH∥PD， ∴， 设PD=3h，AH=4h， ∵EG∥AC， ∴， 设BE=y，BC=4y， ∴S△ABC=BC•AH===8yh， S△DCE=CE•PD==yh， ∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强． 【变式2-1】如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】由ABCD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由ADBC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而得出． 【详解】证明：∵ABCD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵ADBC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB，即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 【变式2-2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：； （2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可得，，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． 又∵． ∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，． ∴，． 又∵点是中点， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【题型3 “一线三等角”相似模型】 【例3】如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3)或4 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或4 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，由相似三角形的性质可求解即可． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：或， ∴的长为2或4． 【变式3-2】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段之间数量关系：，理由见解析． 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， ， ， ． （2）解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． （3）解：线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示） (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用的面积为2，求出的长度，得到B的坐标，用待定系数法求的解析式； （2）利用，过D作轴于H，证明，得到，，由直线析式，求得C的坐标，从而得到长度，再证明四边形为矩形，得到D的坐标； （3）利用，得到A，C，B，D四点共圆，则，，又，转化得到，在上取一点M，使，构造出，利用两个角的正切值相等，列出关于参数的方程，求出参数k，再利用直线和直线相交，列出二元一次方程组，求得交点E的坐标． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线AB的解析式为：， 代入点，得， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）如图1，过D作轴于H， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题可得，， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 令， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，连接，取中点N，连接，， 则在中，， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 在上取一点M，使， 则， ∴， ∴易证， ，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：，， 设直线解析式为：， 把代入得 ， ∴， 则直线解析式为：， 联立， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键． 【题型4 “射影定理”模型】 【例4】射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及正方形的性质． （1）先证明，得对应边成比例，再将比例式转化为等积式即可； （2）直接利用射影定理得，，由此得，再将此等积式转化为比例式，再根据“两边对应成比例，且夹角相等”证明，即可证明． 熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用射影定理是解题的关键． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且， ． ，， ， ， ． ， ， ． 【变式4-1】如图，在中，，，垂足为，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以证明各个选项． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ∴△ACD∽△CBD∽△ABC ∴A、∠ACD＝∠B，故A选项正确； B、应为CD•AB＝AC•BC，故B选项错误； C、D是射影定理，故C、D选项正确； 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；射影定理； 直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似． 【变式4-2】如图，中，，于点，，，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】作EF⊥AB，根据等腰直角三角形的性质得到EF=BD，根据射影定理得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】作于点， ，，， ， ，， ， 的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查射影定理及等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题关键． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质；由矩形的性质可得结合可求得，再证，然后根据相似三角形对应边成比例列式可得即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5 “飞鱼”模型】 【例5】如图，已知正方形的边长为2，点E是的中点，连结，点F在上，且，连结并延长交于点G．则的长是（    ）．    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则，再根据题意可得、，然后用待定系数法求得直线的解析式为；设、，再根据运用两点间距离公式求得m，进而求得；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后令，求得点G的坐标即可解答． 【详解】解：如图：以点B为坐标原点建立直角坐标系，则 ∵正方形的边长为2，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵， ∴，解得：或（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， 令，，即， ∴． 故选A．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质、一次函数的应用等知识点，正确建立直角坐标系、运用一次函数解决几何问题是解答本题的关键． 【变式5-1】如图，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长 CA 至点 D，使 AD＝AC，点 E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F，则 AF：FB 的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接AE，BD， ，，点E是BC的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 解法二：过点AD作AG∥BC，与DE交于点G． ∴，， ∵BE=CE， ∴ ∵ AC=AD， ∴ AF：FB=1:2. 故选A. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线充分利用平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 【变式5-2】已知：中，为边中点，过点的直线交延长线于，交于，记，，则（    ）    A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】作交于，设，则，，先证，推出，再根据，得出，根据相似三角形对应边成比例可得，进而可得． 【详解】解：如图，作交于，    设，则，， ∵， ∴，， 又∵D为BC中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造． 【变式5-3】已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．      (1)如图1，过作交边于点，交于点． i）若为的中点，为的中点，求的长； ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． (2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点． i）若点到的距离，求的长； ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)i）；ⅱ），理由见解析 (2)i）5；ⅱ）点到的距离的最大值为 【分析】（1）i）根据正方形的性质证明，结合勾股定理即可求解； ⅱ）过点作于点，证明，可知，由，，可证得结论； （2）i）连接，延长交于点，由轴对称得性质可知点与点关于对称，也垂直平分，进而可得，证明，，结合勾股定理即可求解； ⅱ）由i）可知点与点关于对称，连接，由轴对称可知：，，证得，进而可知，，在同一直线上，可得，求得，作，交于，延长交于，则，由直角三角形斜边与直角边的关系可得，当与重合时取等号，即可求得点到的距离的最大值． 【详解】（1）解：i）∵四边形是正方形，且边长为6， ∴，， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理可得：， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴； ⅱ），理由如下： 过点作于点，则    ∵四边形是正方形， ∴，，则 ∵，可知四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． （2）i）连接，延长交于点，      ∵，关于对称，则：，， ∴垂直平分， ∵，为延长线与的交点 ∴，且点与点关于对称 ∴也垂直平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：，得：，则， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 得：； ⅱ）由i）可知点与点关于对称，连接， 由轴对称可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 则，，在同一直线上， ∴，即：， ∴， 作，交于，延长交于，则，      ∴点到的距离为，点到的距离为， 由直角三角形斜边与直角边的关系可得： ，当与重合时取等号； 综上：点到的距离的最大值为． 【点睛】本题属于几何综合，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，轴对称的性质，添加辅助线构造全等三角形及相似三角形是解决问题的关键． 【题型6 “手拉手”相似模型】 【例6】【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形． （1）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，，进一步可得出，，即可证明． （2）先由已知条件证明，由相似三角形的性质得出，进一步可得出，，即可证明．再由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理求出，代入即可得出答案． （3）在上截取，连接，由已知条件得出，由含直角三角形的性质可求，，再判定是等边三角形，由等边三角形的判定以及性质得出，再求出，通过证明，可求的长，即可求解． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴设，， 在中，由勾股定理得∶， 即 ∴， ∴ ∴ （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 【变式6-1】如图，四边形和四边形均为正方形，连接CF，DG，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得的值． 【详解】连接AC和AF， 则， ∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC， ∴∠DAG=∠CAF． ∴△DAG∽△CAF． ∴． 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形． 【变式6-2】如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线，交边于点F，如果，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质求出，利用三角形的面积、勾股定理求出、的长，再利用等角的余角相等说明、，得，最后利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键． 【变式6-3】如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，证明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC证得△AQP∽△ABC，得到，设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴AC= ， 过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q， 则∠PQB=∠PHB=∠B=90°， ∴四边形PQBH是矩形， ∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC， ∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°， ∴∠QPE=∠HPF， ∴△PQE∽△PHF， ∴，又PE=2PF， ∴PQ=2PH=2BQ， ∵PQ∥BC， ∴△AQP∽△ABC， ∴， 设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x， ∴， 解得：，AP=3， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键． 【题型7 “十字架”相似模型】 【例7】如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 【答案】D 【分析】由已知可求QF=QB，在Rt△BPQ中，由勾股定理求得，可求出S△BQF=25，再证明△ABE≌△BCF（SAS），△BGE∽△BCF，由此得BF，GE，BG，过点G作GN⊥AB交AB于N，可证明△ANG∽△ABE，再由GA=AE-GE，可求得GN，根据S△QGF=S△BQF-S△BQG即可求解． 【详解】解：将沿翻折得到， PF=FC，∠PFB=∠CFB， 四边形是正方形 ∠FPB=90°，CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， ∵PF=FC= ，PB =AB=2， 在Rt△BPQ中，， ∴， ∴QB=， ∴S△BQF=， ∵AB=BC，BE=CF，∠ABE=∠BCF=90°， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB=∠BFC， 又∵∠EBG=∠CBF， ∴△BGE∽△BCF， ， ∵CF=，BC=2， ∴BF=5， ∴GE=，BG=2， 过点G作GN⊥AB交AB于N， ∵∠GAN=∠EAB，∠ANG=∠ABE=90°， ∴△ANG∽△ABE， ∴ ∵GA=AE-GE = ∴GN= ∴S△BQG=×QB×GN==10， ∴S△QGF=S△BQF-S△BQG=25-10=15， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在矩形中，点E为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在点F处，交于点G． (1)如图1，当点E在边上，点F在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点E在边上，点F在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出，由翻折知，，等积法即可求出，进一步即可求出答案； （2）由扩叠的性质，，，则，再证，由相似比得出，再证，从而解决问题； （3）证得，再由勾股定理得，再证，通过相似比解决问题． 【详解】（1）解：由翻折知，， 四边形是矩形， ，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去负值） ， （3）四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ∴ ∴， ∴，即 解得． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 【变式7-2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可； （2）设与交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵在正方形中， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图3，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识点，证明三角形全等或相似，是解题的关键． 【变式7-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 所得结论： 当点与的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：的边______，______； 乙：的周长为16cm； 丙：． 你的任务： (1)填充甲同学所得结果中的数据； (2)当点在边上除点A、外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②直接写出S（S为四边形的面积）的最大值是多少？ 【答案】(1)3，5 (2)①不会发生变化，证明见解析；②40 【分析】（1）根据图形翻折变换的性质可，则，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长即可； （2）①设，利用勾股定理可得出，同理可知，再由相似三角形的性质可得出的周长即可；②由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知可得，进而可得，再表示四边形的面积，再根据二次根式的性质求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 设，则， ∵， ∴，解得：， ． 故答案为：3，5． （2）解：①乙的结果不会发生变化，理由如下： 如图2，设， ， ， 由折叠的性质可得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． ②证明：如图2，如图：过作于， 、关于对称， 于， ∵，， ， 在正方形中，， ， ． ∵， ， ∴， ∴， ∴ 当，即与的中点重合时． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、正方形的性质等知识点，相似三角形的判定与性质的应用是解题的关键． 【题型8 “对角互补型”相似模型】 【例8】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)①；②周长的最小值为 【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行判断即可求解； （2）根据“直等补四边形的定义，将绕点顺时针旋转得到，则四边形是直等补四边形； （）①如图，将绕点顺时针旋转得到，可证得四边形是正方形，则有设，则，由勾股定理列方程解之即可； ②如图，延长到，使，延长到，使，则， 由的周长知，当、、、共线时，的周长取得最小值，过作交延长线于，易证，求得、，进而求得，在中，由勾股定理求得，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：根据定义可知，正方形是“直等补”四边形；菱形不是“直等补”四边形， 故答案为：是，不是； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 共线， ，， 四边形是“直等补”四边形； （3）①四边形是“直等补”四边形，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到， 则，， 、、共线， 四边形是正方形， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：或舍去， ， ②如图，延长到，使，延长到，使 则， 的周长 当、、、共线时，的周长取得最小值， 过作，交延长线于， ， ， ∴， 即， 解得：， 在中， ， ， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 【变式8-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点G是的重心，连接，作，使与互补，交边于点D，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的性质、相似三角形的性质与判定，掌握三角形重心的性质，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．连接并延长交于点M，过点G作交于点H，利用三角形重心的性质得出，再利用平行线的性质得到和的长，进而推出，再由相似三角形的对应边成比例得到，代入数据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接并延长交于点M，过点G作交于点H， ，， ， 点G是的重心， ，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-2】【基础巩固】 (1)如图①，在四边形中，，，求证∶； (2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长； (3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，可得，再利用，即可得出； （2）根据两组角相等可求得，可得，进而可求得的值； （3）延长交于G，则四边形是平行四边形，，由得，由（2）可得．，，可得，即，，根据菱形得，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于G， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得．， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质、菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 【变式8-3】用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，最大值；②= 【分析】（1）由条件可证得∠B＝∠ACB，则∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，结论得证； （2）连接AO，BO,证得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，证出，即CO⊥FE， （3）①设FC＝x，则BF＝6−x，证△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四边形AGFE的面积可表示为S△ABC−S△EFC−S△BFG，利用二次函数的性质可求出最大值，得到点F为BC的中点，连接DF，根据EF为AB边的逆平行线，可证得DF为AC边的逆平行线， 得到G点与D点重合，再根据相似三角形的判定与性质求出AD的长； ②由①知G点与D点重合，故可得到AD＋BG＝AB． 【详解】（1）证明理由如下： 边是的逆平行线； （2）如图1，连接，BO 是边的逆平行线 点是的外心 =BO， ，AO=AO ∴△ABO≌△ACO ， ； （3）如图2，作AQ⊥BC ∵AB=AC， ∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3 ∴AQ= S△ABC===12, ①设，， ∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB， ∴△FEC∽△ABC． ， 同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC ∴△FBG∽△ABC ∴ ＝− (x−3)2＋， 当时，此时有最大值，最大值为， ∴CF＝BF＝3， 如图3，连接DF， ∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BDF≌△CEF（SAS）， ∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC， ∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF． ∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180， ∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180． ∴FD为边AC的逆平行线， 由题意可知D与G点重合， 由= 过D点作DH⊥BC， ∴BF×DH=，故×3×DH= 解得DH= ∵AF∥DH ∴△BDH∽△BAF，设AD=a ∴BD=5-a ∴ 故 解得a= 故，四边形的面积最大值为； ②由①可得D与G点重合， ∴AD＋BG＝AB， 故答案为：＝． 【点睛】本题是综合考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，关键是读懂定义并根据图形的性质解答． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的八大模型（举一反三专项训练） 【北师大版】 【题型1 “A字”相似模型】 6 【题型2 “8字”相似模型】 7 【题型3 “一线三等角”相似模型】 8 【题型4 “射影定理”模型】 10 【题型5 “飞鱼”模型】 11 【题型6 “手拉手”相似模型】 12 【题型7 “十字架”相似模型】 14 【题型8 “对角互补型”相似模型】 16 模型一 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 模型二 8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 模型三 一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 模型四 射影定理模型 模型特征 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 模型五 飞鱼模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 过点E与点A辅助线作法一样 过点B作辅助线 过点D与点B辅助线作法一样 过点C作辅助线 过点F作辅助线 模型六 手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 AD在内且拉手线无交点 AD在外且拉手线无交点 AD在外且拉手线有交点 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 模型七 十字架模型 模型特征 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 模型八 对角互补模型 模型特征 条件 如图①， 方法 如图②，过点C作于点M，于点N 图示 结论 【题型1 “A字”相似模型】 【例1】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则 ． 【变式1-1】如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-3】如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 【题型2 “8字”相似模型】 【例2】如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 【变式2-1】如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F．求证：． 【变式2-2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）求证：； （2）求BP：PQ：QR的值． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【题型3 “一线三等角”相似模型】 【例3】如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【变式3-2】如图，，，E是上一点，使得； (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，，的面积为2． (1)如图1，求直线的解析式． (2)如图2，线段上有一点C，直线为，轴，将绕点B顺时针旋转，交于点D，求点D的坐标．（用含k的式子表示） (3)如图3，在（2）的条件下，连接，交直线于点E，若，求点E的坐标． 【题型4 “射影定理”模型】 【例4】射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为D，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． 【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． （2）如图②，在正方形中，O是对角线、的交点，点E在边上，过点C作，垂足为F，连接．求证：． 【变式4-1】如图，在中，，，垂足为，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，中，，于点，，，连接，若，则的面积为 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，，则的值为 ． 【题型5 “飞鱼”模型】 【例5】如图，已知正方形的边长为2，点E是的中点，连结，点F在上，且，连结并延长交于点G．则的长是（    ）．    A． B． C． D．1 【变式5-1】如图，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长 CA 至点 D，使 AD＝AC，点 E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F，则 AF：FB 的值为(     ) A． B． C． D． 【变式5-2】已知：中，为边中点，过点的直线交延长线于，交于，记，，则（    ）    A．2 B． C． D．1 【变式5-3】已知正方形的边长为6，动点分别在边上运动，连接．      (1)如图1，过作交边于点，交于点． i）若为的中点，为的中点，求的长； ⅱ）探索线段之间的数量关系，写出你的结论并证明． (2)如图2，将四边形沿翻折得到四边形与相交于点，调整点和点的位置使得线段始终经过顶点． i）若点到的距离，求的长； ⅱ）点到的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 【题型6 “手拉手”相似模型】 【例6】【基础巩固】 （1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交的延长线于点Q．请直接写出的值． 【变式6-1】如图，四边形和四边形均为正方形，连接CF，DG，则（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在矩形中，过点D作对角线的垂线，垂足为E，过点E作的垂线，交边于点F，如果，，那么的长是 ． 【变式6-3】如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7 “十字架”相似模型】 【例7】如图，在正方形中，﹐E，F分别为，的中点，连接、，交于点G，将沿翻折得到，延长交延长线于点Q，连接，则的面积是（    ） A． B．25 C．20 D．15 【变式7-1】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，在矩形中，点E为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点B落在点F处，交于点G． (1)如图1，当点E在边上，点F在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点E在边上，点F在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点E在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． 【变式7-2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，则的值为__________． 【变式7-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点、），使点落在边上的点处，与交于点处，连接与交于点． 所得结论： 当点与的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：的边______，______； 乙：的周长为16cm； 丙：． 你的任务： (1)填充甲同学所得结果中的数据； (2)当点在边上除点A、外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②直接写出S（S为四边形的面积）的最大值是多少？ 【题型8 “对角互补型”相似模型】 【例8】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【变式8-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点G是的重心，连接，作，使与互补，交边于点D，，，则的长为 ． 【变式8-2】【基础巩固】 (1)如图①，在四边形中，，，求证∶； (2)【尝试应用】如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，求的长； (3)【拓展提高】如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，求的长． 【变式8-3】用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边上的逆平行线．如图，为的截线，截得四边形，若，则称为边的逆平行线；如图，已知中，，过边上的点作交于点，过点作边的逆平行线，交边于点． （1）求证：是边的逆平行线． （2）点是的外心，连接，求证：． （3）已知，，过点作边的逆平行线，交边于点． ①试探索为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值； ②在①的条件下，比较 大小关系．（“或”） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $