专题02 一元二次方程 7大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程定义及一般形式 考点02 利用一元二次方程的根求参数 考点03 解一元二次方程 考点04 配方法的应用 考点05.一元二次方程根的判别式及应用 考点06 一元二次方程根与系数的关系 考点07实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程定义及一般形式 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于的一元二次方程的常数项为零，则 ． 地 城 考点02 利用一元二次方程的根求参数 一、选择题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如果m是方程的一个根，则 ． 地 城 考点03 解一元二次方程 一单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知是方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B．2 C． D．4 2．（17-18九年级上·山东滨州·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解方程： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）解方程： (1) (2) 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程： （）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步                第三步 解得                  第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步     第三步 或         第四步 解得              第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该一元二次方程的解． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）解方程： (1)； (2)． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期末）解方程： (1)； (2)． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． 11．（24-25九年级上·山西太原·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）（）解方程：． （）解方程：． 13．（24-25九年级上·山西大同·期末）解方程： (1)． (2)． 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）用配方法解方程： 地 城 考点04 配方法的应用 一、 单选题 1．（（24-25九年级上·山西大同·期末））新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末））阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 地 城 考点05 .一元二次方程根的判别式及应用 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西忻州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是 ． 地 城 考点06 一元二次方程根与系数的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若，为方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B． C．2026 D． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（） A．5 B．6 C．8 D．9 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）一元二次方程的两个根分别为，则 ． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 地 城 考点07 实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）今年国庆期间山西隰县小西天景区爆火．为接待外地游客，某停车场对外地游客免费开放，10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆．若每天停车数量的增长率相同，设为，由题意，可得方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷饼又称“金钟饼”、“桂圆饼”等，是山西省晋中市太谷县的特色传统名点，也是国家地理标志产品．“太谷饼”具有甜而不腻、酥而不碎，味美鲜香等特点，以其香、酥、绵、软而闻名全国，已经有300多年的历史．它的制作技艺已被列入非物质文化遗产名录，享有“糕点之王”的美称．某特产专卖店购进太谷饼进行销售，进价为每箱30元，该专卖店将销售价定为每箱售价不得低于40元且不得高于55元．根据以往的销售经验，当每箱售价为40元时，每月可以卖出100箱，销售价每箱每提高5元，每月销售量就会减少10箱．若该专卖店销售这种太谷饼想平均每月获利1600元，每箱太谷饼应定价为多少元． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋．”隰县玉露香梨是山西省农科院自主研发杂交育种的白梨系品种，具有香、甜、酥、脆、含水量大等特点．某水果店以每千克10元的价格购进一批玉露香梨，当售价为每千克20元时，每天可售出60千克．经市场调查发现，当每千克售价降低1元时，每天的销量增加10千克．当每千克玉露香梨的售价为多少元时，该水果店老板每天可盈利630元？ 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米? 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长． (2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，有一张长为，宽为的矩形铁皮废料，焊工师傅决定先裁去两个小正方形和两个小矩形（阴影部分），后按图中虚线部分折叠，焊接成一个有盖的长方体铁质工具箱，用来收纳工具．如果将该工具箱面积最大的一面作为底面，且底面面积为，求该长方体铁质工具箱的容积． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）某商场以每件160元的价格购进一批商品，当每件商品售价为200元时，每天可售出20件，为了迎接“元旦”商场决定采取适当降价的方式进行促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，每天就可平均多售出2件．设每件商品降价元． (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)要使商场每天销售这种商品的利润达1200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． (1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 (2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2022年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩．冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇．“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)7月份的销售量会在6月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）12月13日，文化和旅游部网站发布拟确定19家旅游景区为国家级旅游景区的公示，山西省太原市晋祠天龙山景区在列，这将填补太原没有级景区的空白．某经销商以每套18元的价格购进一批晋祠冰箱贴套装，结合销售记录发现，若按每套30元的价格销售，平均每天可售出60套；若每套的售价每降低1元，平均每天的销售量增加10套．为了减少库存，该经销商决定降价销售．请通过计算判断，经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能否达到810元？如果能，请求出冰箱贴每套的售价；如果不能，请说明理由． 14．（24-25九年级上·山西运城·期末）山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 15．（24-25九年级上山西临汾期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 7大高频考点概览 考点01 一元二次方程定义及一般形式 考点02 利用一元二次方程的根求参数 考点03 解一元二次方程 考点04 配方法的应用 考点05.一元二次方程根的判别式及应用 考点06 一元二次方程根与系数的关系 考点07实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程定义及一般形式 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式及各项系数概念即可求解，掌握一元二次方程的一般形式的各项系数概念是关键． 【详解】解：变形可得， 关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为1，则一次项系数及常数项分别为（    ） A．2，3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将变形为，再根据一次项系数及常数项的定义即可得到答案. 【详解】根据题意可将方程变形为，则一次项系数为，常数项为．故选D． 【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义. 3．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：把方程化为一般形式为， ∵方程不含一次项， ∴一次项系数， 解得， ∴ ， 故选B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于的一元二次方程的常数项为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于c的一元一次方程，解之即可求出c的值． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为零， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 利用一元二次方程的根求参数 一、选择题 1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0， 解得：m=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，然后代入并进行计算，即可解答． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如果m是方程的一个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程的解．将m代入，进而移项即可求得答案．此题的关键在于理解方程根的概念，并能灵活运用代数变形来求解目标表达式的值，而不必先解出根的精确值．在处理类似问题时，识别方程与目标表达式之间的联系，通过直接代换或变形来求解，可以快速准确地找到答案． 【详解】解：m是方程的一个根， 当时，有， ． 故答案为：4． 地 城 考点03 解一元二次方程 一单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知是方程的一个根，则这个方程的另一个根是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，求解即可． 【详解】解：设设方程的另一个根为，由题意，得：； ∴； 故选A． 2．（17-18九年级上·山东滨州·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得、的值，进而问题可求解． 【详解】解：由方程可配方得：， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练计算是解题的关键． （1）利用因式分解法，即可解答； （2）利用直接开平方法，即可解答． 【详解】（1）解：， 因式分解得． 得，或， ； （2）解： 移项得． 二次项系数化为1得． 由此可得， ． 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴把常数项移到方程的右边，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 即，或． ∴，． （2）解：将化为一般形式，得， ∴，，． 则， ， 即，． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，因式分解法是解题的关键． （1）先确定，，再运用求根公式，代入计算即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，， ， ，． （2）解： 原方程可化为， ∴， 因式分解得， ∴或， ∴． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程： （）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学： 解：第一步 第二步                第三步 解得                  第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步     第三步 或         第四步 解得              第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ； ②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该一元二次方程的解． 【答案】（）；（）任务一：①二，方程两边同时除以可能为的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的没有变号；任务二：， 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号 任务二：， ， 即， 或， 解得，． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握是解题的关键． （1）根据题意，将原式变形为，运用因式分解法求解即可； （2）将原式化为一般式，确定，，再运用求根公式，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 整理得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，； （2）解： 去括号得，， 整理为一般式得，， ∴，， ∴， 解得，． 9．（24-25九年级上·山西朔州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）先整理原方程为，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得，； 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． 【答案】(1)平方差公式 (2)， (3)解不等式 【分析】本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． 【详解】（1）解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； （2）解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，． （3）解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴或， ∴或． 11．（24-25九年级上·山西太原·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）求出判别式的值，再代入公式求解即可得到答案； （2）通过合并同类项，化为或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）将原方程化为它的一般形式，得， ∵， ∴， ∴，． （2） ∴， ∴， ∴或 ∴，． 12．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）（）解方程：． （）解方程：． 【答案】（），；（）， 【分析】（）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 13．（24-25九年级上·山西大同·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用配方法法求解即可； （）先移项，再提公因式，利用因式分解法求解即可； 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：配方得， 两边同时开平方得或， 解得，； （2）解：方程变形得， 因式分解得． ∴或． 解得，． 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】根据配方法即可求解一元二次方程． 【详解】解：原方程可化为    ，． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知配方法的运用． 地 城 考点04 配方法的应用 一、 单选题 1．（（24-25九年级上·山西大同·期末））新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴ ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故选B． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）1；（2）5． 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可． 【详解】解：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5. 4．（24-25九年级上·山西临汾·期末））阅读与思考 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解 ①； ② （2）深入研究：说明多项式的值总是一个正数? （3）拓展运用：已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和非负数的性质进行说明即可； （3）展开后利用分组分解法因式分解后利用非负数的性质确定三角形的三边的关系即可． 【详解】解：（1）① ． ② （2） ∵ ∴ ∴多项式的值总是一个正数． （3）为等边三角形． 理由如下：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读材料理解配方的方法． 地 城 考点05 .一元二次方程根的判别式及应用 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西忻州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 先将原一元二次方程变形为一般式，再计算出的值即可． 【详解】解：原方程变形为， ，，， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选A． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（    ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况． 【详解】解：由，可知， 无论取何值， 一定有两个不相等的实数根． 故选：B 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（　　） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】首先利用已知的a、b，以及解出的一个根，求出c，再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值，最终利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是， ， 解得：， 故原方程中， 则， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 故选：A． 【点睛】本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程中的运算，以及判别式的运用是解题的关键． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：． 6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 二、填空题 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西太原·期末）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程的系数结合得关于的一元一次方程即可求解． 【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“时，方程有两个相等的实数根”是解题关键． 地 城 考点06 一元二次方程根与系数的关系 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若，为方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据题意可得，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围． 【详解】解：∵方程有三根， ∴，有根，方程的，得． 又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长． ∴有，，而已成立； 当时，两边平方得：． 即：．解得． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期末）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．先根据方程的解得到，再根据根与系数关系得到，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴，即， 又∵ 是方程的两个实数根， ∴由根与系数关系得：， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 是方程的实数根， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）一元二次方程的两个根分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值，求代数式的值．对于一元二次方程 ，由根与系数的关系，得，，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为， ∴，， 则， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：， 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根. 方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根. 根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，求的值. (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值. 【答案】(1) 或 2； (2)1； 【分析】（1）当 时，、 是方程 的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ； （2）将 、 看作是方程 的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值； 【详解】（1）解：当 时， ∵实数 、 满足 ，， ∴、 可看作方程 的两根， 原式， 当 ， 则原式 ； 综上所述，原式的值为 或 2 ； （2）∵， ∴将 、 看作是方程得两实数根； 而 即 c的最大值为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义 地 城 考点07 实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）今年国庆期间山西隰县小西天景区爆火．为接待外地游客，某停车场对外地游客免费开放，10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆．若每天停车数量的增长率相同，设为，由题意，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每天停车数量的增长率相同，设为，且10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵每天停车数量的增长率相同，设为，且10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）光伏发电是世界新能源重要产业之一，中国光伏发电产业占据全球的产能．据统计，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，其中2021年光伏发电并网容量为355万千瓦．若设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，理解数量关系正确列式是关键． 从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦，2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，设从2021年到2023年山西省平均每年光伏发电并网容量的增长率为，由此列式即可求解． 【详解】解：2021年光伏发电并网容量为355万千瓦，增长率为，从2021年到2023年，山西省光伏发电并网容量累计达1459万千瓦， ∴， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小路宽为，根据“基地的使用总面积为”，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意可得：， 故选：B． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）太谷饼又称“金钟饼”、“桂圆饼”等，是山西省晋中市太谷县的特色传统名点，也是国家地理标志产品．“太谷饼”具有甜而不腻、酥而不碎，味美鲜香等特点，以其香、酥、绵、软而闻名全国，已经有300多年的历史．它的制作技艺已被列入非物质文化遗产名录，享有“糕点之王”的美称．某特产专卖店购进太谷饼进行销售，进价为每箱30元，该专卖店将销售价定为每箱售价不得低于40元且不得高于55元．根据以往的销售经验，当每箱售价为40元时，每月可以卖出100箱，销售价每箱每提高5元，每月销售量就会减少10箱．若该专卖店销售这种太谷饼想平均每月获利1600元，每箱太谷饼应定价为多少元． 【答案】50元 【分析】本题考查一元二次方程的应用-利润问题，解题的关键是准确把握题目中的数量关系，构建一元二次方程．根据题意，找准题目中的等量关系，总利润=单件利润销售量，列出一元二次方程，求解并判断即可． 【详解】解：设这种太谷饼每箱定价为x元，根据题意得： ， ， ， ， ， ， 解得：， ∵， ∴舍去． 答：该专卖店销售这种太谷饼想平均每月获利1600元，每箱太谷饼应定价为50元． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋．”隰县玉露香梨是山西省农科院自主研发杂交育种的白梨系品种，具有香、甜、酥、脆、含水量大等特点．某水果店以每千克10元的价格购进一批玉露香梨，当售价为每千克20元时，每天可售出60千克．经市场调查发现，当每千克售价降低1元时，每天的销量增加10千克．当每千克玉露香梨的售价为多少元时，该水果店老板每天可盈利630元？ 【答案】当每千克玉露香梨的售价为或元时，该水果店老板每天可盈利630元． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键． 设当每千克玉露香梨的售价为元时，该水果店老板每天可盈利630元，根据销售数量乘以每千克的利润，列出一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：设当每千克玉露香梨的售价为元时，该水果店老板每天可盈利630元， 则． 即 解得． 答：当每千克玉露香梨的售价为或元时，该水果店老板每天可盈利630元． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）2024年11月28日，随着最后一棵玫瑰花苗在于田县植入沙土，环绕塔克拉玛干沙漠边缘全长3046公里的绿色阻沙防护带，终于完成了它的最后一块拼图，形成了世界上最长的环沙漠绿色生态屏障．建设阻沙防护带的方法之一是在如图2所示的矩形沙地中，通过在阴影部分种植红柳等固沙植物，把一块块沙地分割包围，以此阻止沙粒流动．若图2所示的矩形沙地长为30米，宽为24米．横向、纵向种植红柳部分的宽度比为，且红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，求横向、纵向种植红柳的宽度各是多少米? 【答案】横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米，由红柳种植面积是矩形沙地总面积的三分之一，得未种植部分的面积占矩形沙地总面积的三分之二，再根据（矩形沙地长纵向种植红柳的总宽度）（矩形沙地宽横向种植红柳的总宽度）未种植部分的面积，列出二元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设横向种植红柳的宽度为米，纵向种植红柳的宽度为米， 根据题意，得， 解方程，得，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，，， 答：横向种植红柳的宽度为2米，纵向种植红柳的宽度为3米． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长． (2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)的长为，的长为 (2)不可以，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； （2）解：不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）项目化学习 项目主题：探究土地规划与销售利润问题． 项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习． 驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价． 收集数据： 素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形． 素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤． 解决问题： (1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由； (2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)李伯应将销售单价定为80元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形和菱形的性质，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． （1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求； （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作． （2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤． 根据题意，得． 整理，得． 所以． 解得（不符合题意，舍去），． 答：李伯应将销售单价定为80元． 9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，有一张长为，宽为的矩形铁皮废料，焊工师傅决定先裁去两个小正方形和两个小矩形（阴影部分），后按图中虚线部分折叠，焊接成一个有盖的长方体铁质工具箱，用来收纳工具．如果将该工具箱面积最大的一面作为底面，且底面面积为，求该长方体铁质工具箱的容积． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，设裁去的小正方形的边长为，则底面长为，宽为，根据“底面面积为”列出方程，求解得到工具箱的高，再根据“容积＝底面积×高”即可解答． 【详解】解：设裁去的小正方形的边长为，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，， ∵，不合题意，舍去， ∴工具箱的高为，容积为． 答：该长方体铁质工具箱的容积为． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期末）某商场以每件160元的价格购进一批商品，当每件商品售价为200元时，每天可售出20件，为了迎接“元旦”商场决定采取适当降价的方式进行促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，每天就可平均多售出2件．设每件商品降价元． (1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)要使商场每天销售这种商品的利润达1200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件商品应降价20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出2件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：商场日销售量增加件，每件商品盈利为（元）， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得，， ∵要更有利于减少库存， ∴． 答：每件商品应降价20元． 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． (1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 (2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10% (2)每千克甜瓜应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； （2）解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 12．（24-25九年级上·山西晋中·期末）2022年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩．冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇．“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)7月份的销售量会在6月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得： 整理得：， 解得：（经讨论不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 13．（24-25九年级上·山西太原·期末）12月13日，文化和旅游部网站发布拟确定19家旅游景区为国家级旅游景区的公示，山西省太原市晋祠天龙山景区在列，这将填补太原没有级景区的空白．某经销商以每套18元的价格购进一批晋祠冰箱贴套装，结合销售记录发现，若按每套30元的价格销售，平均每天可售出60套；若每套的售价每降低1元，平均每天的销售量增加10套．为了减少库存，该经销商决定降价销售．请通过计算判断，经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能否达到810元？如果能，请求出冰箱贴每套的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】能，销售单价应定为27元/个． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 设每个冰箱贴的售价降低元，根据利润=（原价-降价-进价）乘以销售数量，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每个冰箱贴的售价降低元， 根据题意，得． 整理，得． 解得． 此时，（元）． 答：经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能达到810元，销售单价应定为27元/个． 14．（24-25九年级上·山西运城·期末）山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”，此处生长的苹果果型端正果色鲜艳，果肉鲜白，口感甜爽而且极易储存．现某苹果商贩购进一批运城苹果进行销售进价为每千克7元，若按每千克13元出售，平均每天可售出100千克，后经过市场调查发现，销售单价每降低0.5元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该销售商销售这种苹果想要平均每天获利720元，为了尽快减少库存，每千克苹果售价应定为多少元？ 【答案】每千克苹果售价应定为11元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： 法一：设每千克苹果售价应定为x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； 法二：设每千克苹果降价x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：方法一： 设每千克苹果售价应定为x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得，． 因为要尽快减少库存，x取11 答：每千克苹果售价应定为11元； 方法二：设每千克苹果降价x元 根据题意，得：， ∴ 解这个方程，得， 因为要尽快减少库存，x取2， 每千克苹果售价应定为 答：每千克苹果售价应定为11元． 15．（24-25九年级上山西临汾期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务1：平均增长率为：；任务2：该零件的实际售价应定为40元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设平均增长率为，根据该零件7月份生产500个，9月份生产720个，列出方程进行求解即可； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，根据利润等于单件利润乘以销量加上政府补贴，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：平均增长率为：； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 当时，销售数量为，符合题意； 答：该零件的实际售价应定为40元． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $