第二章 一元二次方程基础练　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学第二章一元二次方程基础练 【一元二次方程的定义及解法】 类型一、一元二次方程的定义 例：下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ． 3．当 时，关于x的方程是一元二次方程；当 时，它是一元一次方程． 类型二、一元二次方程的一般形式 例：一元二次方程的二次项系数是，则一次项系数为（  ） A． B． C． D． 1．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 2．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 3．已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ． 类型三、一元二次方程的解 例：若是方程的一个解，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 1．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 2．如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 3．若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ． 类型四、判断一元二次方程根的情况 例：在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 1．一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．一元二次方程根的判别式的值为 ． 3．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有 个根． 类型五、解一元二次方程——直接开平方法 例：解方程：． 解方程：（1）． (2) (3)。 类型六、解一元二次方程——配方法 例：解方程：． 1．解方程：（1）． (2)； (3)． 类型七、解一元二次方程——公式法 例：解方程； 1．解方程：（1）（用公式法）. (2)； (3)． 类型八、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程：； 1．解方程：（1）． （2）； (3)（因式分解法）． 【一元二次方程的应用】 类型一、数字应用 例：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 1．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 2．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 类型二、增长率应用 例：在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 2．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 类型三、传播应用 例：进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 类型四、行程应用 例：《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 3．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 类型五、工程应用 例：某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 2．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 类型六、图形应用 例：列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度． 1．如图所示．在宽为，长为的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为，道路的宽为多少？ 类型七、营销应用 例：某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 1．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 类型八、动态几何应用 例：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 1．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为    (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ (3)多长时间后P点、Q点的距离为5？ 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$