专题06 反比例函数 8大高频考点（期末真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

专题06 反比例函数 8大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 反比例函数比例系数K的几何意义 考点04 反比例函数的解析式 考点05 反比例函数的实际应用 考点06 反比例函数与一次函数图象的判断 考点07 反比例函数与几何图形综合 考点08 反比例函数与一次函数的面积问题 地 城 考点01 反比例函数的概念 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题． 【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系， 时间与速度成反比例关系， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键．把各选项代入反比例函数，求出k的值，再根据判断即可． 【详解】解：A.把点代入得，故A选项不符合题意； B.把点代入得，故B选项不符合题意； C.把点代入得，故C选项符合题意； D.把点代入得，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上山西晋中期末）下列反比例函数的图象经过点 的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数上的点满足函数关系式，将点逐一代入计算即可判断． 【详解】解：A.，故反比例函数的图象不经过点 ； B.，故反比例函数的图象不经过点 ； C.，故反比例函数的图象不经过点 ； D. ，故反比例函数的图象经过点 ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 二、解答题 5．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)3000米 (2)所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 地 城 考点02 反比例函数的图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：把代入得：； 把代入得：； 把代入得：； ∴ 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，根据反比函数的性质即可求解，正确理解当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，随的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，随的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：由可知：， ∴反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对B、D进行判断；根据反比例函数的性质对A、C进行判断． 【详解】解：， 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 当时，， 点不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大 故C选项正确，符合题意； 若点都在函数图象上， ，， ， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的图象和性质求解，即可解题． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山西·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数的中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵点，，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 【详解】解：反比例函数， 且， 故点一定在反比例函数上，图象位于第一、第三象限， 故A、B选项正确，不符合题意； 由， 得在每个象限内，随的增大而减小， 当时，恰好在第三象限内， 故随的增大而减小； 故C选项正确，不符合题意； 根据题意，反比例函数在每个象限内，随的增大而减小， 当时，， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列关系一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键 ． 根据反比例函数可得，图象经过第二、四象限，每个象限中，随的增大而增大，当时，，当时，，由此即可求解 ． 【详解】解：∵ ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，每个象限中，随的增大而增大，当时，，当时，， ∵， ∴，即， 故选：A ． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值是解题的关键． 利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】∵点在反比例函数的图象上， 又 故选：B． 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断反比例函数图象所在象限，根据，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴函数图象过二，四象限； 故选C． 10．（22-23九年级上·山西晋中期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图像分布在第一、三象限 B．点在函数图像上 C．y随x的增大而增大 D．若点和在该函数图像上，则 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】解：A、，函数的图像在第一、三象限，选项说法正确，符合题意； B、因为，所以点不在函数图像上，选项说法错误，不符合题意； C、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、，在每个象限内，y随着x的增大而减小，因为，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的性质． 11．（21-22九年级上·山西朔州·期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第二、第四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．∵k＝， ∴图象位于第二、第四象限， 故A正确，不符合题意； B．∵＝k， ∴图象必经过点， 故B正确，不符合题意； C．∵x≠0， ∴y≠0， ∴图象不可能与坐标轴相交， 故C正确，不符合题意； D．∵k＝， ∴在每一个象限内，y随x的增大而增大， 故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题 12．（24-25八年级下·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵、、， ∴点在第二象限，点B在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系是 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．根据反比例函数的性质得出图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据点的横坐标比较即可． 【详解】解：∵中， ∴ 的图象在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由反比例函数可知：，所以该函数图象在第一、三象限； 故答案为一、三． 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究． 列表： 任务 (1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象； (2)上述探究方法运用的数学思想是________； A．整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________． 【答案】(1)左，1 (2)B (3)向右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． （1）结合图象填空即可； （2）根据题意解答即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【详解】（1）解：根据图象可得，函数的图象向左平移 1 个单位长度可以得到函数的图象， 故答案为：左， 1 ； （2）解：上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：B； （3）解：函数的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度可以得到函数的图象； ∵函数图象的对称中心的坐标为，根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移 2 个单位长度；向下平移 1 个单位长度（向下平移 1 个单位长度；向右平移 2 个单位长度）；． 地 城 考点03 反比例函数比例系数K的几何意义 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 连接，，设与轴交于点，由轴，则，然后由反比例函数比例系数的几何意义得出，最后由图象即可求解． 【详解】解：连接，，设与轴交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上山西晋中期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，设点A的坐标为，则，，，先根据三角形的中位线定理可得，，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，熟练掌握从反比例关系函数的图象上任意上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为是解题的关键． 连接、，设交y轴于E，由于轴，根据反比例函数的系数k的几何意义得到，，则平行四边形的面积． 【详解】解：连接、，设交y轴于E，如图， ∵平行四边形， ∴轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴平行四边形的面积． 故选：B． 6．（22-23九年级上·山西忻州期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 二、填空题 7．（24-25九年级上山西忻州期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义求得，利用三角形面积公式列方程并求解即可． 【详解】解：，两点在反比例函数的图象上， ， 由条件可知，， 四边形的面积为， ， 解得， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，点与点关于轴对称，可得，即可解答，根据熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图，连接． 点与点关于轴对称， ． ． ， ． ． 反比例函数的图象位于第二象限， ． ． 9．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴，若，则与的面积比为 ．    【答案】/5 【分析】本题考查了反比例函数的系数的应用、平行线分线段成比例定理，作轴于，则，从而可得，设，则，由，得出，从而可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图，作轴于，   ， ∵轴， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵图象位于第二象限内， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 12．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数在第二象限的图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点点在轴上，若的面积为则的值为 ．    【答案】 【分析】连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB=S△ABC=8，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k=-16． 【详解】解：连接OA，如下图所示：    ∵AB⊥y轴， ∴AB∥x轴， ∴S△AOB=S△ABC=8， ∵S△AOB=， ∴， 又反比例函数经过第二象限， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确平行线之间的距离处处相等，进而得到△AOB的面积=△ABC的面积是解题的关键． 地 城 考点04 反比例函数的解析式 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数中是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据或或进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、不是反比例函数，故该选项是错误的； B、，y是x的反比例函数，故该选项是正确的； C、是正比例函数，故该选项是错误的； D、是关于y是的反比例函数，故该选项是错误的； 故选：B 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．16 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上山西忻州·期末）如图，点是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据反比例函数k的几何意义，可得，进而求出k的值，检验得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得， 又， ， 故选：A． 二、解答题 5．（124-25九年级上·山西晋城·期末）已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得m、n的值； （2）根据正比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值； （3）根据反比例函数的定义知，据此可以求得m、n的值． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、反比例函数的定义．关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式以及三种函数的形式． 地 城 考点05 反比例函数的实际应用 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式． 【详解】解：设球内气体的气压与气体体积成反比例函数关系为， ∵图象过点， ∴，解得， 由已知得图象在第一象限内， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 解得． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验： 点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下： … 10 20 30 40 50 … … 30 15 10 7.5 6 … 则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，与待定系数法求反比例函数解析式，由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，利用待定系数法求，将其余各点代入验证均适合即可． 【详解】解：由表格中每对x与y的值的乘积相等，故知，猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴， 将其余各点代入验证均适合， ∴y与x的函数关系式为：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式以及求反比例函数的自变量，设反比例函数为：，用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据函数值求自变量即可． 【详解】解：设反比例函数为：， 由函数图像可知，函数过点， ∴， 解得：， ∴反比例函数为：， 当时，则：， 故答案为：30． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 【答案】(1)； (2)学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设出对应的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）分别求出和时的函数值即可得到答案； （3）分别求出两个函数的函数值等于40时x的值结合图象即可得到答案． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【分析】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可； （2）分成和两段计算解答即可； （3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验．第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起（如图）．第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉．第三步：改变弹簧秤到中点的距离（单位：），记录弹簧秤的示数（单位：N），得到的数据如下表：在数据分析时，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．我发现一组数据可能是错误的，于是重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改．实验结束后，大家都很高兴，感觉收获颇多． 任务： ．．． 10 15 20 25 30 ．．． ．．． 30 20 15 13 10 ．．． (1)在小宇同学的日记中，数据分析的过程主要运用的数学思想是 ． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是错误的（不必说明理由）？直接写出关于的函数表达式． (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)若要使弹簧秤的示数不超过，则弹簧秤到中点的距离至少为____________． 【答案】(1)A (2)数据，是错误的． (3)见解析 (4)12 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键；(1) 由“小宇同学先将数据在坐标系中描点，再通过图象来判断数据正确与否”这一过程可知，所用的数学思想是“数形结合”；(2) 根据杠杆平衡原理，有“力×力臂＝恒量”，可得，故应有，将表中数据逐一代入该公式，只有  时应得 ，而表中给的是 13，因此那组数据是错误的，正确的函数表达式是；(3) 在以为横坐标、为纵坐标的平面直角坐标系中，作出曲线  ，它是一支随增大而单调递减的反比例函数图象；(4) 要使不超25，即，解得，也就是说，弹簧秤到杠杆中点的距离至少应为． 【详解】（1）解：∵小宇同学先将数据在坐标系中描点，再通过图象来判断数据正确与否”， ∴所用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：A． （2）根据杠杆平衡原理，有“力×力臂＝恒量”可得， ， 故， 当时，， ∴数据，是错误的，正确的函数表达式是； （3） ； （4）由题意可得， ， 解得， ∴弹簧秤到杠杆中点的距离至少应为； 故答案为：12． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求解函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把，代入中得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 10．（24-25九年级上山西长治期末）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 如 (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】(1)画图见解析， (2)；随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大 【分析】（）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出与之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （）把代入（）所得函数解析式即可求出，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出与之间的函数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： 由图可得，是的反比例函数，设，把代入得， ， ∴， ∴函数关系式为； （2）解：把代入得，， ∴， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是， ∵，在第一象限内，的值随着的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 地 城 考点06 反比例函数与一次函数图象的判断 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键； 根据和分别讨论，即可求解； 【详解】解：当，的图象过一，二，三象限，过一，三象限； 当时，的图象过一，二，四象限，过二，四象限； 当时，和A选项图象一致； 故选：A 2．（24-25九年级上·山西忻州期末）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 3．（23-24九年级上山西大同期末）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故A错误； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故B错误； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故C正确； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故D错误； 故选：C． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西晋中期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) (3)不等式的解集为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． （3）解：根据图象得：不等式的解集为或． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； （3）解：由图象得 或． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，则的面积为______； (3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）把点代入一次函数解析式，进而求出的值，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出一次函数与轴的交点的坐标，分割法求出的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， 把代入，得：， ∴； （2）设一次函数与轴的交点为点， 当时，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴； （3）由图象可知：的解集为：或． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)y (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． （1）将代入一次函数解析式中，再将所求坐标代入反比例函数解析式求解． （2）联立一次函数与反比例函数方程求解； （3）根据一次函数与反比例函数的交点坐标，结合一次函数和反比例函数图象，得出时，x的取值范围即可． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴，解得． ∴点C的坐标为． 把代入，得． ∴反比例函数的表达式为． （2）令， 解得． 当时，， ∴点D的坐标是． （3）解：由图可知：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上面，所以当时，x的取值范围是或． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的解析式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数中时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，根据交点求不等式的解集是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图象上，且，可得，运用待定系数法，把点代入一次函数解析式即可求解． （2）根据图示，由点即可得到反比例函数中时自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的函数图象上，且， ∴， 解得，， 检验，当时，反比例函数函数有意义， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴设一次函数， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：∵， ∴当反比例函数中时，． 地 城 考点07 反比例函数与几何图形综合 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义．先求得，，再求得，证明四边形是正方形，根据列式计算即可求解． 【详解】解：将点代入，得， ∴， ∵C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，．若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键；连接，交y轴于点D，由正方形的性质可知，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴； 故选A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，四边形是正方形，点是反比例函数图象上一点，若点A的坐标是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，涉及求反比例函数的解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与图形等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．过A作轴于E，过C作交延长线于F，利用正方形的性质和全等三角形的判定证明，利用坐标与图形性质得到，，进而求得点C坐标为，利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：过A作轴于E，过C作交延长线于F， 则轴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点A的坐标是， ∴，， ∴点C坐标为， ∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24九年级上·山西阳泉期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点．若图象经过点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，作，作，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，，根据相似三角形判定和性质得，从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值． 【详解】解：作，作，如图，设，， 依题意可得：， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴即， ∴， ∵在反比例函数上， ∴． 故答案为24． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)菱形的边长为____________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数综合以及反比例函数图象上点的坐标性质； （1）过点作轴的垂线，垂足为，由点D的坐标为，得到，，再根据勾股定理即可得到结论； （2）首先得出点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出即可． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵点D的坐标为， ∴，， ∴由勾股定理得：， 即菱形的边长为， 故答案为：5； （2）解：∵菱形的边长为5， ∴，， ∴轴， ∴在直线上， ∴ ∵， ∴点的坐标为， 将点代入，得 ∴． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C（9，3）， (2) (3)存在，（－3，6）或（12，6）或或 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标； （2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∵∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBH， ∴∆AOB≅∆BHC， ∴BH=OA=6，CH=OB=3， ∴OH=9， ∴C(9，3) ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴k=9×3=27， ∴； （2）如图所示，过点D作轴，，, 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形OGEA为矩形， ∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6， ∴D(6，9)， ∵点A’恰好落在反比例函数图象上， ∴当y=6时，x=， ∴m=， ∴D’(6+，9)即D’(，9)； （3）当OA’=OP时，如图所示： ∵A’(，6)， OA’=， 四边形OPQA’是菱形， A’Q∥OP，A’Q=OP， Q(12,6)， 当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)； 当A’O=A’P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， Q(，-6)； 当PO=PA’时，如图设P（m,0）， 则PO=PA’， ∴， 解得：， ∴OP=A’Q=， ∴Q(，6)， 综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 地 城 考点08 反比例函数与一次函数的面积问题 一、填空题 3．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意，设，根据即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数交于点， ∴设， 如图所示，过点作轴，且轴，则， ∴， 故答案为： ． 二、解答题 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及三角形面积公式求面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求出点坐标，然后再用待定系数法解答即可； （2）设一次函数交轴于点，先求出，再利用面积公式即可． 【详解】（1）反比例函数的图象过点， ， ， 一次函数：与反比例函数的图象相交于点， ， 解得：， ； （2）如图，设一次函数交轴于点， 当时，， ． 3．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：在中，当时，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． (3)连接，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)或 (3)6 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式，将代入即可得出一次函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围； （3）设一次函数与与y轴交于点C，则点，由此根据可得出答案． 【详解】（1）解：点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或； （3）解：设一次函数图象与y轴交于点C，如图所示： 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ， 点， ． 5．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出的面积，设，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式的解集为：或． （3）解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得点的纵坐标为．结合反比例函数的性质求出，再运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答． （2）依题意，先得，再结合，轴，得，则． 把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：轴于点，， 点的纵坐标为． 将代入，得， ， 设直线的表达式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：令，得． ． ，轴， ． ． ． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握其性质并能正确求出反比例函数的解析式是解决此题的关键． （1）先由一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5，，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将代入，求出的值，那么，过作于，则，然后根据，将数值代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5， ∴，解方程得，， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，是3， ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得， ， 如图，过作于，则， ． 8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题， (1)依据题意，由反比例函数过，从而，可得反比例函数为，又，则，求出后可得，故可得，进而可以得解； (2)依据题意，由一次函数为，从而可令0，则，故可得，再由，进而可以判断得解； 熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，反比例函数过， ， 反比例函数解析式为， 又在反比例函数图象上， ， ， ， 在一次函数的图象上， ，解得，， 一次函数为； （2）解：∵一次函数为， 令，则， ， ， ． 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； (2)一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两点坐标，进而求出的长，过点B作，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴反比例函数的表达式为 把代入，得， ∴ 把，分别代入，得解得 ∴一次函数表达式为； （2）当时，由，得， ∴点C的坐标为 ∵轴，点D在的图象上， ∴点D的坐标为， ∴ 过点B作，垂足为E， ∴， ∴的面积． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数 8大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 反比例函数比例系数K的几何意义 考点04 反比例函数的解析式 考点05 反比例函数的实际应用 考点06 反比例函数与一次函数图象的判断 考点07 反比例函数与几何图形综合 考点08 反比例函数与一次函数的面积问题 地 城 考点01 反比例函数的概念 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西朔州·期末）从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（   ） A．路程与时间 B．路程与速度 C．时间与速度 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上山西晋中期末）下列反比例函数的图象经过点 的是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 二、解答题 5．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 地 城 考点02 反比例函数的图象和性质 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第二、第四象限 C．第一、第四象限 D．第二、第三象限 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点都在反比例函数的图象上，则 4．（24-25九年级上·山西朔州·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25九年级上·山西·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象位于第一、第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 7．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则下列关系一定成立的是（  ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 10．（22-23九年级上·山西晋中期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图像分布在第一、三象限 B．点在函数图像上 C．y随x的增大而增大 D．若点和在该函数图像上，则 11．（21-22九年级上·山西朔州·期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第二、第四象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而增大 二、填空题 12．（24-25八年级下·山西临汾·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，试用“”号将a，b，c连接 ． 13．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若点、、都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系是 14．（24-25九年级上·山西太原·期末）反比例函数的图象在第 象限． 三、解答题 15．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小丽同学的数学课后小论文（部分），仔细阅读并完成相应的任务． 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到，那么反比例函数图象的平移是怎样的呢？我们可以通过列表、描点、连线的方式进行探究． 列表： 任务 (1)由图可知，反比例函数的图象向________平移________个单位长度，可以得到函数的图象； (2)上述探究方法运用的数学思想是________； A．整体思想    B．类比思想    C．分类讨论思想 (3)将反比例函数的图象先________，再________，可以得到函数的图象；函数图象的对称中心的坐标为________． 地 城 考点03 反比例函数比例系数K的几何意义 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点A是反比例函数图象上一点，点是反比例函数图象上一点，点在轴上，连接，，，若轴，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（    ） A．5 B．8 C． D． 4．（24-25九年级上山西晋中期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 5．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（    ） A．6 B．5 C．3 D．2.5 6．（22-23九年级上·山西忻州期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上山西忻州期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，．若四边形的面积为12，则的值为 ． 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为16，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）如图，已知点，点在反比例函数的图象上，轴，若，则与的面积比为 ．    10．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 11．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 ． 12．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数在第二象限的图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点点在轴上，若的面积为则的值为 ．    地 城 考点04 反比例函数的解析式 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数中是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．16 B．11 C．8 D．6 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上山西忻州·期末）如图，点是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为，则的值为（     ）    A． B． C． D． 二、解答题 5．（124-25九年级上·山西晋城·期末）已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 地 城 考点05 反比例函数的实际应用 一、填空题 1．（24-25九年级上·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图像如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验： 点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下： … 10 20 30 40 50 … … 30 15 10 7.5 6 … 则与之间的函数关系式为 ． 4．（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 5．（24-25九年级上·山西临汾·期末）车载雷达通过发射高频电磁波，接收目标反射信号，经后方处理后实现对车辆周围环境的感知和识别．由物理学知识可知，当电磁波波速一定时，波长是频率的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该电磁波频率f的值为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 7．（24-25九年级上·山西临汾·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验．第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起（如图）．第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持木杆水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉．第三步：改变弹簧秤到中点的距离（单位：），记录弹簧秤的示数（单位：N），得到的数据如下表：在数据分析时，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．我发现一组数据可能是错误的，于是重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改．实验结束后，大家都很高兴，感觉收获颇多． 任务： ．．． 10 15 20 25 30 ．．． ．．． 30 20 15 13 10 ．．． (1)在小宇同学的日记中，数据分析的过程主要运用的数学思想是 ． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是错误的（不必说明理由）？直接写出关于的函数表达式． (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (4)若要使弹簧秤的示数不超过，则弹簧秤到中点的距离至少为____________． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 10．（24-25九年级上山西长治期末）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 如 (1)把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 地 城 考点06 反比例函数与一次函数图象的判断 一、 单选题 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西忻州期末）如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上山西大同期末）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25九年级上·山西晋中期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点与点关于轴对称，求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 5．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，则的面积为______； (3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的解析式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数中时，自变量的取值范围． 地 城 考点07 反比例函数与几何图形综合 一、 单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，．若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，四边形是正方形，点是反比例函数图象上一点，若点A的坐标是，则 ． 4．（23-24九年级上·山西阳泉期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点．若图象经过点，且，则的值为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为． (1)菱形的边长为____________； (2)求的值． 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 地 城 考点08 反比例函数与一次函数的面积问题 一、填空题 3．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，过点作轴于点，点是一次函数的图象与轴的交点，则的面积是 ． 二、解答题 2．（24-25九年级上·山西晋城·期末）如图，一次函数：与反比例函数：的图象相交于点，连接． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出的面积． 3．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． (3)连接，则的面积为______． 5．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，． (1)求直线的表达式； (2)设直线与轴交于点，求的面积． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 9．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； (2)一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 10．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $