第24章 【方法技巧专题】 圆中辅助线的添作方法-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年九年级下册数学配套课件（沪科版）

该初中数学课件聚焦“圆中辅助线的添作方法”，系统梳理作垂直用垂径、有直径得直角等五种核心方法，通过方法总结结合典型例题导入，连接垂径定理、圆周角定理等前置知识，搭建从方法到应用的学习支架。 其特色在于以专题化方法总结培养抽象能力与几何直观（数学眼光），例题解析强化推理与运算能力（数学思维），规范符号表达提升数学语言运用。如作弦心距转化直角三角形问题，用直径构造直角计算角度，助力学生高效掌握解题技巧，教师可直接用于专题复习提升教学效率。

HK 数 学 9年级 下册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 　　过圆心作弦心距，可将弦长问题转化为直角三角形中的边长问题，利用垂径定理及其推论得到相等的弧、弦等关系，结合勾股定理求解． 方法1　作垂直，用“垂径” -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第1题图 1．如图，☉O的半径为3，P是弦AB延长线上的一点，连接OP．若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为( ) A．2 B．2 C． D．2 A 1 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第2题图 2．如图，在☉O中，P为弦AB上的一点，AP＝OA＝5，BP＝3，则OP的长度为( ) A．3 B． C． D．2 B 2 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心、AC长为半径的☉C与AB交于点D．若AC＝6，BC＝8，则AD＝  　．  3 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法2　有直径，得直角 　　构造圆中直径所对的圆周角，则此圆周角是直角，利用直角三角形的性质和勾股定理等进行计算和证明． -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4．如图，在△ABC中，BC＝3，以BC为直径的☉O交AC于点D．已知D是AC的中点，∠ABC＝120°． (1)∠ACB＝　 　°；  (2)点A到直线BC的距离为  　．  　30　 4 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5．如图1，已知AB为☉O的直径，C为☉O上一点，CE⊥AB于点E，D为劣弧BC的中点，连接AD，分别交CE，CB于点F，G． (1)求证：CF＝CG； (2)如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB． 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明：(1)连接AC． ∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CAG＋∠AGC＝90°． ∵CE⊥AB，∴∠FAE＋∠AFE＝90°． ∵D为劣弧BC的中点，∴， ∴∠CAG＝∠FAE，∴∠AGC＝∠AFE． ∵∠AFE＝∠CFG，∴∠AGC＝∠CFG， ∴CF＝CG． 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)连接AC，CD． 由(1)知∠CFG＝∠CGF，∴∠AFC＝∠CGD． ∵CF＝CG，AF＝DG， ∴△AFC≌△DGC(SAS)， ∴AC＝CD，∴，∴， ∴∠ABC＝∠DAB，∴GA＝GB， ∵OA＝OB，∴OG⊥AB． 5 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法3　连切点，得垂直 　　连接圆心和切点得半径，根据切线的性质构造直角三角形，利用直角三角形的相关知识解题． -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6．如图，DB与☉O相切于点B，连接OD交☉O于点A，BC∥OA，OC∥AB．若☉O的半径为2，则线段BD的长为　 　．  2 6 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7．如图，☉O与∠ABC的两边分别相切于点D，E，F为☉O上一点(不与点D，E重合)．若∠ABC＝50°，则∠DFE的度数为　 　．  　65°或115°　 7 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法4　连半径，证垂直 　　要证明一条直线是圆的切线，可以先连接圆心和该直线与圆的交点，再证明这条直线与该半径垂直． -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8．[2025·合肥四十八中期末]如图，AB为☉O的直径，OC⊥AB交☉O于点C，D为OB上一点，延长CD交☉O于点E，延长OB至点F，连接EF，使DF＝FE． (1)求证：EF为☉O的切线； (2)若OD＝1且BD＝BF，求☉O的半径． 8 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：(1)连接OE． ∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE，∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO＋∠OCD＝90°， ∴∠FED＋∠OEC＝90°，∴∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是☉O的半径，∴EF为☉O的切线． 8 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)设☉O的半径OE＝OB＝r，则BD＝BF＝r－1，FE＝DF＝2BD＝2(r－1)． 在Rt△FEO中，由勾股定理，得FE2＋OE2＝OF2，即(2r－2)2＋r2＝(2r－1)2， 解得r＝3或r＝1(舍去)，∴☉O的半径为3． 8 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，☉O经过A，C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E． (1)求证：DE为☉O的切线； (2)若AC＝4，tan ∠CFD＝2，求☉O的半径． 9 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：(1)连接OD． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°， ∴∠COD＝2∠CAB＝90°， ∵DE∥CF，∴∠COD＋∠EDO＝180°， ∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE， ∵OD为☉O的半径，∴DE为☉O的切线． 9 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)过点C作CH⊥AB于点H． ∵△ACB为等腰直角三角形，AC＝4， ∴CH＝AH＝AC＝2． ∵tan ∠CFD＝＝2，∴FH＝． 在Rt△CFH中，由勾股定理得CF＝， ∵tan ∠CFD＝＝2， ∴OD＝，∴☉O的半径为． 9 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方法5　作垂直，证半径 　　要证明一条直线是圆的切线，可以先经过圆心作出这条直线的垂线段，再证明这条垂线段是圆的半径． -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作☉D，AB＝5，EB＝3． (1)求证：AC是☉D的切线； (2)求线段AC的长． 10 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：(1)过点D作DF⊥AC于点F． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∠B＝90°， ∴BD＝DF，∴DF为☉D的半径， ∴AC是☉D的切线． (2)∵DE＝DC，BD＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)， ∴EB＝FC＝3．易知AB＝AF＝5， ∴AC＝AF＋FC＝5＋3＝8． 10 -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【方法技巧专题】　圆中辅助线的添作方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $