专题01 三角形（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题01 三角形（8知识&12题型&3易错） 【清单01】三角形的定义与分类 定义与表示：理解“由 的三条线段首尾 所组成的图形”这一定义，并学会用符号“△ABC”正确表示三角形。 分类体系： 按角分： 三角形（三个角均小于90°）、 三角形（有一个角等于90°）、 三角形（有一个角大于90°）。 按边分： 三角形（三边均不相等）、 三角形（有两边相等），其中 三角形是特殊的等腰三角形。 【清单02】 稳定性 三角形是最 的几何图形，这一特性在建筑、工程中广泛应用。 【清单03】三角形的三边关系定理： 定理：三角形任意两边 第三边。 推论：三角形任意两边 第三边。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 【清单04】三角形的内角和定理： 定理：三角形三个内角的和 。 推论：直角三角形的两个锐角 。 应用：进行角度计算，是求解复杂图形中角度问题的万能钥匙。 【清单05】三角形的重要线段： 高：从顶点向其对边所在直线作的 。钝角三角形的高可能在形外，是易错点。 中线：连接顶点与 的线段。三条中线的交点是重心，中线将三角形分成两个 的小三角形。 角平分线： 的线段。 【清单06】全等三角形的性质： 全等三角形的 ，对应 。 【清单07】全等三角形的判定定理： 边边边： 相等的两个三角形全等（SSS）。 边角边： 对应相等的两个三角形全等（SAS）。 角边角： 和它们的 对应相等的两个三角形全等（ASA）。 角角边：两角和其中 对应相等的两个三角形全等（AAS）。 特别注意：“边边角”（SSA）不能作为判定依据。 【清单08】利用三角形全等测距离： 将实际问题抽象为几何模型，通过 来测量不可直接到达的两点间距离（如河宽）。 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【变式1-1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【题型二】三角形内角和的应用 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知中，，的角度大小为（   ） A．30° B． C． D．60° 【变式2-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在物理学光的反射现象中，如图，入射光线，法线，反射光线在同一平面内，且入射角（）等于反射角（）．若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．下列有两个结论 结论I：当为的平分线时，； 结论II：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或，请你对两个结论进行判断并说明理由． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和 【例3】（23-24七年级下·四川广安·期末）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中,平分平分，则 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【题型四】与折叠有关的三角形内角和 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·月考）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【变式4-2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【题型五】三角形三条重要线段的综合应用 【例5】（23-24八年级上·山西大同·月考）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【变式5-2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【题型六】全等三角形的性质 【例6】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-1】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型七】全等三角形性质与SSS判定的综合 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，则的度数为 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 【题型八】全等三角形性质与SAS判定的综合 【例8】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段 与 的数量关系 （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【题型九】全等三角形性质与ASA（AAS）判定的综合 【例9】（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【变式9-1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点是的边上一点，且，在边上截取．过点作交于点． (1)和全等吗？为什么？ (2)连接，若，，求的度数． 【题型十】倍长中线模型的应用 【例10】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【变式10-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【变式10-2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【题型十一】一线三垂直模型的应用 【例11】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 【变式11-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【变式11-2】（25-26八年级上·全国·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【题型十二】旋转模型的应用 【例12】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式12-1】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【变式12-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【题型一】对三角形的高的定义掌握不清 【例1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【题型二】应用三角形三边关系的考虑不周 【例2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在中，，，且的长为奇数，求的长． 【题型三】选择适当方法证明全等 【例3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 试卷第2页，共53页 网（北京）股份有限公3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（8知识&12题型&3易错） 【清单01】三角形的定义与分类 定义与表示：理解“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”这一定义，并学会用符号“△ABC”正确表示三角形。 分类体系： 按角分：锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角等于90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）。 按边分：不等边三角形（三边均不相等）、等腰三角形（有两边相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形。 【清单02】 稳定性 三角形是最稳定的几何图形，这一特性在建筑、工程中广泛应用。 【清单03】三角形的三边关系定理： 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边之差小于第三边。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 【清单04】三角形的内角和定理： 定理：三角形三个内角的和等于180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余。 应用：进行角度计算，是求解复杂图形中角度问题的万能钥匙。 【清单05】三角形的重要线段： 高：从顶点向其对边所在直线作的垂线段。钝角三角形的高可能在形外，是易错点。 中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线的交点是重心，中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。 角平分线：平分内角的线段。 【清单06】全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 【清单07】全等三角形的判定定理： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 特别注意：“边边角”（SSA）不能作为判定依据。 【清单08】利用三角形全等测距离： 将实际问题抽象为几何模型，通过构造全等三角形来测量不可直接到达的两点间距离（如河宽）。 【题型一】三角形内角和定理的证明 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 【变式1-2】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 【题型二】三角形内角和的应用 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知中，，的角度大小为（   ） A．30° B． C． D．60° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度可得，结合即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在物理学光的反射现象中，如图，入射光线，法线，反射光线在同一平面内，且入射角（）等于反射角（）．若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求得，然后再利用三角形内角和定理，求得，从而得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2-2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．下列有两个结论 结论I：当为的平分线时，； 结论II：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或，请你对两个结论进行判断并说明理由． 【答案】结论I：正确，见解析；结论II：错误，见解析 【分析】此题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论Ⅰ，分两种情况：当时和，结合折叠的性质分别计算可判定结论Ⅱ求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ∴故结论Ⅰ正确； 当时，如图，    由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，      由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故结论Ⅱ错误． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和 【例3】（23-24七年级下·四川广安·期末）如图，在中，，，平分，交于D，，交于E，则的大小是（ ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中,平分平分，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是先利用三角形内角和求出，再结合角平分线性质得到与的度数，最后再次运用三角形内角和求出． 先根据内角和为，结合已知、，求出的度数；再由BP、CP分别平分、，得到、；最后在中，利用三角形内角和求出． 【详解】解：∵ 在中，三角形内角和为，且，， ∴ ； ∵ BP平分，CP平分， ∴ ，； ∵ 在中，三角形内角和为， ∴ ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【题型四】与折叠有关的三角形内角和 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·月考）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 【变式4-2】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 【题型五】三角形三条重要线段的综合应用 【例5】（23-24八年级上·山西大同·月考）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 【变式5-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是边上的高，． (1)若是的平分线，求的度数； (2)若是边上的中线，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、中线以高线，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，根据角平分线定义求出，再由三角形的内角和定理求得； （2）根据三角形面积公式求出，再由中线的性质求出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是边上的高，， ∴，即， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 【题型六】全等三角形的性质 【例6】（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．由全等的性质可知，，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据两个三角形全等，可知对应相等的两条边的夹角相等，从而求出的度数． 【详解】解：两个三角形全等， 对应相等的两条边的夹角相等， ． 故选：A． 【变式6-2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 【题型七】全等三角形性质与SSS判定的综合 【例7】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据三边相等的两个三角形是全等三角形，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． (1)求证：； (2)点落在何位置，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点落在的延长线上时，，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠得到，，然后证明出，得到，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可得到； （2）当点落在的延长线上时，证明出四边形是矩形，即可得到． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形 ∴， 由折叠得，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）当点落在的延长线上时，，理由如下： 当点落在的延长线上时， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，折叠性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“边边边”即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的判定，即可得到答案； （3）先证明，然后根据等腰三角形的性质，得到，进一步利用三角形内角和性质证明，最后根据平行线的判定定理，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形； 理由：， ， ， 是等腰三角形； （3）解：． 理由：，， ， ， ，，，， ， ． 【题型八】全等三角形性质与SAS判定的综合 【例8】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由已知条件即可得出，再根据证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)40米米 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）只需要证明即可得到答案； （2）确定的长度范围只需要确定的长度，由三角形三边的关系求解即可得到答案； （3）延长到E使得，连接，根据（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， 即40米米， ∴40米米． （3）如图，延长至E使，连接； 则， 根据（1）（2），∴， ∴， 即． 【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，请直接写出线段 与 的数量关系 （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键． （1）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （2）根据，可知，进而结合已有的等角与等边判定全等，再由全等三角形的性质求解即可； （3）本题分两种情况讨论，即当在之间时，和当在点右边时，根据每种情况求相等的角，再结合三角形全等得判定求解即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴． （2）； 理由：∵，， ∴， 即， 在和中： ∴（）， ∴． （3）或； 解：本题分两种情况， 情况一：当在之间时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ， 故． 情况二，当在点右边时，如下图所示： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【题型九】全等三角形性质与ASA（AAS）判定的综合 【例9】（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式9-1】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据两直线平行内错角相等，利用即可证明； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可推出，，然后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式9-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点是的边上一点，且，在边上截取．过点作交于点． (1)和全等吗？为什么？ (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定，平行线的性质是解决问题的关键． （1）由得，进而可依据判定和全等； （2）根据，得，再根据得． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ， . 在和中， ，，， ； （2）解：，， ， ， ． 【题型十】倍长中线模型的应用 【例10】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式10-2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 【题型十一】一线三垂直模型的应用 【例11】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 【答案】 【分析】通过已知条件寻找三角形 和三角形 全等的条件，利用全等三角形对应边相等求出泰塔高度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的“角边角”判定方法和对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴． 在 和 中： ∴ （）． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【变式11-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 【变式11-2】（25-26八年级上·全国·期末）【积累经验】 我们在第十四章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图①，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，．”这个问题时，只要证明即可得到解决． （1）请写出证明过程： 【类比应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，为轴上一点，， ，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，点，点均在小正方形网格格点上，以为一边构造等腰直角，请直接写出第一象限内满足条件的所有点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”证明，从而得出结论； （2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点，构造证明，得到，，进而得出点的坐标； （3）分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，交的延长线于点， 由题意得，，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 则， ； （3）或或． 如下图，分别以点、点、点为直角顶点，结合图中所给的平面直角坐标系画图即可得出点的坐标为或或． 【题型十二】旋转模型的应用 【例12】（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式12-1】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 【变式12-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【题型一】对三角形的高的定义掌握不清 【例1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图．根据三角形高的定义即可得出结论． 【详解】解：边上的高垂直于，且过点， 由图形可得，选项A、C、D三角板的摆放位置不正确，选项B三角板的摆放位置正确， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 【题型二】应用三角形三边关系的考虑不周 【例2】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设第三根小棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根小棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ， 第三根小棒的最大整数值是． 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知等腰三角形的周长为，一条边的长为，则它的腰长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角三边关系是解决本题的关键． 根据题意分为一条边的长为为腰长时或一条边的长为为底边时进行分类讨论即可． 【详解】解：根据题意得，当的边为等腰三角形的腰时， ∴此时的三边为， 又∵， ∴此情况的三边不能组成三角形， 当的边为等腰三角形的底边时， ∴此时等腰三角形的腰为， ∴此时的三边为， ∵， ∴此时的三边能组成三角形， 故答案为：7． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在中，，，且的长为奇数，求的长． 【答案】或7或9 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． 【详解】解：由题意得：， 即：， ∵为奇数， ∴或7或9． 【题型三】选择适当方法证明全等 【例3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握边边边、边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴添加时，运用“边角边”可证，故A选项不符合题意； 添加时，运用“斜边直角边”可证，故B选项不符合题意； 添加时，不能证明，故C选项符合题意； 添加时，运用“边边边”可证，故D选项不符合题意； 故选：C ． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 试卷第2页，共53页 网（北京）股份有限公3 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $