山西省太原市第五中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

太原五中2025~2026学年第一学期高二年级12月月考 数学 =,直，嘉湘坐0落 式可地解音成己日点，式1游音门地已人嘉，点 考生注意： 1.本被春分选释题和非选释题商称分：满分15的分，考秋时间0务钟，己，回 2.答题前，考生务必用直径Q.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目镇写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔起答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水荟字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二新第四章第1节一第2节 4.2.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 (代L商遭小本 士指物线3y学骨的准线方程为武0，点微古0<<1-青十号圆刚基3假5 Ay= 30,或专时江两℃是爱面小Dy是最的 2数列7,25,79,241，…的一个通项公式为 A.4=3-2 Ban-3+1-2 Ca=3+400D.a,于34d 3.过圆C2+(y一1)2=4上的点P(2.1)作C的切线，则切线方程为中单0，A始2 A.x-y-1=0 B.x-2y=0 Cx+2y-4=0 D.x-2=0 4.已知在等差数列{an)中，ag=3,a十as=10,则a一2as= A.-3 B.3 C.4 D.-4 5已知双曲线后一苦-1(a>0,6>0)的离心率为2反，则该双曲线的渐近线方程为 A.7x士y=0 Bx士7y=0 C.3x±y=0 D.x±3y=0 6在平面直角坐标系0y中，已知点A03,且动点P)调足别-2，则动点P的款达 与圆(x一1)2+(y一2)=1的位置关系是 A.相交 B外切 C,内切 D.外离 【高二年级12月月考·数学第1页（共4页）】 26-T-340B 7已知双曲线C等与5,6，斜率万？的直线与双曲线C相交于点左，B,且弦AB 的中点华标为》刚双自线G的高心*为 A.2 B.3 C2 D.3 8已知抛物线CY=女的焦点为F,0为坐标原点，者直线！交C于A,B两点，且Oi·O丽- 一4，点O关于1的对称点为D,测DF的取值范围为 A(2,4] (侵] C.(1,3] n(侵] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部进对的得6分，郁分选对的得部分分，有选错的得·分。 4小 9若点A(m,4)和点（一1一m:3关于直线：十y一3=0对称则 AAB的中点坐标为(-) B#=1 C直线（的斜米为110,8品民千交hD.m=0 10.已知R,R是椭圆C,号+y=1的左右焦点，P是C上一点，若△PF,F:是直角三角形。 则1PE1= A号 B√2 C.2 D. 置：已知双曲线c义的左右焦点分别为FF,点P是c的右支上点，过点P作G 的切线1与C的两条渐近线分别交于M.N两点，则下列说法正确的是 A.|PF2一{PF的最小值为8 B存在点P,使得PP4 C点M.N的纵坐标之积为定值 D.IMNI-2MPI 2过点，一3且与直线一名十1-0直的直线方我是6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 13.已知A(5,2),点P是抛物线y2=8x上的一点，点B是圆F:(x一2)2+y=1上的一点，则 IPA+PB的最小值为 14.已知点A是椭圆C:后+芳-1(e>b>0)的下膜点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B, 若A正=2F,则C的离心率为 80L-T-5 【高二年级12月月考·数学第2页（共4页】 26-T-340B 四解答题：本题共5小是，共刀分，解答应写出文字设明.运明过程酸满裤步厚以1记月18y补丽满分7分甲二高膜学一策单学080心一8中用水 15.(本小题满分13分) 已知双曲线号-芳-1(>0，b>0)的渐近线上一点与右焦点F(2,0)的最短距离为厄， 已知圆C:(r+2》+gy-6=16,过点M.0》作斜率考】的直线1交圆C手X,B (1)求双曲线的方程 两点. (2)若0为坐标原点，直线x=y十2与双曲线的右支交于A,B两点，与渐近线交于C,D两 点，点A与点C在x轴的上方，点B与点D在x轴的下方， (2)求弦AB的长. 太济御算维问0候，0武是路城的1干关0点 ①求实数1的取值范围： :意五主学 ②设S,S分别为△AOC和△BOD的面积，求分十S的最大值。。。 夏自合特那难高，中不#的出量金不安衣线餐8角儿。小上共前本：解花 16.(本小题满分15分) 已知抛物线Cy2=2z(p>0)的焦点为F,点A(4,)(其中0)在抛物线C上，|AF=5. (1)求力和t的值： (2)O为坐标原点，过点A的直线1与抛物线C交于另一点B,OA1OB.求直线1的方程： 诗一只，中限个四出小方，共，合云小，小共本：科金 19.(本小题满分17分)已期产 已知点F是桃圆C:后+芳-1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点：若上的点与点F距离 17.(本小题满分15分) 的最大值为3，聚小值为1，过点F作C的两条互相垂直的弦AB,DE至一 在平面四边形ABCD中AD-CD-2,AB=CB=23,∠BAD=∠BCD-90(如图1D,将 (1)求C的方程： 大sE象●相安，t地g △ACD沿着AC翻折到△ACP的位置（如图2），且BP=,D (2)求证A十DE的值为定值： (3)设AB,DE的中点分别为P,Q,求证：直线PQ过定点1-11)3 图1 图2 E-A )求证：平面ACP⊥平面ABC: - (2)求平面ABP与平面BCP夹角的余弦值. 型制收版地，一筒故假与，中坐确直面平套为 自 空样A 【高口年级12月月考·数学第3页（共4页）】 26-T-340B 【高二年级12月月考·数学第4页（共4页）】■26一T一340B太原五中2025~2026学年第一学期高二年级12月月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意，抛物线)=号：的标准方程为？=音.所以抛物线)=号：的准线方程为)一一是枚选C 2.B数列7,25,79,241，…的各项都加上2后为9,27,81,243，…，因此一个通项公式为an=3m+1一2.故选B. 3D圆C:+(y一1)=4的圆心为C0,1),因为点P在圆C上，且c=日0，所以所求切线与x轴垂 直，故所求切线的方程为x=2.故选D. 4.A,{an}为等差数列，.a2十a8=2a6,.a8-2a5=一a=一3.故选A. 5A由双前线的商心*为22，得e=√（侣）-√1什（合）=2亿，所以名-厅，又双前线号芳-1的 南近线方程为y=士名，所以渐近线方程为y一士厅，即厅士y一0.故选A 6.D由=2，得1PA=2引P01,则VF+y3-2+可，整理得+(+1)=4，表示圆心 为(0，一1)，半径为R=2的圆，圆(x一1)2十(y一2)2=1的圆心为(1,2)，半径r=1,两圆的圆心距为 √/(0一1)+（一1-2）=√10，满足2+1<√/10，所以两个圆外离.故选D. 7.B斜率为2的直线与双曲线C:若一苦=1a>0,6>0)相交于A,B两点，设A(y).B(),则会 答=1.0：答-答=1.@，①-@得十型=二“十2，则k=盖兴=g, a x-x2 a 十2，：弦AB中点坐标为(1,1)，十x2=2,y十为=2，：直线l的斜率为2，.=2a2,2=a2+B= y1十y2 3a2,∴.g=3,则e=√3.故选B. 8.C由A,B两点在抛物线y2=4红上，所以可以设点A(4y）人，B(产2），则 Oi.市-0+%=-4，曲直线交C于A,B两点，故直线1不与：轴 平行或重合，故可设直线l解析式为x=y十t,联立直线与抛物线方程得y 4my一41=0，y2=一4t,所以OA·O=2-41=-4,解得t=2,所以直线1与 x轴的交点为P(2,0),由O,D关于直线l对称，所以|OP|=|DP|=2,且D 点不与O点重合，故可知D的轨迹方程为：(x一2)2+y=4(不经过原点)，所 以|DF>r-|PF=1,|DF≤r+|PF|=3,即|DF|∈(1,3].故选C 9.ABD易知AB的中点坐标为(-合，子)，则点(-合，子)在直线1上，所以-之+受-3=0，解得=1， 所以直线1的斜率为-1.又因为ABL,所以×（一）=-1，解得m=0.放选AD 10ABD由题意知F(-1,0,E1,0),若PFLFF,令x=-1,得y=士号，所以PE,=号，故A正 确：若PE.LF.F则PF-号，又F,R=2,所以PF=√（受）+2=39，故D正：确当点P 为C的上顶点或下顶点时，|PF|=|PF2|=√2，又|FF2|=2,所以PF⊥PF2,故B正确.故选ABD. 1.ACD由题意，双曲线7-苦=1，可得a=1,6=3,则c=瓜+6=2，所以焦点(-2,0)，F(2,0),设 P(m,),则m≥1，且后-兰=1，即6=36-3，由1PF2-|PF?= 3 [(x0十2)2+]一[(x0一2)2+%]=8x0≥8，故A正确：假设存在点P,设P(x0,%),则≥1，且x一 普=1，即6=3-3，所以P㎡，P=(-2-,-w)·(2-,-b)=后-4+=后-4十3-3 =4x一7≥一3，所以不存在点P,使得PF1·PF2=一4，故B错误；显然直线1的斜率不为0，设直线1的方 【高二年级12月月考·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-340B c-苦-1得(3r-1D+6my叶3m-3=0,又直线1与C相切，所以4=36m- [c=1y十n, 程为x=my+1,由 12(3m2-1)(-1)=0,整理得n2=1-3m2,所以-2y2+61y-9m2=0,即(y-3m)2=0,解得y= 3m,即点P的纵坐标为yp=3四.不妨设直线1与y=5x的交点为M,与y=一5x的交点为N,由 [x=my+n, y=/3x 解得y=B:,即点M的纵坐标为)w=,B,由 ∫x=ny+n, 1一√5m 】=解得y三必，即点N 1+√5m 的纵坐标为w= 3n=-31=二3(1-3t）→ 3业，则点M,N的纵坐标之积为MN=13m1十/53司 1+/3m 1一3m2 5n+一3n -3,枚C正确：因为=Bm,1中Bm-Bn1+5m）一Bm-=孤=p,所以点 2 2 2(1-3r) 2721 P是线段MN的中点，所以|MN|=2|MP|,故D正确.故选ACD. 12.2x+y十1=0.设与直线x一2y十1=0垂直的直线方程是2x十y+A=0,代人点(1，一3)，得2-3+A=0, 解得入=1，所以所求的直线方程是2x十y+1=0. 13.6由题意知F(2,0)是抛物线y=8x的焦点，记点P到抛物线y2=8x的准线的距离为d,所以PA+ |PB1≥PA+PF一1=|PA+d-1≥5+2-1=6，当且仅当直线AP与抛物线的准线垂直，点B在线 段PF上时，等号成立，所以PA十PB的最小值为6. 14号 设椭圆C的焦距为2c,设B(m,n,A(0,-b),F(c,0),所以AF=(c,b),Fi=(m-c,1),因为AF= 3 2成所以3 m=之c, 即B(受c,台)，因为点B在椭圆C上，所以 =1 a2 In= 2· 所以号=子，所以C的离心率为e=-马 a 3 15.解：(1)由直线l的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为一1，…2分 又m过圆心（一2,6），则m的方程为y一6=一(x十2)，…4分 所以线段AB的中垂线方程为x十y一4=0. 6分 (2)由题意可得直线l的方程为x一y十4=0，…8分 圆心（一2,6）到直线1的距离为：d=-26十4=22，… 11分 /1+I 所以AB1=2√P-d=2√4-(2√2)2=4V2. 13分 16.解：(1)由抛物线的定义及AF=5,知4十号=5，解得p=2. 4分 将点A(4,t)的坐标代入抛物线C的方程y2=4x,得=16， 又t>0,所以1=4， 故p的值为2，t的值为4. "。,。。。。,。7 (2)法一：设B点的坐标为(4，咖）， 因为0AL0B,A点的坐标为(4,4)，所以4X平十4g=0.. 11分 解得g=一4或yg=0(舍去)，…12分 所以B点的坐标为(4，一4)，所以直线l的方程为x=4.…15分 法二：由题知l的斜率不为零，设直线l的方程为m(y一4)=x一4，整理得x=y一41十4.…8分 设点A,B的坐标分别为(1)，(x22), 联立方程yy-4m+4,得y一4my十16m16=0, 所以y2=16m-16,0=4-16m162=16(m-1D. 16 16 10分 因为OA⊥0B,所以OA·O克=m2十y=16(m-1)2+16m-16=0,解得m=1或m=0.…12分 当=1时，直线l的方程为y=x,经过原点O不合题意；…13分 当m=0时，直线l的方程为x=4,满足题意， 故直线（的方程为x=4.……15分 【高二年级12月月考·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-340B 17.(1)证明：连接BD,与AC交于点O, 因为在平面四边形ABCD中，AD=CD=2,AB=CB=2√5， 所以BD垂直平分线段AC,O是AC的中点，所以BD⊥AC,即OP⊥AC,OB⊥AC,…1分 因为∠BAD=∠BCD=90°，所以BD=√/BC+CD=4. 2分 因为sin∠CBD-0=号所以∠CBD=30,… 3分 所以OB=BC·c0s30°=3，OD=1.… 4分 翻折后，因为OB2十OP2=10=BP,所以OP⊥OB,...… 5分 又OP⊥AC,OB∩AC=O,OB,ACC平面ABC, 所以OP⊥平面ABC.…6分 又OPC平面ACP,所以平面ACP⊥平面ABC.…7分 (2)解：因为OB,OC,OP两两垂直，故以，点O为坐标原点，以OB,QC,OP所在直 线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,一5,0)，B(3,0,0),C(0W3,0),P(0,0,1),…8分 所以PA=(0,-√5，-1)，PB=(3,0,-1). 9分 设m=(,)为平面ABP的一-个法向量，则m·P月=一5y=0,令=3， m·PB=3x-x=0, B 得x=1,y=-3,所以m=(1,-3,3). …11分 PC=(0,W,-1),P3=(3,0,-1),设n=(a,b,c)为平面BCP的一个法向量，则 n…P-56-c=0令c=3,得a=1,b=5,所以n=(1,5,3), 13分 n.PB=3a-c=0, m·n=1X1-5×3+3×3= 所以cos(m,)=Tmn /13Xw13 13 所以平面ABP与平面BCP夹角的余弦值为3 15分 18解：1)设双曲线若一芳-1的焦距为2，则6=2。 因为F(2,0)到直线6x一ay=0的距离为2L=2,故6=2， √6+a 则a=一-不-厄，放双曲线的方程为：号一苦-1 ……4分 (2)①如图，设A(,y),B(x2,2),联立直线与双曲线的方程 x=ty+2, x2-y2=2, t2一1≠0， △=812+8>0， 消元得(-1)y+4y十2=0，则十为=： -4t ……7分 2 h为=2-' 2 因为直线与双曲线右支交于A,B两点，故1为一二气<0， 则一1<1<1，故t的取值范围为（一1,1）. 10分 @油0知，AB1=/1+71y-=/1+7VM+)-4=中7/8+8=2E1+ 1-t 1-12 原点O到直线AB的距离d= 2 ……12分 √/1+ 设G0.展立y2则-1Dy+g+4= ⅓十0=当=产4=160， 则1CD=中F1-=I十7/为+w)-4=平压-4平 1一2 1一2 …14分 【高二年级12月月考·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-340B 而S+S,=Sam-SaB=21川CDl-|ABI Id=4-2Y2T+2 1一2 令m=√/2+2∈[/2,2)，则S+S,=4-2m=84=4 一4 1-m-2 4-2+m2+√2 =4-2√2， 2 当m=√2，即t=0时取到等号. 综上所述，S1十S的最大值为4一2√2.… …… 17分 19.(1)解：设椭圆C的焦距为2c,则由题意得a十c二3， 1分 la-c=1, 解得但二： 2分 所以=a2-C2=4-1=3,…3分 所以C的方程为矿+苦=1. …4分 (2)证明：由(1)得F(1,0),若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时， |AB1=4,|DE1-2E=3(或AB到=3，DE=4),此时A8十TD丽一2 …5分 a 若直线AB与直线DE的斜率都存在时， 设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1y),B(x2,y), y=k(x-1), 由+=1 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 8k2 所以x1十=3十4= 4k2-12 3+4k2· 6分 所以|AB|=√1+k|-|=V1+E√(0+2)-40x2 8k2 3+4k2/ -4×6卫=12(1+2) 3+4k2 3+4k2 7分 因为ABLDE,.将k换成一名，得DE= 12[1+(-)] 12(k2+1) 4+3k2 ,…8分 3+4(-) 3+4k 4+3k7(k2+1) 7 所以TAB+TDE=12(1+k)十12(2+1D=12(+-2 …9分 综上所述TAB十DE的值为定值.… 10分 (3)证明：由(2)得0十2= 8k2 -6k 干4农n十为=（西十m-2)=3十4， 因为P是AB的中点，所以P(3旋 一3k 11分 将北换成一冬，得Q 4()】 4 3k 即Q(4十34+3k) …12分 3k 3k 若直线PQ的斜率存在，则直线PQ的斜率为kQ= 4+3kT3+4k 7k 4 4k2 4(1-k2）,…13分 4+3k23+4k 所以直线PQ的方程为345(3e)即)4（一号) 7k 4k2 …14分 所以直线PQ过定点（号，0）. 0.………………………15分 若直线PQ的斜率不存在，测=十解得=1， 4 此时直线PQ的方程为x=号，直线PQ也过定点（号，0）： 16分 所以直线PQ过定点（号，0）， 17分 【高二年级12月月考·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-340B