专题02 实数 9大高频考点（期末真题汇编，山西专用）八年级数学上学期

专题02 实数 9大高频考点概览 考点01 无理数的辨析 考点02 算术平方根、平方根、立方根 考点03 无理数的估算 考点04 实数的大小比较 考点05 实数与数轴 考点06实数的混合运算 考点07 二次根式有意义的条件 考点08 利用二次根式的性质化简 考点09 二次根式的混合运算 地 城 考点01 无理数的辨析 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，0，是有理数，是无理数． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，涉及无理数定义：无限不循环小数或不能表示为整数比的数，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数比的数即可得到答案，熟记无理数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分数，可表示为整数比，是有理数，不符合题意； B、是无限循环小数，可化为分数，是有理数，不符合题意； C、中是无限不循环小数，故是无理数，符合题意； D、中，，故是整数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，无理数的定义，先根据勾股定理求出三边，再根据无理数定义即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由网格可知， ， ， ， ∴边长为无理数的边数有条， 故选：C． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的定义．先求出算术平方根，然后再根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， 在、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0）之中， 无理数有：，（每两个相邻5之间依次多一个0）两个， 故选：B 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列四个数中，是无理数的是（　　） A． B．0.33 C． D．1 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：，0.33，1是有理数，是无理数． 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列实数，，3.14159265，，，0.7272272227…（相邻两个7的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的识别，理解无理数的定义和常见形式是解题关键．无限不循环小数是无理数，常见形式为：①开方开不尽的数；②含有的数；②像这样有规律但是不循环的数．据此分析判断即可． 【详解】解：， 实数，，3.14159265，，，0.7272272227…（相邻两个7的个数逐次加1）中，无理数有，，0.7272272227…，共计3个． 故选：C． 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数．计算算术平方根后，无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，，，中，是无理数的是， 故选：D 地 城 考点02 算术平方根、平方根、立方根 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设长方形包装袋的长为，宽为，由题意得，可以求出长方形包装袋的长、宽，再求出面积为的正方形书画作品的边长是，再进行比较即可． 【详解】（1）解：面积为的正方形书画作品的边长是． 包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得，即， （负值舍去）， 长方形包装袋的长为，宽为； ， 不能，包装袋的长够，宽不够． 故选B． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的定义，由算术平方根的定义，若，则为3的平方即可得到答案，熟记算术平方根定义是解决问题的关键 【详解】解：已知，根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，即， 故选：D 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，代数式求值，根据已知条件分别求出a和b的可能值，结合求出a和b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵，得， ∴或． ∵ ∴当时， ， ∴． 当时，， ∴． 综上，值为或，即， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是 D．的算术平方根是3 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根及算术平方根的定义，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：平方根符号表示算术平方根，结果非负，故，而非．选项A错误． 选项B：的平方根是，平方根的定义为若，则x是a的平方根．，因此的平方根是．选项B正确． 选项C：1的立方根是，立方根的定义为若，则x是a的立方根．因，而，故1的立方根仅为1．选项C错误． 选项D：的算术平方根是3，运算顺序中指数优先于负号，故．算术平方根仅针对非负数，而为负数，无算术平方根．选项D错误． 故选：B 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是； 故选B． 6．（山西省运城市2024-2025学年上学期期末测试八年级数学试卷）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，如果一个数的平方是，那么这个数是的平方根．因为，所以是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：A ． 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）﹣27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣3 【答案】B 【分析】根据立方根的知识，直接开立方即可． 【详解】． 故选B 【点睛】本题考查了立方根的知识，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 8．（山西省临汾市侯马市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根的定义求解即可，熟练掌握平方根的求解方法是解决此题的关键 ． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 二、填空题 9．（山西省晋中市太谷区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是 故答案为：． 10．（山西省晋城市阳城县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）4的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根的运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 【详解】解：4的平方根是 故答案为：． 11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵ ∴的立方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了立方根定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．解题的关键是注意一个数的立方根与原数的符号相同． 三、解答题 12．（24-25八年级上·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用． （1）直接根据算术平方根计算即可； （2）设长方形封皮的长为，根据面积公式列方程求出长方形封皮的长和宽，再判断即可． 【详解】（1）解：∵该卡片的面积为， ∴该卡片的边长为； （2）解：设长方形封皮的长为，则宽为， ∵面积为， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴长方形封皮的长为，则宽为， ∵长方形封皮的宽， ∴卡片不能直接装进长方形封皮中． 地 城 考点03 无理数的估算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）估计的值是在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】C 【分析】先估算出的范围，继而可得出的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，属于基础题，解题的关键是正确估算的范围． 2．（21-22八年级上·山西运城·期末）估计1的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，估算的大小，得到问题答案． 【详解】解：∵9<13<16， ∴， ， 即， ∴在2和3之间． 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，无理数的估算方法：夹逼的方法（被开方数的不足近似值和过剩近似值）；估算的值是解题关键． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）比较大小： 4（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可． 本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，按此规定， ． 【答案】 【分析】本题考查取整符号、无理数估算等知识，理解题中取整符号的意义，掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 先估算的范围，再计算的范围，最后根据整数部分的定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 即的整数部分是， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）写出一个无理数，满足，则的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点04 实数的大小比较 一、填空题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】该题考查了实数比较大小．根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：>． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，利用估算法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∴； 故答案为： 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先比较与3的大小，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较与，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）比较大小：3 (填写“”或“”) 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小比较，利用平方比较大小即可．掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，根据，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 地 城 考点05 实数与数轴 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点间的距离，正确理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 设A表示的数是a，根据点C是的中点，得，求解即可． 【详解】解：设A表示的数是a， ∵点C是的中点， ∴ 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（　） A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想 【答案】C 【分析】本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对． 【详解】解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是， 这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确， ∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系． 根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ， ∴点表示的数为：， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，，， 在中，， ∴， ∴， 为原点，为正方向，则点对应的数为； 故答案为：． 5．（24-25八年级上山西运城期末）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理正确求出是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 地 城 考点06 实数的混合运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算：； 【答案】； 【分析】本题考查了绝对值，立方根，算术平方根的计算，解题的关键是掌握绝对值，立方根的意义 去绝对值号，计算算术平方根，开立方后，再计算加减法即可； 【详解】解： ； 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算： 【答案】； 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解． 根据有理数的乘方，算术平方根以及立方根进行计算即可求解； 【详解】解： ； 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算法则 利用绝对值的性质、算术平方根的定义、乘方的定义、立方根的定义分别运算，再合并即可； 【详解】解：原式 ； 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，根据平方根的定义解方程； （1）根据二次根式的性质以及负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解：（1） （2） 移项得， ∴ ∴， 解得：或 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算： 【答案】2.5 【分析】本题考查的是实数的混合运算， 先计算算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可； 【详解】解： ； 6．（24-25八年级上·山西长治·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等知识． 利用立方根、算术平方根的性质、绝对值法则进行化简后，再计算加减法即可； 【详解】解： 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算：； 【答案】7； 【分析】本题考查实数的运算及因式分解． 利用有理数的乘方法则，立方根及算术平方根的定义，绝对值的性质计算即可； 【详解】解： ； 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算： 【答案】（1） 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键. 先乘方，化简三次根式、绝对值，再计算加减即可； 【详解】解： ； 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）． 【答案】； 【分析】本题考查了因式分解，算术平方根，立方根，解题关键是掌握相应的运算法则， （1）先计算算术平方根，立方根，再算乘法和加减即可； 【详解】解：原式 ； 地 城 考点07 二次根式有意义的条件 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，判断选项即可．本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：A. 不是二次根式，不符合题意；     B. 是二次根式，符合题意；     C. 不是二次根式，不符合题意； D. 中，的取值不确定，不能确定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项不符合题意； B、，是二次根式，故此选项不符合题意； C、是二次根式，故此选项不符合题意； D、，不是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 地 城 考点08 利用二次根式的性质化简 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把非最简二次根式化简，再根据同类二次根式的概念求解． 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴与是同类二次根式的是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和二次根式的性质，逐一分析各选项的平方根与平方运算是否正确即可． 【详解】解：A．，故原选项计算结果错误，不符合题意； B．，故原选项计算结果错误，不符合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，故原选项计算结果错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的性质，需逐一验证各选项的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，根据二次根式的运算法则和性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A． ，运算正确． B． ，而选项结果为3，错误． C． ，结果错误． D． ，而选项结果为，错误． 故选A． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质进行化简． 要判断二次根式能否合并，需满足被开方数相同．将各选项化简后，观察是否与的被开方数一致． 【详解】解： 选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项B：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 选项C：，化简为，与的被开方数均为，是同类二次根式，可以合并． 选项D：，被开方数为，与的被开方数不同，无法合并． 故选C． 6．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数3是质数，无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数含分母2，需化简为，不满足条件②． 选项C：，0.2可写为，被开方数含分母5，需化简为，不满足条件②． 选项D：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不满足条件①． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 地 城 考点09 二次根式的混合运算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 三、解答题 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， 对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算； 对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可； 对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，二次根式的除法法则计算后再算乘法，最后算减法即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，明确算理是解决问题的关键． （1）先进行乘除运算，化为最简二次根式后，合并同类二次根式； （2）先运用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 5．（24-25八年级上·山西朔州·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的化简求值． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式单项式乘以多项式，再计算加减，最后将代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 当时，原式． 6．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和整体思想，掌握二次根式的混合运算，特别是分母有理化的方法是解题的关键． （1）采用分母有理化，结合二次根式的混合运算的法则，计算即可； （2）先利用分母有理化，结合二次根式的混合运算化简a和b，再利用完全平方公式变形求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ； ， =10． 故答案为：；10； （2）， ， ， 即 ， 又m是正整数，， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）根据二次根式的除法运算求解即可； （2）先运用平方差公式和二次根式除法计算，然后再加减运算即可； （3）运用完全平方公式计算及化简，然后合并同类二次根式即可 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根的性质以及二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式的除法和乘法，二次根式的性质化简，然后相加减即可求解； （2）根据，将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，时， ． 9．（24-25八年级上·山西忻州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 9．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法运算． （2）运用完全平方公式以及平方差公式展开，然后再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 9大高频考点概览 考点01 无理数的辨析 考点02 算术平方根、平方根、立方根 考点03 无理数的估算 考点04 实数的大小比较 考点05 实数与数轴 考点06实数的混合运算 考点07 二次根式有意义的条件 考点08 利用二次根式的性质化简 考点09 二次根式的混合运算 地 城 考点01 无理数的辨析 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各数：、0、、（每两个相邻5之间依次多一个0），其中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）下列四个数中，是无理数的是（　　） A． B．0.33 C． D．1 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列实数，，3.14159265，，，0.7272272227…（相邻两个7的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 算术平方根、平方根、立方根 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．9 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是 D．的算术平方根是3 5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 6．（山西省运城市2024-2025学年上学期期末测试八年级数学试卷）的平方根是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西运城·期末）﹣27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣3 8．（山西省临汾市侯马市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 二、填空题 9．（山西省晋中市太谷区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题）的平方根是 ． 10．（山西省晋城市阳城县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）4的平方根是 ． 11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）的立方根是 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 地 城 考点03 无理数的估算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）估计的值是在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 2．（21-22八年级上·山西运城·期末）估计1的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）比较大小： 4（用“”，“”或“”填空） 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，按此规定， ． 5．（24-25八年级上·山西运城·期末）写出一个无理数，满足，则的值可以是 ．（写一个即可） 地 城 考点04 实数的大小比较 一、填空题 1．（24-25八年级上·山西运城·期末）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 4．（24-25八年级上·山西临汾·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）比较大小：3 (填写“”或“”) 6．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 地 城 考点05 实数与数轴 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 2．（23-24八年级上·山西晋城·期末）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（　） A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为 ． 5．（24-25八年级上山西运城期末）如图，已知，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 地 城 考点06 实数的混合运算 一、解答题 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算：； 2．（24-25八年级上·山西晋城·期末）计算： 3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： ； 4．（24-25八年级上·山西运城·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 5．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算： 6．（24-25八年级上·山西长治·期末）计算： ． 7．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算：； 8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）计算： 9．（24-25八年级上·山西临汾·期末）． 地 城 考点07 二次根式有意义的条件 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西忻州·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 利用二次根式的性质化简 一、 单选题 1．（24-25八年级上·山西长治·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·山西长治·期末）计算： ． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 地 城 考点09 二次根式的混合运算 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 2．（24-25八年级上·山西朔州·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算：． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·山西朔州·期末）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 6．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求我们可以把和看成是一个整体，令，，则=这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： _______，_______； (2)m是正整数，，且，求m． 7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) (3) 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2)已知，，求的值． 9．（24-25八年级上·山西忻州·期末）计算： (1)； (2)． 9．（24-25八年级上·山西大同·期末）计算： (1)． (2)． 10．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）计算： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $