精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州岑巩县水尾镇初级中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考试题

水尾中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，先将化为一般式，再由一元二次方程根与系数关系得到，，即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数关系是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， ，， 故选：A． 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0 ∴k＜且k≠0， 故选D． 【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 【答案】A 【解析】 【分析】题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标． 【详解】解：可转化为， 与抛物线的顶点式对比， 可以得出，顶点坐标为 故选A． 【点睛】本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化． 5. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件． 根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，再根据二次项系数不能为零对m进行取舍． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得，整理得， 解得， ∵该函数为二次函数， ∴， ∴， ∴． 故选：B 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解： 即， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 设， ， 在中，， 解得：， 秋千绳索的长为， 故选：A． 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质． 11. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴对称轴直线为原点的右边， 当时，， ∴抛物线与轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C． 12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，取网格点D，连接， 由网格图，可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题（12分） 13. 已知点与点关于坐标原点对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标均互为相反数． 【详解】解：因为点与点关于坐标原点对称， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 故答案为：． 14. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． m是方程的一个根，即，然后再变形即可解答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即． 故答案为：． 15. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 16. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，求角的正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ， ， ， ∵，则， 设，则， ， 解得：或， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； 解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【小问1详解】 ∴ 解得，； 【小问2详解】 ∴或 解得，． 18. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1） 解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，即得出关于m的等式，解出m即可； （2）当时，原方程为，再利用因式分解法解该方程即可； （3）根据该方程有两个不相等的实数根，即得出其根的判别式，从而得出关于m的不等式，解出m的解集即可． 【小问1详解】 将代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 当时，原方程为． 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 ∵， ∴，，． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，解一元二次方程，由一元二次方程根的情况求参数．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值，解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 20. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 由函数图象可得当时，． 【小问3详解】 、， ． 设，则， ， ． ①当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 22. 如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离． 【详解】解：过点C作于M，过D作于N， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∵两人所走的路程相同， ∴即， 解得：； ∵， ∴ 即小区北门A与南门B之间的距离为． 23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，，或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【小问1详解】 解：直线，当时，． 当时，． ，， 将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴， ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 此时； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①若点P在x轴上方时，如图1， 根据题意得：，， ∴， ， ， 解得：，， ②若点P在x轴下方，如图2， ， 解得：，（舍） 的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 水尾中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＜ B. k＞﹣ C. k＞﹣且k≠0 D. k＜且k≠0 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. (1，0) B. (－1，0) C. (1，2) D. (－1，2) 5. 若二次函数的图象经过原点，则为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 已知点与点关于坐标原点对称，则点的坐标为______． 14. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于_______． 15. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图，若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 16. 如图，四边形为正方形，点E在边上，且，点F在边上，．若，则的值为____________． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若是该方程的一个实数根，求的值； （2）当时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 20. 如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． （1）求、值及顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 23. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线，经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的表达式； （2）若点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，设点P的横坐标为m，的长为l，请写出l关于m的表达式，当l取最大值时，求出点P的坐标； （3）若点P为抛物线上y轴右侧的一点，连接，是否存在点P使得，若存在，求出此时点P的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $