精品解析：四川省泸州市古蔺县德耀初级中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

德耀中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为( ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 5. 下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） A. B. C. D. 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，则两次降价的百分率为（　　） A. 30% B. 20% C. 10% D. 5% 7. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（    ） A. B. C. D. 10. 摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（12分） 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 15. 已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________． 16. 如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 18. 化简：（1-）÷（） 19. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 22. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 23. 如图，点E是正方形的边上一点，把顺时针旋转的位置． （1）旋转中心是点______，旋转角度是______度； （2）连结，则是______三角形； （3）若正方形边长为5，，求的长． 24. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德耀中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 3. 若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为． 故选：A． 4. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为( ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 5. 下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了二次函数 (a，b，c为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，a和b决定对称轴位置，c决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质判断即可． 【分析】解：∵抛物线， ∴，开口向上， ∴与其开口方向相同、形状相同，位置不同． 故选：A． 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，则两次降价的百分率为（　　） A. 30% B. 20% C. 10% D. 5% 【答案】C 【解析】 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得： 解得： 则． 故选：C． 【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 得到的抛物线解析式为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象的平移法则是解题的关键． 9. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知，可得，此时直线经过一，三，四象限，但考虑，因此抛物线和直线均经过点，因此A错误，B正确； C、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故C错误； D、二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线经过一、二、四象限，故D错误； 故选：B． 10. 摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，摄影小组一共有名学生，向本组其他成员各赠送一张，即每个人共送出张相片，全组合计赠送182张，所以可以列出方程为，正确理解题意是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 11. 如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能通过计算发现从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环是解题的关键． 根据所给旋转方式，依次求出所得直角三角形的顶点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 三角形①的直角顶点坐标为， 过点M作x轴的垂线，垂足为N， 因为点、， 所以该直角三角形的斜边长为：， 则， 解得， 所以， 则点M的坐标为， 即三角形②的直角顶点坐标为， 依次类推，三角形③的直角顶点坐标为，三角形④的直角顶点坐标为， 三角形⑤的直角顶点坐标为，三角形⑥的直角顶点坐标为，…， 由此可见，从三角形①开始，所得三角形的直角顶点的横坐标每旋转三次增加12，且纵坐标按0，，0循环． 又因为余1， 所以三角形⑩直角顶点的横坐标为：，纵坐标为0， 所以三角形⑩的直角顶点的坐标为． 故选：C． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即． 抛物线与y轴交于正半轴，则． ． 故①正确； ②∵抛物线开口向下， ． ∵抛物线的对称轴为直线， 时，， 而， 即， 故②正确； ③时，， 而 故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当时， 故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于的图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点的决定因素． 二、填空题（12分） 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 14. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 15. 已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由m，n是方程x2-x-2=0的两个根知m+n=1，m2-m=2，代入到原式=2（m2-m）-（m+n）计算可得． 【详解】解：∵m，n是方程x2-x-2=0的两个根， ∴m+n=1，m2-m=2， 则原式=2（m2-m）-（m+n） =2×2-1 =4-1 =3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，，x1x2=. 16. 如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，二次根式的性质和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 先根据绝对值、负整数指数幂、二次根式的性质、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 18. 化简：（1-）÷（） 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的，进行通分化简，然后根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 19. 如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为 ； （2）不等式的解集为 ； （3）若当时，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 22. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 23. 如图，点E是正方形的边上一点，把顺时针旋转的位置． （1）旋转中心是点______，旋转角度是______度； （2）连结，则是______三角形； （3）若正方形边长为5，，求的长． 【答案】（1）A， （2）等腰直角 （3）的长为 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质和正方形性质，及勾股定理的应用．解题的关键是掌握旋转的性质及勾股定理的应用． 根据把顺时针旋转到的位置，可得旋转中心是点A，旋转角度是； 根据旋转性质可得是等腰直角三角形； 求出，，用勾股定理可得的长． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ． 把顺时针旋转到的位置， 旋转中心是点A，旋转角度是． 故答案为：A，； 【小问2详解】 解：把顺时针旋转到的位置， ，． 四边形正方形， ． ， ． 是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； 【小问3详解】 解： 四边形正方形， ， 把顺时针旋转到的位置， ，． ， ． ，B，C共线， 正方形边长为5， ，． ， ． 的长为． 24. 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量与销售单价（元）满足如图所示的函数关系（其中） （1）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，设每天销售该特产的利润为元，则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当时，销售利润最大，最大为6480元 【解析】 【分析】（1）当时，可直接根据图象写出；当时，y与x成一次函数关系，用待定系数法求解即可． （2）销售利润，根据销售利润=每千克的利润×销售量，可得与的二次函数，再根据二次函数求最值的方法即可求出结果． 【小问1详解】 解：由图象知，当时，； 当时，设，将，代入得 ，解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，， 故答案为：. 【小问2详解】 解：当时，， ，， 当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 故答案为：当时，销售利润最大，最大为6480元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数．正确理解题意求出函数关系式、熟练掌握求二次函数的最值的方法是解题的关键． 25. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】（1） （2）点或或 （3）最大值为，此时点 【解析】 【分析】（1）用交点式确定函数表达式，即可求解； （2）分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； （3）设直线的表达式为：，根据待定系数法确定的表达式为：，设点坐标为，则点，利用，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由①得， 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 将点B、C代入得：， 解得， ∴的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，此时点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $