广东省深圳科学高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

深圳科学高中2025-2026学年第一学期期中考试试题 科目：高二数学考试 时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：卞上 审题人：李秀辉 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则为（ ） A. 1 B. C. D. 3. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 6. 已知数据，，，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 若，则数据，，的第80百分位数为15 D. 方差变小 7. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 8. 古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上的最小值为 C. 点是图象的一个对称中心 D. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与平面所成角的正弦值为 B. 直线与直线所成角为 C. 直线与直线是异面直线 D. 平面截正方体所得的截面面积为 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 13. 已知抛物线：的焦点为，圆与交于点，，则______. 14. 如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，、分别为、的中点，则点A到平面的距离为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）记的中点为，若，且，求的周长． 16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 17. 已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． （1）求双曲线E的方程； （2）设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 18. 如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足，，将沿折起到的位置，使，是的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，离心率为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 深圳科学高中2025-2026学年第一学期期中考试试题 科目：高二数学考试 时长：120分钟 卷面总分：150分 命题人：卞上 审题人：李秀辉 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】1 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）16. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）可知，设，． 因为C、D与A、B不重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，， 所以，，， 所以， 即为定值． 【18题答案】 【答案】（1）证明： ，， ， ， 又，， 折叠后， ， 平面， 平面，， 又，平面， 平面． （2） （3）存在，或 【19题答案】 【答案】（1） （2）①；②存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $