精品解析：黑龙江省大庆市杜尔伯特蒙古族自治县三校2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

七年级月考数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列各组线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5 C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝，b＝，c＝ 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 6. 已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB＝5，BC＝6，OE＝2，那么四边形EFCD周长是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 9. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. （）ncm2 10. 如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE=BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF=S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（30分） 11. 计算：(1)=______；(2)=______；(3) =______． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_____，b＝_____． 13. 平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B=_____，DC=_____cm． 14. 如图，□ABCD中，E，F分别为AD，BC 边上的一点．若再增加一个条件__________________，就可得BE=DF． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则_______． 16. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2． 17. 如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为__________． 18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于______     19. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 三、解答题（72分） 20. 计算：(1) ； (2) ． 21. 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求□ABCD的面积． 22. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长为4，3，； （2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6． 24. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 25. 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为正方形． 26. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE； （2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由． 27. 已知：矩形中，cm，cm，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O． （1）如图①，连接、，求证：四边形为菱形； （2）求的长； （3）如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当t为何值时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 28. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级月考数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 2. x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误； B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误； C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误； D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质对B、D进行判断；根据分母有理化对C进行判断；根据二次根式的加减法对A进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项不正确； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项正确； D、，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及其化简，熟练掌握相关性质和法则是解答此题的关键． 4. 下列各组线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝，b＝4，c＝5 C. a＝，b＝1，c＝ D. a＝，b＝，c＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵，， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 5. 若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案． 【详解】解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°， 则x+3x=180， 解得：x=45°， ∴其中较小的内角是45°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补． 6. 已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．首先化简二次根式进而得出的最小值． 【详解】解：是整数， 最小正整数的值是：5． 故选：D 7. 如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3， ∴AB=5cm， ∴S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH， ∴DH=． 故选C． 8. 如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB＝5，BC＝6，OE＝2，那么四边形EFCD周长是（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC＝6，AB＝CD＝5，OA＝OC，AD∥BC，推出∠EAO＝∠FCO，证△AEO≌△CFO，推出AE＝CF，OE＝OF＝2，求出DE＋CF＝DE＋AE＝AD＝6，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝5，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴AE＝CF，OE＝OF＝2， ∴DE＋CF＝DE＋AE＝AD＝6， ∴四边形EFCD的周长是EF＋FC＋CD＋DE＝2＋2＋6＋5＝15 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出DE＋CF的长和求出OF长． 9. 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. （）ncm2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2． 故选：B． 【点睛】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 10. 如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE=BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF=S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：意知，∵点F是CD的中点，∴DF=CF， 又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM， ∴△ADF≌△MCF， ∴CM=AD=AB， ①正确； 设正方形ABCD边长为4， ∵CE=BC=1， ∴BE=3， ∴AE=5， ∴AE=AB+CE， ②正确； EM=CM+CE=5=AE， 又∵F为AM的中点， ∴EF⊥AM， ④正确， 由CF=2,CE=1得EF=， 由DF=2,AD=4得AF=， ∴S△AEF=5， 又S△ADF=4， ∴S四边形ABCF=S□ABCD−S△ADF=12， ③不正确， 故正确的有3个，选C. 点睛：正方向的对角线不仅相等，垂直，互相平分，而且每条对角线平分一组对角；涉及到中点时，要考虑三角形的中位线的性质；由“点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M”知AD=CM，即AB=CM，由边长关系可知AE=EM，F为中点知，EF⊥AM，再根据面积S四边形ABCF=S□ABCD-S△ADF得面积关系． 二、填空题（30分） 11. 计算：(1)=______；(2)=______；(3) =______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法公式：和除法公式计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的乘法公式：和除法公式是解决此题的关键． 12. 最简二次根式与是同类二次根式，则a＝_____，b＝_____． 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【详解】解：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，因此，根据最简二次根式与是同类二次根式，得 解得： 故答案为：1；1． 【点睛】本题考查同类二次根式． 13. 平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B=_____，DC=_____cm． 【答案】 ①. 130° ②. 30 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，DC=AB=30cm， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A=50°， ∴∠B=130°． 故答案为130°，30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边的性质是解题的关键． 14. 如图，□ABCD中，E，F分别为AD，BC 边上的一点．若再增加一个条件__________________，就可得BE=DF． 【答案】DE=BF（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：可添：DE=BF（答案不唯一）. ∵四边形EBFD为平行四边形， ∴DE∥BF. ∵DE=BF，DE∥BF， ∴四边形EBFD为平行四边形. ∴BE=DF． 故答案为DE=BF（答案不唯一）． 15. 如图，在正方形的外侧，作等边，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了正方形和等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是关键．根据正方形和等边三角形的性质得到，，得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 16. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵E是AB的中点， ∴AE=1， ∵DE丄AB， ∴DE=． ∴菱形的面积为：2×=2． 故答案为2． 17. 如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，点的纵坐标与点的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标． 【详解】解：，， ， 为平行四边形， ，， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为， 故答案为：． 18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于______     【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，作于，根据平行四边形的面积等于矩形面积的一半，得出，取的中点，连接，由直角三角形的性质得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， 则， 根据题意得，平行四边形的面积， ， 取的中点，连接，则， ， 为等边三角形， ， ， ∵， ∴ 即这个平行四边形的最大内角等于， 故选：． 19. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】 解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， AB=cm； 如图2所示，AB=cm， 如图3所示，AB= cm， ∵ ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故答案为 【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 三、解答题（72分） 20. 计算：(1) ； (2) ． 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法公式：和合并同类二次根式法则计算即可； （2）二次根式的乘法公式：、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解：（1） = =0 （2） = = = 【点睛】此题考查的是二次根式的加减运算，掌握二次根式的乘法公式：、除法公式和合并同类二次根式法则是解决此题的关键． 21. 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求□ABCD的面积． 【答案】48 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得BC=AD=8，然后根据垂直的定义可得∠ACB=90°，再利用勾股定理即可求出AC，最后利用平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴BC=AD=8 ∵AC⊥BC ∴∠ACB=90° 在Rt△ACB中，AC==6 ∴S□ABCD=BC·AC=48 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、勾股定理和求平行四边形的面积，掌握平行四边形的对应边相等、利用勾股定理解直角三角形和平行四边形的面积公式是解决此题的关键． 22. 已知：如图，的对角线，相交于O，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵的对角线，相交于O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 23. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形． （1）三角形三边长为4，3，； （2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6． 【答案】 （1）图（1）即为所求； （1）图（2）即为所求． 【解析】 【分析】（1）4在网格线上，3是直角边为3的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边； （2）先构造一个直角边为2的等腰直角三角形，以此为基础再构造平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理，在格点中，可结合网格中的直角构造直角三角形，一般有理数可用网格线表示，无理数可表示为直角三角形的斜边，勾股定理确定它的两条直角边． 24. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 25. 如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　　　　时，四边形EFGH为正方形． 【答案】 （1）证明：如图，连接BD． ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD， ∴EH∥FG且EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD． 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，从而得到EH∥FG且EH=FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）连接AC，同理可得EF∥AC且EF=AC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答． 【详解】（1）略 （2）连接AC， 同理可得EF∥AC且EF=AC， 所以，AC=BD时，四边形EFGH为菱形； AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形； AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形． 故答案为：AC=BD；AC⊥BD；AC=BD且AC⊥BD． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定和正方形的判定． 26. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE； （2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由． 【答案】 （1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°． ∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°． ∴∠ABE=∠DAF． ∵在△ABE和△DAF中，， ∴△ABE≌△DAF（ASA）． ∴AF=BE． （2）MP与NQ相等， 理由：作AF∥PM，BE∥NQ， ∵正方形ABCD， ∴AM∥FP，BN∥EQ， ∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形， ∴AF=MP，BE=NQ， 又∵MP⊥QN， ∴BE⊥AF， ∵（1）结论知AF=BE， ∴MP=NQ． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可． （2）作AF∥PM，BE∥NQ，则四边形AMPF、BNQE都是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ． 【详解】略 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 27. 已知：矩形中，cm，cm，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O． （1）如图①，连接、，求证：四边形为菱形； （2）求的长； （3）如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点P自停止，点Q自停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当t为何值时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点E、F，垂足为O， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，则，再由相等垂直平分线的性质得到，证明，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形性质得出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得：，求出方程的解即可； （3）分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ ∵四边形是矩形， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：显然当P点在上时，Q点在上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在，Q在时不构成平行四边形， ∴只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴，， ∴， 解得：． ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握勾股定理，作出相应的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 28. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF. (1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE； (2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由． 【答案】 （1）证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABF和△ADF中, ∴△ABF≌△ADF(SAS)， ∴∠AFB=∠AFD， ∵∠CFE=∠AFB， ∴∠AFD=∠CFE， ∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=CD， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD 【解析】 【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可； （2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等； （3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可． 【详解】(1)略． (2)略． (3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， ∵CF=CF， ∴△BCF≌△DCF， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°， ∴∠BCD=∠EFD. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $