精品解析：江苏省连云港市 灌云县城西实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

江苏省连云港市 灌云县城西实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 3. 如果将抛物线，向下平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 6. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知点，，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 12. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 14. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 15. 在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： 则表中的值是______． 16. 如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为__________． 三、解答题（72分） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 18. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 19. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 20. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 21. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，其中点的坐标为． （1）若点的坐标为，求证：； （2）当时，，且对于该二次函数图象上任意两点，，当时，总有，求该二次函数的解析式． 23. 【知识回顾】 （1）如图1，AB是的弦，，的最大值为__________cm，C是上一点，若，则__________（用含的代数式表示）． 【知识运用一】 （2）如图2，有一块形状为的湿地，其中，是一条步道，用测角仪器测得，现在研究人员要在步道上找一个观测点E，使得，请在图中找到符合要求的点E，并求出此时的长． 【知识运用二】 （3）某工人计划从一块半径为的圆形木板中裁剪出一块四边形木板，要求四边形的四个顶点A，B，C，D均在圆上，且四边形的周长最大．如图3，已知该工人已经裁剪出了，其中，．若C是右侧圆上一点，请通过说理，确认C的具体位置，并求出四边形周长的最大值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B是y轴正半轴上的一点，，C是x轴正半轴上的一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． （1）求点B的坐标； （2）连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，点D的坐标是，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省连云港市 灌云县城西实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形变换中的“旋转”，理解旋转的概念是解题关键． 根据旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形称为旋转，旋转前后两个图形形状和大小不变，即可判断． 【详解】解：A选项中，可看作“基本图案”经过旋转得到，符合题意； B选项中，可看作“基本图案”经过轴对称得到，不符合题意； C选项中，可看作“基本图案”经过平移缩放得到，不符合题意； D选项中，可看作“基本图案”经过平移得到，不符合题意． 故选：A． 2. 经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：经过有交通信号灯的路口遇到绿灯，这个事件是随机事件， 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． 3. 如果将抛物线，向下平移1个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选B． 4. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由点与圆的位置关系可知，的半径，进而可得出结果． 【详解】解：由点与圆的位置关系可知，的半径 故选D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 5. 若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程定义及方程中未知数的最高次数为2，可得，由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， 故选：B 6. 某款手机连续两次降价，售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于580即可． 解答：解：依题意得：第一次降价的手机售价为：1185（1-x）元， 则第二次降价的手机售价为：1185（1-x）（1-x）=1185（1-x）2=580； 故本题选B． 7. 如图，在的正方形网格中，是由绕某点旋转一定的角度得到的，G，H，P，Q都在网格线的交点上，则其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质．根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：绕点H逆时针旋转得到． 故选：D． 8. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据旋转的性质得到，，，，则可判断和都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，所以，从而得到，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 10. 已知点，，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象与性质． 【详解】解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，，且， ∴点到对称轴距离：，点到对称轴距离：，点到对称轴距离：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点离对称轴的距离最近，点次之，点距离最最远， ∴， 故选：． 11. 如图，是的半径，弦于点D，，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，判断点与圆的位置关系．利用垂径定理求出半径的长，比较的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点在内； 故选：A． 12. 福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为， 根据题意，得． 故选：C． 二、填空题（12分） 13. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，解得：， ∴方程的另一个根是， 故答案为：． 14. 如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： 则表中的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由表可知当时，，当时，；当时，，当时，，从而得出抛物线的对称轴为直线，然后求出的值即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 又当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，C，D在上，若，则的度数为__________． 【答案】##111度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．连接，根据等腰三角形的性质得，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）把向下平移5个单位后得到对应的，画出，并写出点的坐标； （2）以原点O为对称中心，再画出与关于原点O对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图：即为所求． ， 点的坐标为． （2） 如图：即为所求．点的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移变换、中心对称变换等知识点，掌握平移变换和中心对称变换的定义是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可，并直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】略 19. 某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题． （1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度； （2）请补全条形统计图； （3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率． 【答案】（1）200，72；（2）补全条形图如下：（3）． 【解析】 【分析】（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可； （2）求出C组的人数即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率． 【详解】解：（1）本次调查的学生人数为（名， 扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是， 故答案为：200；72； （2）选项的人数为（名， （3）画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个， 甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图． 20. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 【答案】 （1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）BD=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=． 【详解】（1）略 （2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF=， ∴S△ABF=， 即4×2=2BD， ∴BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 21. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手到陆的过程中，它的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系． 小明进行了两次掷实心球训练． （1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 根据上述数据， ①实心球竖直高度的最大的值是________m； ②求出函数解析式________； （2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，记第一次训练实心球的着陆点的水平距离为，第二次训练实心球的陆点的水平距离为，则________（填“”，“”或“”） 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，读懂题意是解题的关键． （1）①根据表中的数据找出顶点坐标即可； ②用待定系数法求函数解析式； （2）分别将代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和进行比较即可． 【小问1详解】 解：①根据表格中的数据可得竖直高度的最大值是， 故答案为：； ②由①可知，顶点坐标为， 故函数关系为， 把代入得， ， ， 故函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数解析式为， 当时，（负值舍去）， ， 在中， 令得， 解得（负值舍去）， ， ， ． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，其中点的坐标为． （1）若点的坐标为，求证：； （2）当时，，且对于该二次函数图象上任意两点，，当时，总有，求该二次函数的解析式． 【答案】（1） 证明：由题意，∵，在二次函数的图象上， ∴、是方程的两根， ∴，， ∴，代入中， ∴，，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入解析式即可解题； （2）据题意，当时，，又，得到或，从而分类讨论计算得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 又∵，∴或， 当时，将、代入抛物线解析式，有： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：，开口向上，对称轴为直线， 此时满足时，总有； 当时，将、代入抛物线解析式，有： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为：，开口向上，对称轴为直线， 此时不满足时，总有； ∴二次函数的解析式为：． 23. 【知识回顾】 （1）如图1，AB是的弦，，的最大值为__________cm，C是上一点，若，则__________（用含的代数式表示）． 【知识运用一】 （2）如图2，有一块形状为的湿地，其中，是一条步道，用测角仪器测得，现在研究人员要在步道上找一个观测点E，使得，请在图中找到符合要求的点E，并求出此时的长． 【知识运用二】 （3）某工人计划从一块半径为的圆形木板中裁剪出一块四边形木板，要求四边形的四个顶点A，B，C，D均在圆上，且四边形的周长最大．如图3，已知该工人已经裁剪出了，其中，．若C是右侧圆上一点，请通过说理，确认C的具体位置，并求出四边形周长的最大值． 【答案】（1）8，；（2）；（3）四边形的周长最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据直径是最大的弦即可得解，再利用圆周角定理可求出，结合等腰三角形和内角和即可求解； （2）依题意以A为圆心，为半径作，与的交点即为点E， 延长交于F，连接，再利用勾股定理求出即可； （3）易得，延长至E，使得，连接，，证，可得，，由勾股定理可得，进而即可得解． 【详解】（1）解：当为直径时最大，此时， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：8，； （2）解：如图，以A为圆心，为半径作，与的交点即为点E， 延长交于F，连接， ∵是的半径，， ∴是的直径，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是圆的直径， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 延长至E，使得，连接，， 由题意知，四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长， 当是直径，即时，四边形的周长最大， ∴四边形的周长最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，B是y轴正半轴上的一点，，C是x轴正半轴上的一点，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． （1）求点B的坐标； （2）连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，点D的坐标是，求m的值． 【答案】（1）点B的坐标为 （2） 解：三条线段之间的数量关系是，理由如下： 过点A作，且使得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题易得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得即可得解； （2）过点A作，且使得，易得是等边三角形，，利用勾股定理即可得解； （3）在y轴负半轴上取点E，使得，连接，过点D作轴于F，证，，进而可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在y轴负半轴上取点E，使得，连接，过点D作轴于F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵点D的坐标是， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含有的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $