2.7.2 抛物线的几何性质-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

2.7.2 抛物 学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、 离心率等几何性质 2.会用抛物线的几何性质解决一些简单 的抛物线问题， 3.培养直观想象核心素养 要点精析 川要点1抛物线的几何性质 标准 y2=2px y2=-2px x2-2py x2=-2py 方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 图形 单 范围 x≥0， x≤0， x∈R, x∈R, y∈R y∈R y≥0 y≤0 对称 性 轴 x轴 y轴 质 顶点 (0.0) 离心 率 e=1 思考怎么理解抛物线与椭圆、双曲 线几何性质的不同点？ 例1已知抛物线顶点在原点，对称轴 是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3，求 抛物线的标准方程. 第二章平面解析几何。 线的几何性质 分析关键是知道抛物线标准方程中p 的几何意义 P变式训练① 已知边长为1的等边三角形AOB,O为 原点，AB⊥x轴，求以O为顶点且过A,B 的抛物线的标准方程. 例2若抛物线y2=2px(p>0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点 M的横坐标和p的值分别为 B变式训练2 已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的 焦点为F,射线FA与抛物线C相当于点M, 与其准线相交于点N,则IFM:MNI=() A.2:V5 B.1:2 C.1:V5 D.1:3 学(99 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 例3已知抛物线的顶点在坐标原点， 对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共 弦长等于2V3,求这条抛物线的方程， B变式训练③ 过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 V3的直线交C于点M(M在x轴的上方)， l为C的准线，点N在l上，且MN⊥L,则 M到直线NF的距离为() A.V5 B.2V2 C.2V3 D.3V3 I要点2抛物线y2=2px(p>0)的焦点 弦的性质 1.焦半径 (1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任 意一点与抛物线焦点为端点的线段， (2)抛物线的焦半径公式：P(o,yo) 为抛物线上一点，F为焦点。 ①若抛物线为y2=2px(p>0),则IPF= xot ②若抛物线为y2=-2px(p>0),，则IPF= 号-o时 ③若抛物线为x2=2py(p>0),则1PF= (100学 ④若抛物线为x2=-2py(p>0),则PF= 5 2.如图2-7-1所示，抛 物线C:y2=2px(p>0)的准 线为l,焦点为F,1与x轴 交于点K,过F的直线'交 C于A,B两点，AM⊥1于 点M,BN⊥I于点N,设 图2-7-1 AB中点为P,PQ⊥1于点Q,设A(x,y), B(2,),证明下列结论： （①）=，03-p (2)MF⊥NF; (3)以焦点弦AB为直径的圆与准线1 相切； (4)以焦半径AF或BF为直径的圆与y 轴相切； (5)A,O,N三点共线，B,0,M三 点共线； (6)∠AKF=∠BKF 证明：()由题意，下号，0，= 芬劳因为代A,B三点我线， 所以k=k,故1一=2 从而x02号2=a1-21, 所以x03x=号(， 所以g0》=5（0. 2p 显然y1≠y2,所以y02=-p2, x=若g=业2-22」 2p2p 2p 4 (2)由题意，M-,n,N-号，， 所以kk=Y0.2-0=g= PPPpP- -2-2-2-2 君=-L,放MFLNE (3)由题意，PQ是梯形ABNM的中位 线，所以PQ=号(M+BM)=?(MA+BA) =)MB1,从而AQ1BQ,故以AB为直径的 圆与直线1相切. (4)由题意，AF中点为T2+,之， MF=x+?,所以点T到y轴的距离d=多+ 冬}4A,散以AF为直径的圆与y轴相 切，同理可得以BF为直径的圆也与y轴相切. (5)kam=业=兰=2，k=2=-22 x yi y 2p 2 因为yw=-p2,所以y=-卫 2.-p2} 从而kN=- =2卫=k,所以A, O,N三点共线，同理可证B,O,M三点也 共线， (6)由题意，K-,0, 所以k+h队=当+2 +号+号 第二章平面解析几何。 =,1—+,2一=2py+2p2 i+2+2+p+p 2p22p+2 =2py 2p·-p2 =2py+-2p4 yitp2 为p2**p所 -p22 =0 从而直线AK和BK关于x轴对称，故 ∠AKF=∠BKF 例4A,B是抛物线2=2px(p>0)上 的两点，且OA⊥OB.(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积， 纵坐标之积，分别都是定值； (2)直线AB经过一个定点； (3)求O在线段AB上的射影M的轨迹 方程. 图2-7-2 B变式训练④ 已知AB是抛物线2x2=y的焦点弦，若 AB=4,则AB的中点的纵坐标为 学(101 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 数学文化 例抛物线具有这样的 光学性质：由其焦点射出的 光线经抛物线反射后，沿平 行于抛物线对称轴的方向 图2-7-3 射出.今有抛物线y2=2px p>0),一光源在点M生，4处，由其发出的 光线沿平行于抛物线对称轴的方向射向抛物 线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q, 再反射后，又沿平行于抛物线对称轴的方向 射出，途中遇到直线1：2x-4y-17=0上的点 N,经反射后又射回点M(如图2-7-3所 示) (1)设P,Q两点坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),求证：y0y2=-p2; (2)求抛物线的方程. 102学高中数学选择性必修第一册人教B版 设抛物线方程为2=-2py(p>0),由题意可知点 B(4,-5)在抛物线上，放p=受，得乌，当船面 两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 A4,则A(2,小，由2六乌，得y=各.又知船面 露出水面上的部分高为0.75m,.h=yal+0.75=2（(m). .水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始 不能通航 2.7.2抛物线的几何性质 要点精析 例1解：由顶点与焦点的距离等于3，∴号=3，P=6. 又对称轴是y轴，.抛物线的标准方程为x2=±12y. 变式训练1解：当抛物线焦点在 y x轴正半轴上时，如图所示， △OAB为等边三角形，且边长为 0 1,43,.设抛物线方程 2,2 为-2pxp>0).-2即 变式训练1答图 2 p=V3 12 ，抛物线方程为了x同理，当抛物 6 线的焦点在x轴负半轴上时，方程为广-V3: 6 例2118或92【解析】点M到对称轴的距离为 6,.不妨设M(0,6). 点M到准线的距离为10， 6-2pxo, +号=10.解得 或 p=2 p=18 2 变式训练2C【解析】由抛物 线定文知Wn-W,w ，又△MHIN~△FOA, IMHI ™方 变式训练2答图 则MHM:MNM=1:V5, 即IMA:MNM=1:V5,故选C. 例3解：如图所示，设所求抛物线 的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px (p>0)·设交点A(x,y),B(x2,y2) (y>0,y2<0),则ly+ly2l=2V3,即 y1-y2=2V3.由对称性知y2=-少1， 例3答图 58 =V3.将y=V3代人x2+y2-4得 x=±1，∴.点(1，V3),(-1,V3)分别在抛物线 2p,广-2x上3=20或3(-2px-1),p=号，放 所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x 变式训练3C【解析】抛物线y=4x的焦点F(1,0), 准线方程=-1，由直线方程的点斜式可得直线MF的方 程为y=V3(x-1), 联立=V3(-1). y2-4x, 解得。 =3, 或 =25. 变式训练3答图 点M在x轴的上方，M(3,2V3), MW⊥l,∴.N(-1,2V3), N=V(1+1)2+(0-2V3)2=4, MA=lMN=V(3+1)2+(2V3-2V3)2=4, ∴.△MNF是边长为4的等边三角形. ·.点M到直线WF的距离为2V3.故选C 例4证明：(1)设A(x,y),B(x22),则y=2px1, y=2px2,0A LOB,.xyy2=0. y7=(2px1·(2p2)=4p2xx2=-4pyy2 y0y2≠0，y02=-4p2为定值，x2=-y2=4p2也是 定值. (2)y片-=(y2+y1)(y2-)=2印(x-)*. ①当x=时，x=x2=2印，且x2=4p2有直线AB方程 为x=2p,即直线AB过定点(2印，0)； ②当1≠时，由*式，1=2卫 x2-x1 y+y2 :yy=2x-)=2（x-) yty2 h+22p, =2px+出 yi+y2 yi+y2 =2卫x-4p=2(x-2p), yi+y2 y+y2 yrty2 .直线AB过定点(2印，0)· (3)设AB过定点P(2p,0),由OM⊥MP, .∠OMP=90°，知点M的轨迹是以OP为直径的圆. .点M的轨迹方程为(x-p)2+y2=p2(x≠0). 变式训练4点【解析】设AB的中点为P(0,O,分 Q 别过A,P,B三点作准线的垂线，垂足分别为A',Q, B.由题意得AA'+BB1=MB=4,PO=MA'+BB1=2.又 2 0+g,o+82,解得5 数学文化 (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F号，0)，当直线PQ的斜率存在 时，设直线P0的方程为kx号).① 由①式，得=名+号，将其代人抛物线方程产 2p中，整理得)入架-2-0.由根与系数的关系得y0 p2 当直线PQ的倾斜角为90°时，将x=代人抛物线方 程，得y=却，同样得到yy=p (2)解：：光线QN经直线1反射后又射向M, 直线MN与QwN关于直线1对称，设点M生，4关于1 y-4x=-1, x'-412 4 的对称点为M(x',y),则 '441 2x24417-0. 2 x51 解得 4· y=-1. 直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y=-1.由题 设知P点的纵坐标1=4，且由(1)知y02=-p2,则4× (-1)=-p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x. "2.8直线与圆锥曲线的位置关系 要点精析 例1解：抛物线焦点F(2,0),设1：y=k(x-2)与抛物 线方程联立，消去Y得k2x2(4h2+8)x+4h2-0. 设点A(x,),B(,2）,则+=4+ 2,2=4, ty=6-4=及 yy=k2[x2-2(x1+2)+4]=-16. 又.MA.MB=(x+2,y-2)·(+2,2-2) =(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2) =xx2+2(x+)+y02-2(y1+y2)+8=0, 即k2-4k+4=0,解得k=2. 变式训练1C【解标】双南线若茶-1的新近线方程 参考答案⊙ 为y=±名x,y=2+1与渐近线相切，放41±么x=0只 有一个实根，：40，即4=0，：c一4=4，e2=5, 2 ∴e=V5,故选C. 例2解：设切线斜率为k,则切线方程y-2=k(x-2), 联立方程组 -2=k(x-2),可得-2y-4+4-0,则△- y2-2x, 4←4k(-4+4)0,解得长=之即切线方程为)-2=红 2),故切线1的方程为x-2y+2-0. 变式训练2C【解析】由双曲线的几何性质可知，当直 线与渐近线平行时，直线1与C有唯一公共点，由于双 曲线的渐近线方程为y=±号x,故直线1的方程为 分-2)或=x-2).即y分-1或y=分+1.放 选C 例3解：由题知，设1方程为 y=kx+b,其中k<0,b>0. 由题知，r一冬，⅓b y=kx+b, 联数 例3答图 得(1+2k2)2+4kbx+2b-6=0，,xt-1+2 4kb 由lMA曰HNB可知xM一x=xg,故x+xg=x1, 即-4b=-么，解得k=-Y2.又由MN=2V3, -1+226 2 可得+-l2器4.于是6-2 经检袋知，，b2时，直线与药圆相交， 所以1的方程为=-竖42 变式训练3解：(1)：点P到两定点F,F的距离之 和为4，大于两定点间的距离1FF=2, 点P的轨迹是以F,F为焦点的椭圆，设其方程 为号年-1o60. 则2a=4,2c=2,即a=2,c=1,b=V3,.点P的 轨迹方程为心+上=1. 4+3 2设4，m6.段立导+号-1， y=x-1, 59