课时测评19　圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评19　圆与圆的位置关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－3)2＋(y＋4)2＝16，则圆O1与圆O2的位置关系为(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 答案：A 解析：圆O1的圆心为(0，0)，半径等于1，圆O2的圆心为(3，－4)，半径等于4，所以两圆圆心距为＝5，恰好等于它们的半径之和，所以两个圆外切．故选A. 2．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：D 解析：x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D. 3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．3x－y－9＝0 C．x＋3y＝0 D．4x－3y＋7＝0 答案：C 解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0. 4．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 答案：A 解析：圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1，0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0. 5．(多选)若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)与圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)相切，则实数a的值为(　　) A．±3r B．±r C．±4r D．±2r 答案：AB 解析：圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(a，0)，半径为r，圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为2r.当两圆外切时，有|a|＝3r，此时a＝±3r(r>0)；当两圆内切时，有|a|＝r，此时a＝±r(r>0)．综上，当a＝±3r(r>0)时两圆外切；当a＝±r(r>0)时，两圆内切．故选AB. 6．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________． 答案：4a2＋b2＝1 解析：圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.圆心坐标为(0，b)，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以＝2－1＝1，整理得4a2＋b2＝1. 7．已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝4和x2＋y2＝4相交于M，N两点，则|MN|＝________． 答案：2 解析：由题意可知直线MN方程为：(x＋2)2＋(y－2)2－x2－y2＝0，即MN：x－y＋2＝0. 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径r＝2， 则圆心(0，0)到x－y＋2＝0的距离d＝＝. 所以|MN|＝2＝2×＝2. 8．(一题两空)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则实数m＝________，线段AB的长度为________． 答案：±5　4 解析：如图所示，在Rt△OO1A中，由已知条件知|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝＝5，即|m|＝5，所以m＝±5.又AB⊥OO1，所以|AC|＝＝2.故|AB|＝4. 9．(10分)a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0. (1)外切；(2)相交． 解：将两圆方程写成标准方程． C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a，－2)，r1＝3；C2(－1，a)，r2＝2. 所以r1＋r2＝5，|r1－r2|＝1. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2. (2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. 10．(10分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)． 即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6.所以D(－1，1)或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11．(5分)(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 答案：ABD 解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．故选ABD. 12．(5分)如图，已知点A为圆O：x2＋y2＝9与圆C：(x－5)2＋y2＝16在第一象限内的交点．过A的直线l被圆O和圆C所截得的弦分别为NA，MA(M，N不重合)，若NA＝MA，则直线l的方程是________________． 答案：y＝x＋ 解析：由方程组得A.设OC的中点为S，则S.令AN的中点为D，AM的中点为E，连接OD，CE，则OD⊥AN，CE⊥AM，故OD∥CE.所以四边形CEDO是直角梯形．因为NA＝MA，所以DA＝EA，即A是线段DE的中点．所以SA∥OD，从而SA⊥MN.又kMN＝－＝，所以直线l的方程为y＝＋＝x＋. 13．(10分)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 解：(1)由已知得O1(0，－1)，O2(2，1)， 则|O1O2|＝2.因为两圆外切， 所以|O1O2|＝r1＋r2，所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2， 故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. 两圆的方程相减， 即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程： 4x＋4y＋r－8＝0.① 作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝， |O1H|＝＝＝. 即圆心(0，－1)到直线①的距离为＝， 得r＝4或r＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 14．(5分)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：2＋2＝r2 (r>0)上存在点P，且点P关于直线x＋y－1＝0的对称点Q在圆 C2：x2＋2＝9上，则r的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(2，8) D．[2，8] 答案：D 解析：C1：2＋2＝r2圆心坐标C1，设关于直线x＋y－1＝0的对称点为，由可得所以圆C1：2＋2＝r2关于直线x＋y－1＝0对称圆的方程为C0：2＋y2＝r2，则条件等价为C0：2＋y2＝r2与C2：x2＋2＝9有交点即可，两圆圆心为C0，C2(0，－4)，半径分别为r，3，则圆心距＝＝5，则有≤5≤r＋3，由≤5得－2≤r≤8，由r＋3≥5得r≥2，综上可知2≤r≤8，所以r的取值范围是.故选D. 15．(15分)已知动点P与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围． 解：(1)设P(x，y)， 则|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2， 所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)， 整理得(x＋1)2＋y2＝4. 所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)因为点Q的坐标为(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，所以，圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2. 因为圆Q与圆C有公共点，又圆Q与圆C的两圆心距为 |CQ|＝ ＝， 所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t， 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2， 解得－3＋2≤t≤3. 所以，实数t的取值范围是[－3＋2，3]． 学生用书↓第75页 学科网（北京）股份有限公司 $