课时测评18　直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评18　直线与圆的位置关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 答案：B 解析：因为圆心到直线的距离d＝＝<1，直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，所以直线与圆相交但直线不过圆心． 2．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　) A．4x－3y－6＝0 B．4x－3y＋6＝0 C．4x＋3y－6＝0 D．4x＋3y＋6＝0 答案：B 解析：设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线的距离为半径2，即＝2，所以m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，故选B. 3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D． 答案：AB 解析：由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 4．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　) A． B．∪ C． D．∪ 答案：B 解析：由题意可知曲线C1：x2＋y2－2x＝0表示一个圆，化为标准方程得(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.C2：y(y－mx－m)＝0表示两条直线y＝0和y－mx－m＝0. 由直线y－mx－m＝0可知，此直线过定点(－1，0)，在平面直角坐标系中画出图象如图所示．直线y＝0与圆相交于点(0，0)和(2，0)，因此直线y－mx－m＝0与圆相交即可满足条件．当直线y－mx－m＝0与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝r＝1，求得m＝±.而m＝0时，直线方程为y＝0，不合题意，故直线y－mx－m＝0与圆相交时，m∈∪.故选B. 5．(多选)给出下列条件，能使直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交的条件是(　　) A．2a2＋2b2＝c2 B．3a2＋3b2＝c2 C．a2＋b2＝c2 D．4a2＋4b2＝c2 答案：ABC 解析：由直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交得<2，即c2<4(a2＋b2)，选项A、B、C均满足c2<4(a2＋b2)，而D项是相切的条件，故应选ABC. 6．(2024·山东东营高二质量监测)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点，若＝2，则m的值为________． 答案：1 解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0变形为2＋2＝5－m，故5－m>0，解得m<5，故圆心为C，半径为，设圆心C到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d＝＝，由垂径定理得2＝2，解得m＝1，满足要求． 7．过点P(0，2)的直线l与圆C：x2＋y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5 ，则直线l的方程是____________． 答案：y＝±x＋2 解析：如图，圆C：x2＋y2＝32的半径为4 ，所求直线过点(0，2)，当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5 ，则O到l的距离为 .所以 ＝ ，解得k＝±1.所以直线l的方程是y＝±x＋2. 8．(一题两空)过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为________，此时△PAB的面积为________． 答案：1　 解析：依题意作出图象，如图．因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A，所以PA⊥OA，所以PA＝＝ ，要使得PA最小，则OP要最小．由题可得，OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离d＝＝.此时，PAmin＝＝＝1，故∠OPA＝.由切线的对称性可得∠BPA＝，PB＝1，所以S△PAB＝×1×1＝. 9．(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 解：(1)圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，圆心到直线x＝4的距离为2. 此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为y＋1＝tan 135°(x－4)， 即x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10．(10分)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程． 解：如图，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，所以圆C关于x轴对称的圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 其圆心C′(2，－2)半径为1. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－3＝k(x＋3)，即kx－y＋3＋3k＝0， 因为直线l与圆C′相切， 所以＝1， 所以k＝－或k＝－. 所以光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 11．(5分)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(－1，0) D．(－2，0) 答案：D 解析：圆与直线联立整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0.因为直线与圆有两个交点，所以方程有两个不同的实数根，即Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，解得m<0.因为圆(x－1)2＋y2＝1的图象在y轴右侧，若要两个交点在两个象限，则两个交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，所以y1y2＝<0，解得－2<m<0.故选D. 12．(5分)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________． 答案：4± 解析：圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以＋12＝22，解得a＝4±. 13．(10分)(1)求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程； (2)求与直线y＝x＋2垂直且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程； (3)求过点P(5，1)且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程． 解：(1)设所求切线的方程为y＝x＋m，即x－y＋m＝0. 圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2，3)，半径为2. 由＝2，得m＝5或m＝－3. 所以所求切线的方程为y＝x＋5或y＝x－3. (2)设所求切线方程为y＝－x＋m， 即x＋y－m＝0. 由＝2，得m＝1或m＝9. 故所求切线方程为y＝－x＋1或y＝－x＋9. (3)设所求切线方程为y－1＝k(x－5)， 即kx－y－5k＋1＝0. 由＝2， 得k＝－6±2. 故所求切线方程为(－6＋2)x－y＋31－10＝0或(－6－2)x－y＋31＋10＝0. 14．(5分)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列命题正确的是(　　) A．直线l过定点(3，1) B．圆C被y轴截得的弦长为4 C．直线l被圆截得的弦长最长时，直线l的方程为2x－y－5＝0 D．直线l与圆C一定相交 答案：ABD 解析：直线l的方程可化为m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由得所以直线l过定点(3，1)，故A正确；在圆的方程中，令x＝0，得1＋(y－2)2＝25，从而y＝2±2，所以圆C被y轴截得的弦长为4，故B正确；直线l被圆截得的弦长最长时，直线l过圆心(1，2)，所以2m＋1＋2(m＋1)－7m－4＝0，从而m＝－，此时直线方程为x＋y－＝0，即x＋2y－5＝0，故C错误；因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，所以(3，1)在圆内，直线l与圆C一定相交，故D正确．故选ABD. 15．(15分)如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO＝. (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. 由条件知，A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝－tan ∠BCO＝－. 又因为AB⊥BC， 所以直线AB的斜率kAB＝. 设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝＝－，① kAB＝＝，② 联立①②解得a＝80，b＝120. 所以|BC|＝＝150. 因此新桥BC的长为150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m，|OM|＝d m(0≤d≤60)． 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0. 由于圆M与直线BC相切， 故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 所以 即 解得10≤d≤35. 故当d＝10时，r＝＝130 m最大，即圆的面积最大． 所以当|OM|＝10 m时，圆形保护区的面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $