专题2.7 圆的一般方程（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.7 圆的一般方程 教学目标 ①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 教学重难点 教学重点：圆的一般方程会，根据条件求圆的方程 教学难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用 知识点01 圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当 时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当 时，方程表示一个点 ③当 时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练】设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 知识点02 圆的一般方程与标准方程特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03 在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在 ②点在 ③点在 【即学即练】点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式2】圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 题型02 求圆的一般方程 【典例1】已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【变式1】过三个点，，的圆的方程为 ． 【变式2】已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【变式3】已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【变式4】在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 题型03 圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设实数，圆的面积为，则 ． 【变式3】已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【变式4】已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 题型04 点与圆的位置关系 【典例1】（多选）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【变式3】已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 题型05 圆过定点问题 【典例1】圆恒过的定点是 . 【变式1】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式3】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型06 求动点的轨迹方程 【典例1】已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3】点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 【变式4】已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【变式3】（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式4】已知实数满足关系：，则的最小值 . 题型08 圆的对称问题 【典例1】若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【变式1】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式3】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【变式4】圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 题型09 圆的综合问题 【典例1】的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【变式1】求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【变式2】已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 【变式3】．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【变式4】已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 题型10圆的实际应用 【典例1】赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【变式1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 1．若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 2．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 9．（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 10．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 11．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 12．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 13．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 14．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 圆的一般方程 教学目标 ①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 教学重难点 教学重点：圆的一般方程会，根据条件求圆的方程 教学难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用 知识点01 圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练】设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 知识点02 圆的一般方程与标准方程特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03 在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练】点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 【变式1】“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 【变式2】圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 【变式3】已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式4】若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程，由求解. 【详解】解：因为方程表示圆， 所以， 解得， 故选：B 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 题型02 求圆的一般方程 【典例1】已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 【变式1】过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式2】已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 【变式3】已知的三顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及点斜式直线方程，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即； （2）设外接圆的方程为， 即，解得，，， 所以外接圆的方程为，即. 【变式4】在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 题型03 圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 【变式1】已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一般方程得到标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 【变式2】设实数，圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 【变式3】已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 【变式4】已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 题型04 点与圆的位置关系 【典例1】（多选）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】，A选项正确. ，B选项错误， ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：AC 【变式1】已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 【变式2】点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 【变式3】已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】根据点的坐标和圆的方程列式，从而确定正确答案. 【详解】根据题意，圆C：，点， 则有，故点P在圆外. 故选：A 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 题型05 圆过定点问题 【典例1】圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 【变式1】圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式2】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式3】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型06 求动点的轨迹方程 【典例1】已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 【变式1】已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式，结合相关点法即可求解. 【详解】设线段中点，则在圆上运动， ，即． 故选：A 【变式2】已知点P在圆上，点，满足的点的个数为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示确定点的轨迹，结合圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】设点，则，且， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为，半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为． 因为，所以两圆相交，满足这样的点有2个 故选：B 【变式3】点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设点，PQ中点，利用M和Q的关系得到，再通过点是圆上的一个点，代入圆方程化简即为的轨迹方程。 【详解】设，PQ中点， ∴，即， 又∵点是圆上的一个点， ∴，化简得， ∴的轨迹方程为. 故选：A 【变式4】已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 【变式1】已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由直角三角形性质得，要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离，从而得解. 【详解】显然，因为，所以， 所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离， 因为，所以，即的最小值为.    故选：C 【变式2】已知实数x，y满足，则的取值范围是（    ） A．[4,10] B．[8,10] C．[4,16] D．[8,16] 【答案】C 【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 【变式3】（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 【变式4】已知实数满足关系：，则的最小值 . 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 题型08 圆的对称问题 【典例1】若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式1】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 【变式2】若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【变式3】已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 【变式4】圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】圆，即，圆心为， 因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 所以，即， 又，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 题型09 圆的综合问题 【典例1】的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 【变式1】求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】找出圆心坐标，消去参数即可. 【详解】证明：由圆方程得： ． 设圆心坐标为，则， 由得，代入化简得：， 所以不论为何值，圆心在同一直线上． 【变式2】已知圆C的圆心为，且过点 (1)求圆C的半径及标准方程； (2)若O为坐标原点，点满足，求点P的轨迹方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出圆的半径，即可求圆C的标准方程； （2）设，则由题意可得，化简可得结论． 【详解】（1）由题意，圆心为，过点， 则半径， 所以圆C的标准方程为； （2）设，则由题意可得， 化简可得 【变式3】．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【变式4】已知，直线：与圆C：交于A，B两点. (1)证明恒过定点，并求出原点到直线的最大距离； (2)已知点在圆C上，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，最大距离 (2) 【分析】（1）将化为，令即可求出定点，当直线与定点和原点构成直线垂直时，原点到直线的距离最大，得到答案； （2）根据的几何意义为点到的距离，结合与圆的位置关系，结合半径和圆心到得到答案. 【详解】（1）由直线：， 得， 联立，解得， 所以恒过定点， 设直线恒过定点为, 则当时，原点到直线的距离最大，最大距离为. （2）点在圆C上，的几何意义为点到的距离， 因为圆C：，即，圆心， 又因为，所以在圆内， 所以到的距离的最大值为， 到的距离的最大值为 所以， 所以的取值范围为. 题型10圆的实际应用 【典例1】赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1) (2)可以从不桥下通过，理由见解析 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船不可以从桥下通过． 【变式1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用数形结合思想，根据圆的标准方程，可得答案； （2）利用圆的对称性，求隧道边缘最高点，比大小，可得答案. 【详解】（1）因为，所以C的，由圆心，，则圆C的方程是. （2）当时，米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过. 1．若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 2．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 4．已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，结合题意得到不等式组，解之即得. 【详解】由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 5．已知点在圆外，则的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 6．已知点动点满足则(为坐标原点)的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得到点的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得. 【详解】因为所以点在以为直径的圆上， 圆的方程为， 所以的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即. 故选：B. 7．已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作出圆关于轴对称的圆，利用对称的性质、圆的性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆心为的圆 B．方程表示圆心为的圆 C．方程表示半径为的圆 D．方程表示半径为的圆 【答案】AC 【分析】由圆的方程的满足条件逐项判断即可. 【详解】由知方程表示圆心为的圆，A正确； ，当时表示圆，当时表示点，当不表示任何图形，B错误； 因为，所以方程表示圆， 方程可化为，所以圆半径，C正确； 方程可化为表示点，不是圆，D错误． 故选：AC 9．（多选）已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 10．已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 11．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】记为坐标原点，作出图形，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】记为坐标原点，圆的圆心为原点，圆的半径为，    由圆的几何性质可知，， 且，即，即， 当且仅当点时，取最小值，当且仅当点时，取最大值， 故. 故答案为：. 12．已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． (1)分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； (2)求圆C的标准方程． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案. （2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程. 【详解】（1）由题意得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为，即， 又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为， 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． （2）由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上， 联立，解得，所以圆心C的坐标为， 圆的半径为， 所以，圆C的标准方程为． 13．已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 14．若方程为表示圆.点，在圆上， (1)求实数的取值范围. (2)求出圆的圆心坐标和半径，并求当时圆的方程. (3)求过点，且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)或； (2)圆心，半径，； (3). 【分析】（1）利用方程表示圆的条件，列出不等式求解即得. （2）利用圆的一般式方程求出圆心的半径，把代入求出圆的方程. （3）根据给定条件，求出线段的中垂线方程，进而求出圆心和半径得解. 【详解】（1）由方程为表示圆，得， 整理得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）圆的圆心坐标为，半径， 当时，圆的方程为. （3）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的方程为，由解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$