课时测评16　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评16　圆的标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 答案：B 解析：圆x2＋y2＝24的圆心为O，半径r＝2，＝＝<r，故点P在圆内．故选B. 2．圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 答案：C 解析：因为圆心为(1，－1)且圆过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 3．方程y＝ 表示的曲线是(　　) A．一条射线 B．一个圆 C．两条射线 D．半个圆 答案：D 解析：y＝ 可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆． 4．圆心M在直线x＋y＝0上，且与x轴交于点A(－3，0)和B(1，0)的圆的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ 答案：A 解析：由题意得，圆心在直线x＝－1上，又圆心在直线x＋y＝0上，所以圆心M的坐标为(－1，1)．又A(－3，0)在圆上，所以半径r＝|AM|＝ ＝ .则圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5. 5．(多选)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A．(0，2) B．(3，3) C．(－2，2) D．(4，1) 答案：ACD 解析：由(0－1)2＋(2＋2)2<25，知(0，2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2>25，知(3，3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，知(－2，2)在圆上；由(4－1)2＋(1＋2)2<25，知(4，1)在圆内，故选ACD. 6．(开放题)(2024·云南昆明高二月考)已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程____________． 答案：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 解析：由题可知圆心C在直线2x－y－4＝0上，不妨取x＝2，y＝0，则当圆心C为(2，0)时，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1. 7．直角三角形ABC的顶点A，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为____________． 答案：2＋y2＝9 解析：由于点C在x轴上，设点C.又∠ABC为直角，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得x＝4，即C，由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则M，所以圆M的半径为＝|1－(－2)|＝3，因此圆M的标准方程为2＋y2＝9. 8．(一题两空)已知A，B两点是圆x2＋(y－1)2＝4上的两点，若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称，则a＝________；若点A，B关于点(1，2)对称，则直线AB的方程为________． 答案：3　x＋y－3＝0 解析：圆x2＋(y－1)2＝4的圆心C的坐标为(0，1)， 若A，B关于直线x＋ay－3＝0对称， 则直线经过圆心(0，1)，所以a＝3. 若A，B关于点P(1，2)中心对称， 则CP⊥AB，P为AB的中点． 因为kCP＝＝1，所以kAB＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. 9．(10分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以解得 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆． 10．(10分)某河上有一座圆拱桥，其跨度为30 m，圆拱高为5 m，一船宽10 m，上面载有货物，水面到船顶的高度为4 m，问该船能否顺利通过该桥． 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则圆心在y轴上． 设圆心坐标为(0，a)，半径为r(r>0)， 则圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2. 将点(0，5)，(15，0)代入得 解得 所以圆的方程为x2＋(y＋20)2＝625. 因为船宽10 m，水面到船顶的高度为4 m， 所以要判断该船能否通过该桥，即判断点A(5，4)与圆的位置关系． 因为52＋(4＋20)2＝601<625，所以点A在圆内． 故该船能顺利通过该桥． 11．(5分)已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是(　　) A．－<k<－1 B．－<k<1 C．－<k<1 D．－2<k<2 答案：B 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由得则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2<4，解得－<k<1.故选B. 12．(5分)(多选)设有一组圆Ck：2＋2＝4，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点 C．经过点的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 答案：AB 解析：由题意可知：圆Ck：2＋2＝4的圆心C，半径r＝2.对于A，不论k如何变化，圆心C始终在直线y＝x上，故A正确；对于B，令2＋2＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝2－4×2×5＝－4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点，故B正确；对于C，令2＋2＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝2－4×1×2＝8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点的圆Ck有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误．故选AB. 13．(10分)根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为； (2)经过A，B两点，圆心M在直线2x－y＝1上． 解：(1)设圆心坐标为，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5. 因为，是圆上的点， 所以 解得或 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或(x－1)2＋(y－3)2＝5. (2)设圆心为M，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由题意可得方程组 解此方程组，得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝34. 14．(5分)(新情境)大约2 000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年．已知O是坐标原点，＝4，若M，则线段PM长的最大值是________． 答案：5 解析：已知O是坐标原点，＝4，则点P在以原点为圆心，4为半径的圆上，＝＝1，点M在圆内，当O，P，M三点共线，且P，M在O点两侧时，线段PM的长最大，此时＝＋＝4＋1＝5. 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动． (1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标． 解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)， 所以|EF|＝＝2， 整理得x2＋y2＝1， 所以线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1. (2)由已知设A1(－1，0)，A2(1，0)， 设P(x0，y0)，x0≠±1，x＋y＝1， 直线PA1的方程为y＝(x＋1)， 令x＝3，得y＝，则M(3，)， 同理，可求N(3，)，MN的中点坐标为(3，)，|MN|＝＝2， 所以以MN为直径的圆C的方程为(x－3)2＋(y－)2＝. 令y＝0，得(x－3)2＝－()2＋＝＝8. 所以x＝3±2，圆C总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)． 学生用书↓第65页 学科网（北京）股份有限公司 $