预习09 圆的标准方程与一般方程（2知识点+6题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习09 圆的标准方程与一般方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点 2 ：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点 3 ：圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, 知识点 4 ：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 【题型1 圆的标准方程】 1．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 4．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 5．已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 【题型2 圆的一般方程】 6．设实数，圆:的面积为，则 ． 7．圆的半径为 . 8．已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 9．过三个点，，的圆的方程为 ． 10．已知点，四点共圆，则 ． 11．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【题型3 二元二次曲线与圆的关系】 12．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 13．方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 点与圆的位置关系】 16．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 17．过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型5 点到圆的最值问题】 19．已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 20．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 21．已知实数x，y满足方程，的最大值和最小值分别为 和 ． 22．已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 【题型6 圆的轨迹问题】 23．在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 24．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 25．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 26．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 27．在矩形ABCD中，，，点M，N分别为边，上的动点，且，则的最小值是 ． 28．已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 一、单选题 1．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 10．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是 ． 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 13．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 四、解答题 14．在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程. 15．已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 16．若实数满足方程，求代数式的取值范围． 17．已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习09 圆的标准方程与一般方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点 2 ：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点 3 ：圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上, 知识点 4 ：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程 的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 【题型1 圆的标准方程】 1．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 2．圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 3．设，为圆：的直径，则等于（    ） A．4 B．21 C．25 D．29 【答案】B 【详解】由圆，得圆心的坐标为，半径为2， 所以. 故选：B． 4．已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 5．已知圆经过点，，且圆心在轴上.求圆的标准方程. 【答案】 【详解】题意设圆的方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为. 【题型2 圆的一般方程】 6．设实数，圆:的面积为，则 ． 【答案】 【详解】设圆的半径为r，则由题意得面积为，所以, 将圆一般式化为标准式得， 又， 所以，所以. 故答案为：. 7．圆的半径为 . 【答案】1 【详解】由，则，可得半径为1. 故答案为：. 8．已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 9．过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 10．已知点，四点共圆，则 ． 【答案】 【详解】设过的圆的方程为且, 则，解得， 所以过的圆的方程为， 又因为点在此圆上，所以，解得，所以． 故答案为： 11．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】整理圆的方程得，可知圆心坐标为 由题意可知：直线过圆心，即，可得， 则 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：C. 【题型3 二元二次曲线与圆的关系】 12．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 13．方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 14．“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 15．圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 【题型4 点与圆的位置关系】 16．已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 17．过点向圆可以作两条切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，得点在圆外，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 18．已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】依题意，方程表示圆，则，解得. 因为坐标原点不在圆的内部，所以. 综上所述，，结合选项可知A符合题意. 故选：A 【题型5 点到圆的最值问题】 19．已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 20．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 21．已知实数x，y满足方程，的最大值和最小值分别为 和 ． 【答案】 【详解】已知实数x，y满足方程，即， 如图所示，表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 圆心到原点的距离为， 所以的最大值是， 的最小值是． 故答案为：；. 22．已知点为圆上一点，，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设,则, , 则, 故, 而的几何意义为圆上的动点到的距离, 其最大值为, 的最大值为, 故选：A 【题型6 圆的轨迹问题】 23．在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 24．已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，当时，，两直线不平行，又因为两直线相交于点，且的斜率，的斜率，，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆.故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最小值为圆心距减去两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最大值． 故选：D． 25．已知直线，直线，若与的交点为，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】可变形为由可得，则恒过定点， 同理可得恒过定点，且有，则， 此时的轨迹是以为直径的圆：． 因，由图知，当点在线段上时，的值最小，其最小值为. 故选：A． 26．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 27．在矩形ABCD中，，，点M，N分别为边，上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】15 【详解】以为坐标原点,分别以为轴和轴建立平面直角坐标系， 则,则， 故，由于，令， 因与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 即，故. 故答案为：15 28．已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 一、单选题 1．已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 可知圆C的圆心坐标为． 故选：C 2．已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 3．已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 4．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 5．已知，，，，若从，，，这四个点中任意选择两个点，则这两个点都落在圆外的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故点在圆外， ，点在圆外， ，点在圆上， ，点在圆外， 从4个点中任意选择两个点，共有6种情况， 分别为，， 其中两个点都落在圆外的有， 故这两个点都落在圆外的概率为. 故选：A 6．已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点的坐标为，动点满足， 故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 圆的方程为， 圆心与原点的距离为， 则的最大值为. 故选：B 7．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当，时，可得， ，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆， ∴ 故围成的图形的面积为： 故选：A 8．已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 10．已知点，点是圆上任意一点，若面积的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意知：，， 且圆心坐标为，半径为1， 因为圆心到直线的距离． 所以的最大值，故A错误，B正确； 的最小值，故C正确，D错误； 故选：BC. 三、填空题 11．圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的一般方程是 ． 【答案】 【详解】设圆心坐标为，则，解得，所以圆心为， 所以圆的方程为，即． 故答案为：． 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆心坐标为， 则圆的半径， 当时，，圆心坐标为． 故所求圆的方程为． 故答案为：. 13．已知曲线与曲线交于A，B，C三点，则外接圆的面积为 . 【答案】 【详解】联立方程，消去可得， 设过交点的圆的方程为， 将代入圆的方程，可得， 即， 再将代入，即可得到， 对比， 可得，解得， 所以圆的方程为， 配方可得， 则圆的半径为， 所以外接圆的面积为. 故答案为：. 四、解答题 14．在中，是坐标原点，，，求的外接圆方程. 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 15．已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 16．若实数满足方程，求代数式的取值范围． 【答案】 【详解】设，则 ①， 方程可化为． 故可将①式写成． 构造向量， 则，， 由，得，解得， 故所求的取值范围是． 17．已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； （3）因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$