2.2.3两条直线的位置关系（2知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.3两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1.掌握两条直线平行的条件: 2.能应用两条直线平行的条件解题. 知识点01 两条直线的相交、平行与重合 1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则： ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1 ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。 3. 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2 【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 知识点02两条直线的垂直 1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0. 【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 【答案】 【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值. 【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直， 则直线的斜率. 故答案为： 【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】首先求两条直线的交点，再利用垂直关系，利用待定系数法求直线方程. 【详解】联立，得， 设与直线垂直的直线方程为， 得，得， 所以直线方程为. 故答案为： 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 【题型1：平行垂直关系的判定】 例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：C 变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 【答案】C 【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断. 【详解】对A，直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以m和n不可能重合，A错误； 对B，时，，m和n垂直，所以B错误； 对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P， 则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确． 故选：C． 变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直线平行的充要条件一一判定即可. 【详解】两直线， 其平行的充要条件为且或， 对于A项，易知且，即A正确； 对于B项，易得，有且，即B正确； 对于C项，易知且，即C正确； 对于D项，易知，D项不符合. 故选：ABC 变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 【答案】平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 【方法技巧与总结】 判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 【题型2：由平行关系求参数】 例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件进行判断 【详解】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的充要条件求值即可得. 【详解】设，， 直线方程可化为，且直线的斜率为， 若，则直线斜率存在，， 故直线方程可化为， 由，解得，故 ， 当时，直线的方程为，直线的方程为， 此时，即 . 因此，是的充要条件. 故选：C. 变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【答案】 【分析】 根据得到方程和不等式，得到答案. 【详解】 因为，，整理可得，， 因为四边形为平行四边形，故，则，且， 解得. 故答案为： 变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； （2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 【方法技巧与总结】 设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有 1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2k1=k2, 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直线不重合 【题型3：由垂直关系求参数】 例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. 【详解】由直线与直线垂直，得， 所以或. 故选：D 变式2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解. 【详解】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为， 即且，，所以. 故选：D. 变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则 ，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系可得直线的斜率，进而可得斜率. 【详解】因为直线的斜率，且直线，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为135°． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 3. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0 【题型4：由平行关系求直线方程】 例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标求得C，即可得出答案. 【详解】设所求直线方程为， 又过点，则可得，解得， 则所求直线方程为 故选：A 变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案. 【详解】由题意可设所求直线方程为， 因为在该直线上， 所以，得， 故该直线方程为， 故选：C 变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与已知直线平行设出所求直线的一般式方程为，代入已知点的坐标待定系数可得. 【详解】与直线平行的直线的方程可设为， 又经过点，所以，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互相平行直线方程的特点，结合代入法进行求解即可. 【详解】与直线平行的直线方程可设为， 因为点在直线上， 所以， 即过点且与直线平行的直线方程是， 故选：A 变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据平行得出斜率，利用过点即可得出直线方程. 【详解】由题意， 与直线平行的直线的斜率为， 直线过点， ∴过点且与直线平行的直线方程为：， 即：. 故答案为：. 变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两条直线与的交点，利用两点式方程整理计算即可; （2）求出平行于的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可. 【详解】（1）由解得, 即两直线的交点坐标为. 直线经过点和，由两点式方程得，， 化简得所求直线方程为. （2）由可得直线的斜率为， 故平行于直线的直线的斜率为， 结合（1）问可得：两条直线与的交点为， 由点斜式方程得，， 化简得所求直线方程为. 【方法技巧与总结】 当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程． 【题型5：由垂直关系求直线方程】 例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D. 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】9 【分析】根据直线垂直求出直线的方程，再求出直线与坐标轴的交点，进而可得与坐标轴围成的三角形面积. 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 【答案】 【分析】首先利用二元一次方程组求出交点的坐标，进一步利用直线垂直的充要条件求出直线的方程． 【详解】过直线与的交点， 故，解得，故交点坐标为； 故过点且与直线垂直的直线方程为，整理得． 故答案为：． 变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】由题可设直线方程为，代入已知点坐标即得. 【详解】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据两直线垂直求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解； （2）首先根据两直线平行求斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可知直线l的斜率，根据平行关系结合点斜式方程运算求解； （2）根据垂直关系结合点斜式方程运算求解. 【详解】（1）因为直线l：y＝，则直线l的斜率， 可知与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l平行的直线方程为. （2）由（1）可知：与直线l平行的直线的斜率， 过点且与直线l垂直的直线方程为. 变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可得解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以边所在直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. （2）因为，，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 【方法技巧与总结】 当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．　 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用直线与轴平行但不重合的性质直接求解即可． 【详解】∵直线：平行于y轴， ∴，解得，，． 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为，又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 【答案】A 【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断. 【详解】由直线方程，即， 又：， 又在直线外，所以， 则， 所以直线与平行， 即两直线倾斜角相等， 故选：A. 4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】由两直线互相垂直可得，求解可得结论. 【详解】由直线与直线互相垂直， 可得，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的斜率为，故直线的方程为， 即，令得， 故在轴上的截距为. 故选：D 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线和互相平行，则的值是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据题意得到平行时的方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 此时后者直线方程为，满足题意. 故选：D. 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解. 【详解】解：由题意设直线方程为：， 因为该直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为：， 故选：C 二、多选题 9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【分析】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【详解】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD 10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则（    ） A．为直角三角形 B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点 C．是的一条中位线所在直线方程 D．是的一条高线所在直线的方程 【答案】AC 【分析】求直线的斜率，根据斜率关系判断与的位置关系，由此判断的形状，结合图像及两点斜率公式判断B，求的中位线方程，判断C，求的高的方程判断D. 【详解】由已知，所以，故为直角三角形，A正确；如图可得过点P与线段有公共点的直线斜率范围是，B错误；的中点为，的中点为，的中点为，过点，的直线方程为，所以为的一条中位线，故C正确；直线直线的斜率为，又，，所以直线与的三条边都不垂直，所以直线不是的高，故D错误， 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 . 【答案】 【分析】由垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，与直线垂直的直线的斜率为2， 所以所求直线方程为，即. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 【答案】 【分析】根据直线平行求出直线的方程，再求出直线与，轴的交点，进而可得与，轴围成的三角形面积. 【详解】直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与，轴围成的三角形面积为. 故答案为： 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以， 又，所以. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2)相交，交点为 (3) (4)重合 【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交． ，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）因为在两坐标轴上的截距相等，所以按截距是否为，分类求解； （2）设直线斜率为，求解与坐标轴的交点，将面积表示为函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）①当直线过坐标原点，直线过点． 所以方程为，即； ②当直线不过坐标原点，，设方程为， 由直线过点，将代入方程得，解得， 所以直线的方程为，即； 综上：的方程为或. （2）由题意知斜率存在且小于0，设方程为， 令，解得；令，解得； 因为，所以，， 所以面积 ， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最小值为4. 17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质得 ；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答. （2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答. 【详解】（1） 由菱形的性质可知: . 边所在直线过点，点坐标为， 则. 又点坐标为， 边所在直线的方程为，即. 所以边所在直线的方程为. （2） ， 线段的中点为，且. 由菱形的几何性质可知：且为的中点. 则. 所以对角线所在直线的方程为， 即. 所以对角线所在直线的方程为：. 18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段中点坐标，再利用平行四边形的性质得为线段中点，从而利用中点坐标公式列方程组求解即可； （2）通过直线垂直求出高线的斜率，代入点斜式直线公式求解即可. 【详解】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以；    （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线 （）交轴正半轴于，交轴正半轴于． (1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程； (2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出点的坐标，表示的面积，结合基本不等式求其最小值，可得的值，由此确定直线的方程； （2）由直线方程求出定点的坐标，结合数量积坐标运算求，利用基本不等式求其最小值，由此确定直线的方程. 【详解】（1）作图可知． 因为直线的方程为， 令，，所以，令，，所以， 所以， 所以． 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积最小时，直线的方程为． （2）因为直线的方程可化为， 所以直线经过的定点， 所以 所以， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的值最小时，直线的方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标: 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1.掌握两条直线平行的条件: 2.能应用两条直线平行的条件解题. 知识点01 两条直线的相交、平行与重合 1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则： ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1 ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。 3. 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2 【即学即练1】（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【即学即练2】（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 知识点02两条直线的垂直 1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0. 【即学即练3】（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知两条直线和互相垂直，则a＝ . 【即学即练4】（24-25高二上·上海·课后作业）经过直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为 ． 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ． 【题型1：平行垂直关系的判定】 例1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 变式1．（2023高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 变式2．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）下列各直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高二下·全国·课前预习）直线，那么与 . 变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 变式6．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 【方法技巧与总结】 判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 【题型2：由平行关系求参数】 例2．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高三下·上海浦东新·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 变式7．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【方法技巧与总结】 设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有 1.l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1//l2k1=k2, 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1//l2A1B2=A2B1,且直线不重合 【题型3：由垂直关系求参数】 例3．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高二上·福建莆田·期中）若直线与直线垂直.则（    ） A．1 B． C．0 D．0或 变式2．（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 变式4．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 变式5．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线，直线. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值. 变式6．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的斜率为1，若直线，则直线的倾斜角为 ． 【方法技巧与总结】 1.设直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则有 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为，k1，k2则l1⊥l2k1k2=-1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 3. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2A1A2+B1B2=0 【题型4：由平行关系求直线方程】 例4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024高二上·全国·专题练习）过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高二上·青海西宁·期末）经过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式3．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 变式5．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程. (1)过点； (2)平行于直线. 【方法技巧与总结】 当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程． 【题型5：由垂直关系求直线方程】 例5．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1．（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 变式2．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 变式3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 ． 变式4．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 变式5．（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 变式6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 变式7．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点和直线l： ，求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程. 变式8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边的垂直平分线所在直线的方程． 变式9．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【方法技巧与总结】 当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．　 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等 4．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D． 7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知直线和互相平行，则的值是（    ） A． B． C．1 D．4 8．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 10．（19-20高二·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·安徽·阶段练习）已知的顶点坐标分别为，则（    ） A．为直角三角形 B．过点P斜率范围是的直线与线段有公共点 C．是的一条中位线所在直线方程 D．是的一条高线所在直线的方程 三、填空题 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）过点且与直线垂直的直线方程是 . 13．（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为 . 14．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 16．（23-24高二上·山东·期中）已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 17．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. (1)求边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 18．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 19．（22-23高二上·浙江温州·期中）已知直线 （）交轴正半轴于，交轴正半轴于． (1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程； (2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$