课时测评8　空间中的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评8　空间中的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA＝4，PB＝2，则|AB|的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案：C 解析：如图，因为PA⊥α，PB⊥β，又二面角α-l-β的平面角为60°，所以〈，〉＝120°，又|PA|＝4，|PB|＝2，所以|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos 120°＝42＋22－2×4×2×＝28.所以|AB|＝2. 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝ ＝ ＝. 3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． 　　　　 B． C． 　　　　 D． 答案：B 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1).因为O为A1C1的中点，所以O，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0).设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有 即 取x＝1，则n＝(1，0，1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝ ＝ .故选B. 4．如图，已知直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0).以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(0，6，0)，A1(2，0，t)，B1(0，6，t)，则D(1，3，t)，所以＝(－2，6，－t)，＝(1，3，t)，所以·＝－2＋18－t2＝0，所以t＝4.故选C. 5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：建立空间直角坐标系(如图).则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，C1(0，2，2).所以＝(－1，0，－2)，＝(0，－1，－2).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令z＝－1，得n＝(2，2，－1).又因为＝(2，0，0)，所以点C1到平面B1EF的距离为d＝＝. 6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为　　　　Ｗ． 答案： 解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为 ＝. 7．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为　　　　Ｗ． 答案： 解析：取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz(其中z轴平行于BC)，则A(0，－1，0)， E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2).设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令y＝1，所以n＝(－1，1，－1).故点D到平面ACE的距离d＝＝ ＝ . 8．(一题两空)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝　　　　，这时，点D到面PEC的距离为　　　　Ｗ． 答案：2－　 解析：设AE＝a(0≤a≤2)，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，则＝(1，a，－1)，＝(0，2，－1).设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则即令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a，1，2).易知平面DEC的一个法向量为＝(0，0，1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.这时，平面PEC的法向量可以取m＝(，1，2)，又因＝(0，0，1)，所以点D到平面PEC的距离为d＝＝＝. 9．(10分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点．求PC到平面BED的距离． 解：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4，0，0)，D(－2，2，0)，E(0，0，2)，P(0，0，4)，C(2，2，0)，所以＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2). 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝2，得平面BED的一个法向量为n＝(1，，2). 因为＝(2，2，－4)，且n·＝2＋6－8＝0， 所以PC∥平面BED， 所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离． 因为＝(0，0，2)，n＝(1，，2)，所以|n|＝2，·n＝4， 所以点P到平面BED的距离d＝＝＝， 所以PC到平面BED的距离为. 10．(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点． (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解：(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4). 从而 ＝(2，2，0)， ＝(2，2，0)， ＝(－2，0，4)， ＝(－2，0，4)， 所以 ＝ ， ＝ ， 所以EF∥MN，AM∥BF. 因为EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD. (2)因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离， 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 从而 解得 取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 ＝(0，4，0)， 所以两平行平面间的距离d＝＝ . 11．(5分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4的菱形，且∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为(　　) A．2 B．1 C． D．3 答案：C 解析：易得OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，所以OA＝2，OB＝2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)，所以＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3).设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取z＝2，则x＝－，y＝3，则n＝(－，3，2)是平面O1BC的一个法向量．设点E到平面O1BC的距离为d.因为E是O1A的中点，所以E，＝，则d＝＝＝，所以点E到平面O1BC的距离为.故选C. 12．(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是　　　　Ｗ． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，所以＝(－3，4，0)，＝(0，4，－2).设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝2，得n＝.又＝(0，0，2)，所以点A到平面A1BC1的距离为d＝＝＝.易知平面A1BC1∥平面ACD1，所以两平面之间的距离为. 13．(10分)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求证：BD⊥平面ACFE； (2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥AE. 因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE. (2)如图，以O为原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，z轴过点O且平行于CF，建立空间直角坐标系， 则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0，2). 设F(－1，0，a)(a>0)，则＝(－1，0，a). 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 令z＝1，得n＝(－2，0，1). 由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， 解得a＝3或a＝－. 因为a>0，所以a＝3，所以CF的长度为3. 14．(5分)(开放题)在空间直角坐标系Oxyz中，A，B，C，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值为　　　　Ｗ． 答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可) 解析：因为＝，＝，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋. 15．(15分)如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 解：以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)， 所以＝(0，－3，－4)，＝(－8，0，0)， ＝(－4，5，0). 设线段AP上存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角，则＝λ(λ≠1)， 所以＝＋＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4) ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， 设平面BMC的法向量m＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n＝(x2，y2，z2)， 由 得 取y1＝1，得向量m＝. 由 得 取y2＝4，得向量n＝(5，4，－3)， 由m·n＝0，得4－3·＝0， 解得λ＝，所以＝， 所以＝， 所以||＝||＝×5＝3. 综上所述，存在点M使得二面角A-MC-B为直二面角，AM的长为3. 学生用书↓第33页 学科网（北京）股份有限公司 $