1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何核心内容，以点的位置向量为起点，逐步延伸至直线的方向向量，系统梳理线线平行、垂直、夹角及异面关系的向量判定方法，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料通过随学随练即时巩固知识，结合正方体、直三棱柱等实例，以题型分类（如异面直线夹角求法）和分层练习（基础通关至迁移创新）引导学生用数学语言表达空间关系，培养空间观念与逻辑推理能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺。

第一章 空间向量与立体几何 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 课标要点 能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中线面垂直的判定定理 学习重难点 重点： 1.利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系. 2.求空间两直线所成的角． 难点： 利用直线的方向向量研究两直线的位置关系． 知识点 空间中的点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 随学随练 1．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 2．（23-24高二上·重庆渝中·阶段检测）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据模和垂直的空间向量公式，即可求解. 【详解】，，得，所以， 因为，则，得， 所以. 故选：A 知识点 空间中的直线的方向向量 (1)一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (2)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (3)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (4)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定． (5)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 特别提醒 在直线上给定一个定点A和它的一个方向向量v，对于直线上的任意一点B，有＝λv，这样可以求直线上任一满足要求的点的坐标． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·期中）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 知识点 空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则 ①θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ②sinθ＝sin〈v1，v2〉，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|． ③l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． 随学随练 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 知识点 异面直线与空间向量 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． ①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的． ②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交． ③“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． ④如下图，A∈l1，B∈l2，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (2)一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期末）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 2．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可. 【详解】因为点为中点，所以. 所以. 因为， 所以 . 由于 所以直线与直线所成角的余弦值为. 题型异面直线夹角的向量求法 ▌例1 25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. ▌对点练1-1．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 题型已知线线角求其他量 ▌例1（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 (2) 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. ▌对点练1-1（25-26高二下·湖南·期中）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 基础通关 1．（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 3．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 4．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为基底，表示向量和，利用向量的数量积求异面直线夹角的余弦. 【详解】如图，以为空间向量的基底.    不妨设，则， 则，. 因为，， ，. 又， 所以. 即直线与所成角的余弦值是. 故选：C 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得两直线的方向向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故， 故选：A 6．如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出，的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】因为，所以与所成的角即或其补角. 设，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 7．我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C 8．（25-26高二上·江西新余·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】应用空间向量共面判断A，根据空间向量数量积公式及运算律求解判断B，应用模长公式计算求解判断C，应用异面直线所成角公式计算判断D. 【详解】对于A，设，所以为空间中的一组基底， 则，，， 则，所以共面， 则不能作为空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为 ，所以，故B正确； 对于C，由， 则 ，即，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 9．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知空间中两条直线，的方向向量分别为，则下列结论正确的是（    ） A．向量与共面 B．在上的投影向量的模是 C． D．两直线夹角的余弦值是 【答案】AB 【分析】对于A，利用空间向量共面定理即可判断；对于B，利用投影向量的模长公式即可判断；对于C，利用空间向量平行的坐标表示即可判断；对于D，根据两直线夹角公式计算. 【详解】对于A，不共线，假设向量与共面， 则，使得， 则，解得， 所以，因此与共面，故A正确； 对于B，在上的投影向量的模是，故B正确； 对于C，易知，因为，不成立，故C错误； 对于D，由题知，两直线夹角余弦值是，故D错误. 故选：AB. 10．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【详解】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 11．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】先利用空间向量的线性运算求出和，再结合空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图，连接，设，，， 依题意，， 则 ， 而 ，得到. 而 ，可得. 则， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·广东湛江·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用可以求得答案. 【详解】 因为为的中点，所以．以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，. 因为为线段的一点，且，所以．所以，． 设直线与直线所成的角为，则. 故答案为： 13．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点. (1)用，，表示向量，并求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据空间向量基本定理，利用基向量，，表示向量，再利用向量的数量积求向量的模. （2）利用空间向量的数量积求异面直线所成的角. 【详解】（1）由题知，， 因为，， 所以， 所以，即线段的长为. （2），，故， 则， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为. 14．已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. (1)求证：； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）解法一：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出和，根据证明；解法二：通过证明平面，从而得到； （2）求出和，利用向量法求解即可. 【详解】（1）解法一：如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， . 解法二：连接，在正方体中有： 平面， 平面， ， 又，平面， 平面， 又平面， . （2）由（1）可得，，， ， ， ，， ， 故直线和所成角的余弦值为. 素养提升 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）平行六面体中，，，，点在线段上，满足，为线段的中点，则（    ） A．与的夹角为 B． C．线段的长度为 D．直线与所成的角为 【答案】BCD 【分析】首先应用异面直线所成角定义计算判断A，应用，结合空间向量加减法及数乘运算判断B，由，其平方后结合空间向量数量积公式计算再开方即可判断C，应用数量积为0得出向量垂直进而得出直线所成角判断D. 【详解】 对于A：因为，所以与的夹角等于与的夹角， 且，，所以，所以与的夹角为，A选项错误； 对于B：满足， 所以 ，B选项正确； 对于C：因为， 所以， 又因为， 所以， ∴，C选项正确； 对于D：因为， 所以， 所以， 所以直线 与所成的角为，D选项正确. 故选：BCD. 16．（25-26高二下·江苏·期末）正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 17．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，是的中点，在上，且．则下列命题正确的有（    ） A．异面直线所成角的余弦值是 B．三棱锥的体积为 C．MN的长为 D．平面 【答案】ACD 【分析】将该三棱锥放到长方体中，求得长方体的棱长分别为，，进而建立空间直角坐标系，并依次讨论各选项即可. 【详解】因为三棱锥中，，， 所以，将该三棱锥放到长方体中，如图，设长方体的棱长 ， 则，解得，， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， 对于A，，，，所以异面直线所成角的余弦值是，A选项正确； 对于B, ,,, 所以，故B选项错误； 对于C，， ，即MN的长为，故C选项正确； 对于D，， 设，即， 解得，所以，即向量共面， 因为平面，所以平面，故D选项正确. 故选：ACD 迁移创新 19．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知正方体的棱长为2，为的中点，，为线段，上的动点，则（   ） A．三棱锥的体积为 B．直线与所成角的最小角的正弦值为 C．的最小值为 D．当为正方体表面上的一个动点，且时，点的轨迹所围成的面积为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥的体积，可判定A错误；根据正方体的性质，结合异面直线所成角的定义，可判定B不正确；由的最小值为异面直线的公垂线段的长度，可判定C正确； 过点作与平面平行的平面，得到截面为正六边形，可判定D正确. 【详解】对于A，由正方体的棱长为，可得其体积为， 又由三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥，的体积，且四个三棱锥的体积相同， 因为， 所以三棱锥的体积为，所以A错误； 对于B，延长到点，使得，再取的中点，可得， 又由，可得， 所以异面直线与所成角为， 因为点在上运动，当点与点重合时，取得最小值， 在直角中，， 可得，即直线与所成角的最小角的正弦值为，所以B错误； 对于C，因为为线段上的动点， 所以的最小值为异面直线的公垂线段的长度， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为，且平面，所以平面， 设平面，因为为边长为的等边三角形， 可得为的中心，在平面中，过作， 因为平面，平面，， 即为异面直线的公垂线段，可得， 即的最小值为，所以C正确； 对于D，由选项C知：平面， 当为正方体表面上的一个动点，且时， 过点作与平面平行的平面，交正方体的表面， 如图（2）所示，得到截面为六边形， 且六边形为边长为的正六边形， 过点作的垂线，垂足为，如图（3）所示， 在直角中，可得， 所以等腰梯形的面积为， 所以截面的面积为，所以D正确. 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 21．（25-26高二上·上海·期末）两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】先依题意作出图形，再建立空间直角坐标系，写出点坐标，设出坐标，然后利用向量法求出直线和夹角的向量表达式，求解出最大值. 【详解】如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系. ，， 设，. . ，. . 当时，有最大值，最大值为. 故答案为： 22．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中，，，，点E，F满足，． (1)用基底表示向量； (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意 . （2）正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 由（1）得， 所以 ， 又 ， 所以，， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 23．（25-26高二下·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平行六面体的性质，先找到的位置，再用向量加法表示，最后通过向量模长公式计算长度即可； （2）先确定和的方向向量，再通过向量数量积公式计算两向量夹角的余弦值，即可得到两异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意可知，， 因为， 所以， 因为为与的交点，即为的中点， 所以， 所以， 即 ， 所以. （2）因为，所以， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 课标要点 能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中线面垂直的判定定理 学习重难点 重点： 1.利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系. 2.求空间两直线所成的角． 难点： 利用直线的方向向量研究两直线的位置关系． 知识点 空间中的点的位置向量 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量． 随学随练 1．（25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二上·重庆渝中·阶段检测）已知直线的一个方向向量（），直线的一个方向向量，若，且，则的值是（    ） A．2 B．或1 C． D．1 知识点 空间中的直线的方向向量 (1)一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l． (2)如果A，B是直线l上两个不同的点，则v＝就是直线l的一个方向向量． (3)如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行． (4)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定． (5)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 特别提醒 在直线上给定一个定点A和它的一个方向向量v，对于直线上的任意一点B，有＝λv，这样可以求直线上任一满足要求的点的坐标． 随学随练 1．（25-26高二下·江苏·期中）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 知识点 空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则 ①θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ②sinθ＝sin〈v1，v2〉，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|． ③l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0． 随学随练 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 异面直线与空间向量 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． ①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的． ②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交． ③“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． ④如下图，A∈l1，B∈l2，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． (2)一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 随学随练 1．（25-26高二下·上海·期末）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 2．如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________． 题型异面直线夹角的向量求法 ▌例1 （25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型已知线线角求其他量 ▌例1（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． ▌对点练1-1（25-26高二下·湖南·期中）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    基础通关 1．（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 6．如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西新余·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 9．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知空间中两条直线，的方向向量分别为，则下列结论正确的是（    ） A．向量与共面 B．在上的投影向量的模是 C． D．两直线夹角的余弦值是 10．（25-26高二上·上海·期末）若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 11．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 12．（25-26高二上·广东湛江·期末）在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为___________． 13．（25-26高二上·江西萍乡·期末）如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点. (1)用，，表示向量，并求线段的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 14．已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. (1)求证：； (2)求直线和所成角的余弦值. 素养提升 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）平行六面体中，，，，点在线段上，满足，为线段的中点，则（    ） A．与的夹角为 B． C．线段的长度为 D．直线与所成的角为 16．（25-26高二下·江苏·期末）正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，在三棱锥中，，，分别是的中点，是的中点，在上，且．则下列命题正确的有（    ） A．异面直线所成角的余弦值是 B．三棱锥的体积为 C．MN的长为 D．平面 迁移创新 19．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知正方体的棱长为2，为的中点，，为线段，上的动点，则（   ） A．三棱锥的体积为 B．直线与所成角的最小角的正弦值为 C．的最小值为 D．当为正方体表面上的一个动点，且时，点的轨迹所围成的面积为 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 21．（25-26高二上·上海·期末）两个共顶点于且轴共线的圆锥分别记为和，底面中心分别为和，居于同侧，底面半径分别为和，在的底面圆周上任取一点，在的底面圆周上任取一点，直线和的夹角为，则的最大值为__________. 22．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中，，，，点E，F满足，． (1)用基底表示向量； (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值． 23．（25-26高二下·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． (1)用，，表示，并求BM的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $