精品解析：河南省信阳市新县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 2，，6 C. 2，， D. 5，2， 3. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个同号的不相等的实数根 B. 有两个异号的不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．如图，若关于的一元二次方程，，那么的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图像开口向上，那么的取值范围是______． 12. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程正确的为_________． 13. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … （1）____；将其配方成的形式为_______； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____； 21. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1）求y关于x的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 22. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 23. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，5，6 B. 2，，6 C. 2，， D. 5，2， 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【详解】解：方程整理得：， 则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，，， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是掌握一元二次方程的一般形式为，二次项系数为a、一次项系数为b、常数项为c． 3. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数． 【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°， ∴∠BOC=2∠BAC=76°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个同号的不相等的实数根 B. 有两个异号的不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先进行判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵a=2，b=−6，c=3， ∴△=b2−4ac=(−6)2−4×2×3=12>0,x1x2=>0， ∴方程有两个同号不相等的实数根， 故选A. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 5. 已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据自变量与函数值的情况判定即可． 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性和开口方向判断即可． 【详解】解：对称轴为直线， 时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， ，且， 故选：D． 8. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 9. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．如图，若关于的一元二次方程，，那么的值为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由题意可知，，，设，则，，在中，由勾股定理列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， ， 解得：， 即的值为16， 故选：B． 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为2，中心为点O，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，此时y值最大，， 当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知二次函数的图像开口向上，那么的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数，且），当时，二次函数图象开口向上，当时，二次函数开口向上，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向上， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程正确的为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 设每组有个机器人，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每组有个机器人， 根据题意，每组共需进行 15场比赛， 因此列方程为，即． 故答案为：． 13. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则， ∵点的坐标为， ∴， 由题意得，，， ∴，， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点，分别为，的中点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值，即当为直径时，最大，最大， 如图所示：将此时的点记为点， ∵是的直径， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∴， ∴长的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 17. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2） 解：不能实现，理由如下， 设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 方程整理得： ∵ ∴原方程无解， ∴想要建一个的矩形养鸡场，这一想法不能实现 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程； （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，解方程并取符合题意的解； （2）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，得出方程无解，进而得出结论，即可求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 解得：或 ∵ ∴ ∴， ∴（米） 答：鸡场的长为米，宽为米 【小问2详解】 略 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）如图所示，点的坐标为 ． （2）如图所示， ． （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 19. 如图，是的直径，弦于点，点在上，弦与交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：， ． ∵， ， ． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，易得，再根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）如图，连接，由圆的性质以及垂径定理可得，利用勾股定理可得，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径，， 为的中点． ， ． ． ． 20. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … … … … （1）____；将其配方成的形式为_______； （2）在下面平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （3）当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____； 【答案】（1）； （2） 函数图象如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，把二次函数的解析式转化为顶点坐标式． （1）把代入二次函数的解析式即可求出的值；用配方法把二次函数的解析式转化为顶点坐标式； （2）利用列表、描点、连线的方法画出二次函数的图象； （3）由图象可知，当时，随的增大而减小，所以可得的取值范围是． 【小问1详解】 解：当时， 可得：， ； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，随的增大而减小， ， 故答案为：． 21. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1）求y关于x的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【解析】 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； 【小问2详解】 解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 22. 如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【小问1详解】 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 23. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值． （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】（1），， （2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【解析】 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【小问1详解】 解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $