精品解析：四川省泸州市江阳区分水岭学校三校2025-2026学年上学期九年级数学 12月联考试题

分水岭学校2025年秋期九年级数学三校联考12月考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. 0 B. C. ， D. ， 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 11. 已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（18分） 13. 写出一个以x为未知数且二次项系数为1的一元二次方程，使方程的两个根为：和3，则该方程为：_____． 14. 在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，则B的坐标为_____． 15. 将抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为______． 16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 17. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 18. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 三、解答题（66分） 19. 已知抛物线的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求的解析式． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平移6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标． 21. 已知二次函数，求证，不论取何实数，图象总与轴有两个不同的交点． 22. 电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆． （1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元． 23. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 24. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分水岭学校2025年秋期九年级数学三校联考12月考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确． 故选D. 【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 2. 方程的解为（ ） A. 0 B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解： 移项得：， 分解因式得：， 解得：或． 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：， ∴方程无实数根， 故选：C 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义是解决问题的关键． 由题意根据二次函数的顶点坐标是，求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵； ∴顶点坐标为：． 故选：D． 5. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，再将代入原式，即可得到答案. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， 则a的值为：． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征． 由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是， 故选：C． 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 8. 已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 9. 某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出二月份产值为万元，三月份产值为万元，再根据第一季度总产值为330万元列出方程即可得． 【详解】解：∵某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为， ∴该厂二月份产值为万元，三月份产值为万元， ∵第一季度总产值为330万元， ∴可列方程为， 故选：C． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围（    ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：B． 11. 已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，灵活运用二次函数的图像及性质是解答本题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线为，根据二次函数与线段恰有两个交点得到，分类讨论：当在函数图像上，当在函数图像上，由此即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴直线为， ∵抛物线与线段恰有两个交点， ∴， 当在函数图像上时，则有：， 解得，或 当在函数图像上时，则有：， 解得(舍)或； 当时，抛物线与线段恰有两个交点， 故答案为： C． 12. 已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断①；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断②；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③；根据对称轴得出，结合时，即可判断④；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥；综上即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴，， ∴，故①正确， ∵抛物线轴的一个交点在和之间， ∴图像与轴的另一个交点在和之间， ∴时，即，故②错误， ∵图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③错误， 由图像可知：时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，故⑤正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴对称的两个根的和为2， ∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥正确， 综上所述：正确的结论有①④⑤⑥，共个， 故选：D． 二、填空题（18分） 13. 写出一个以x为未知数且二次项系数为1的一元二次方程，使方程的两个根为：和3，则该方程为：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系．根据，，假设，即可得出b和c的值，进而可写出相应的一元二次方程． 【详解】解：∵，， 假设， 则， ∴和3为根且二次项系数为1的一元二次方程为． 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，点与点B关于原点对称，则B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为； 故答案为：． 15. 将抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得图象与x轴交点坐标为______． 【答案】， 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得平移后的解析式，进而求出交点坐标即可解题. 此题主要考查了二次函数图象与几何变换和抛物线与x轴交点坐标，正确记忆二次函数图像的平移规律（左加减右，加上减下）是解题关键． 【详解】解：抛物线的图象，向左平移4个单位，再向下平移3个单位， 所得图象的解析式为：. 当时，即，解得：；， 即所得图象与x轴交点坐标为，. 故答案为：，． 16. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 17. 关于的方程是一元二次方程，则的值为的______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 18. 投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为_____________m． 【答案】0.3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 三、解答题（66分） 19. 已知抛物线的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求的解析式． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：物线的顶点式解析式y=a（x-h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可． 试题解析：∵抛物线l1的最高点为P（3，4）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+4， 把点（0，1）代入得， 1=a（0-3）2+4， 解得，a=-， ∴抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，将△ABO向左平移6个单位长度得到△A1B1O1；将△A1B1O1绕点B1按逆时针方向旋转90°后，得到△A2B2O2，请画出△A1B1O1和△A2B2O2，并直接写出点O2的坐标． 【答案】 如图所示，△A1B1O1、△A2B2O2即为所求： 其中点O2的坐标为（﹣3，﹣3）． 【解析】 【分析】分别作出平移变换和旋转变换后的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】略 【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换、平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义、性质． 21. 已知二次函数，求证，不论取何实数，图象总与轴有两个不同的交点． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∵不论取何实数，， ∴， 即， ∴不论取何实数图象总与轴有两个不同的交点． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，再利用配方法转化即可求证，掌握一元二次方程根的判别式及配方法是解题的关键． 【详解】证明：略． 22. 电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆． （1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元． 【答案】（1）20％；（2）273000． 【解析】 【分析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x) (1＋x) ＝150(1＋x)2. 据此列出方程求解. （2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案． 【详解】解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得 150（1+x）2=216， 解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去） 答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％． （2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％， ∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180 ∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆） ∴（元） 答：该经销商1月至3月共盈利273000元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及有理数的乘法的应用，理解题意，列出方程是解题关键． 23. 在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 【答案】（1）经过4秒，是等腰三角形； （2）经过3秒，的面积是矩形的面积的； （3）经过秒或秒，是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由是等腰三角形，则，再列方程求解即可； （2）由的面积是矩形的面积的列方程，解方程可得答案； （3）先分别表示，，，再根据是直角三角形分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故经过4秒，是等腰三角形； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 整理得，，即， ∴， ∴经过3秒，的面积是矩形的面积的； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，则， ∴，（负值舍去）； 当时，即， ∴或（不合题意舍去）， 当时，不存在，舍去， 综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，分类讨论是解题的关键． 24. 阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． （1）仿照例题进行解答即可； （2）令，然后转化成，再根据判别式得到，最后仿照例题解答即可； （3）令，得到，然后根据判别式得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 或， 解得：或， ∴不等式的解集是或； 【小问2详解】 解：令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：令， ， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， ， 或， ∴或． 25. 如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得或（不合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得， 解得（舍去）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴， 整理得， 解得（舍）或， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得， 解得或， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $