精品解析：广东省广州市海珠区聚德中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

广州市聚德中学2025学年（上）期中质量监测 九年级数学 本卷共4页，共25道题，考试时间120分钟，满分120分 一、判断题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 4. 函数的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 没有最大值 5. 把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，、是的两条弦，延长、交于点，连结、交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程的两根是，，则：________，________． 12. 已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 13. 已知点与点．关于原点对称，则______ 14. 圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是方程x2-4x+m=0的根，且直线与⊙O相切时，m的值为__________________. 15. 如图，已知点P在等边内，且，，，则______°． 16. 抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是______________． 三、解答题（共72分） 17. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知抛物线与轴相交于点 （1）______，该抛物线的顶点坐标为______ （2）在直角坐标系中画出图象：列表取点 x … … y … … （3）根据图象，直接写出不等式的解集是______． 19. 已知如图所示（顶点、、都在格点上）． （1）请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． （2）请画出与关于原点对称的． （3）在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 20. 如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． （1）长为______ （2）当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 22. 已知关于的函数 （1）求证：无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． （2）若此函数图像与轴的两个交点为点和点，且有，试求的值． 23. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕原点顺时针旋转后得到． （1）点的坐标为______ （2）已知点在线段上，且，若抛物线经过点、，请求出抛物线解析式． （3）若点在（2）中的抛物线上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 24. （1）如图①，在正方形中，的顶点，分别在、上，高AG等于正方形的边长，求的度数． （2）如图②，在中，，，点，是边上的任意两点，且，试探究BE，EF，FC之间的数量关系，并证明你的结论． （3）在图①中，连接分别交，于点，，若有，，，求，的长． 25. 已知抛物线与y轴交于点C． （1）该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． （3）已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市聚德中学2025学年（上）期中质量监测 九年级数学 本卷共4页，共25道题，考试时间120分钟，满分120分 一、判断题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）逐一判断各选项． 【详解】解：一元二次方程必须同时满足：整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2． 对于A： 中含有根号，不是整式方程； 对于B： 是分式方程，不是整式方程； 对于C： 化简后为 ，是一元一次方程； 对于D： 是整式方程，且只含一个未知数，最高次为2， 故选：D． 2. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照轴对称图形和中心对称图形的定义去判断即可. 【详解】∵平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形, ∴圆与平行四边形组合图形是中心对称图形， ∴选项A错误； ∵正方形，圆是中心对称图形,也是轴对称图形, ∴圆与正方形的组合图形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴选项B正确； ∵等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形, ∴圆与等边三角形的组合图形是轴对称图形， ∴选项C错误； 两个三角形组成的图形是中心对称图形， ∴选项D错误. 故选B. 【点睛】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握两种对称的基本概念，并能灵活运用是解题的关键. 3. 如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 考点：圆周角定理 4. 函数的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 没有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据对称轴以及开口方向即可求解； 【详解】解：∵ ，对称轴为：直线， ∴当时，； 故选：B 5. 把抛物线的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行整理即可． 【详解】解：向右平移2个单位，得： ， 再向上平移3个单位，得： 所得的抛物线的函数关系式为 ， 故选：A． 6. 一元二次方程配方后变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程中配方法，掌握配方法是解题的关键． 首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【解答】∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 7. 如图，、是的两条弦，延长、交于点，连结、交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解题的关键是理解同弧所对的圆周角相等．先根据三角形外角的性质求了，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 8. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，即得结果． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B 9. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A. B. =10 C. D. =10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，即可列出方程． 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手次； 依题意，可列方程为：； 故选：B． 10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）， ∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确； ∵x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0，②正确； 根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为-2，③错误； 使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，④错误， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程的两根是，，则：________，________． 【答案】 ①. 3 ②. 1 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系（一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2=）求解． 【详解】∵ ∴. 故答案是：3,1. 【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2= ．也考查了一元二次方程的解． 12. 已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵和是抛物线上面的点，且， ∴； 故答案为： 13. 已知点与点．关于原点对称，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：点 与点 关于原点对称， 点的横坐标等于点的横坐标的相反数，点的纵坐标等于点的纵坐标的相反数， 即： 和 ， 解得 ，， 则 ， 故答案为：3． 14. 圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是方程x2-4x+m=0的根，且直线与⊙O相切时，m的值为__________________. 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：若直线与圆相切，则d=r，即方程有两个相等的实数根，得16-4m=0．m=4． ∵直线与圆相切， ∴d=r ∴=16-4m=0 ∴m=4 考点：（1）直线与圆的位置关系；（2）根与系数的关系． 15. 如图，已知点P在等边内，且，，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 16. 抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有3个公共点时，的范围（或值）是______________． 【答案】，，， 【解析】 【分析】分别求出与直线的图形有唯一交点、与直线的图形有唯一交点、直线经过抛物线与x轴的交点时，对应m的值，然后观察图象即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵、关于轴对称， ∴的解析式为， 联立方程组， 化简得， 当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 联立方程组， 化简得， 当与直线的图形有唯一交点时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 当线经过时， 则， ∴； 当线经过时， 则， ∴； 观察图象可知：当，，，时，和组成的图象与直线有3个公共点． 故答案为：，，，． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质，二次函数与一次函数的交点等知识，较难，利用数形结合与分类讨论的思想是解答本题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 整理得， ， 或， ，． 18. 已知抛物线与轴相交于点 （1）______，该抛物线的顶点坐标为______ （2）在直角坐标系中画出图象：列表取点 x … … y … … （3）根据图象，直接写出不等式的解集是______． 【答案】（1）3； （2） 列表取点 x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 描点画图得： （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制及不等式解集，解题的关键是利用抛物线与轴的交点求出参数，再结合二次函数的性质分析． （1）将点代入抛物线解析式求，再将解析式化为顶点式得顶点坐标； （2）确定抛物线的关键点（顶点、与坐标轴交点等），列表取值后绘制图象； （3）根据抛物线图象在轴下方的部分，确定不等式的解集． 【小问1详解】 解：把代入， 得． 将代入抛物线方程，得到． 抛物线的顶点坐标公式为，其中， ， ． 代入公式，得到顶点坐标为，即． 故答案为：3；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 观察草图，当或时，抛物线在轴下方，即． 不等式的解集为或． 故答案为：或． 19. 已知如图所示（顶点、、都在格点上）． （1）请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． （2）请画出与关于原点对称的． （3）在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示， （2） 如图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转，中心对称，轴对称，掌握相关知识并按要求画出对应的图形是解题的关键． （1）根据网格特点和旋转的性质得到点绕点C 逆时针旋转后的对应点，依次连接即可． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出，依次连接即可． （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则最小，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 先过x轴作的对称点，连接，与x轴相交于点P，连接， 根据图形可知此时三点共线，的值最小，点P坐标为． 20. 如图，在同心圆中，大圆的弦与小圆相交于点和点，已知，． （1）长为______ （2）当大圆的半径是5时，求小圆的半径长． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，进而得出，再根据“角角边”证明，得到，则此题可解； （2）作，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，接下来求出，然后根据勾股定理得即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【小问2详解】 解：如图，过点O作，交于点E， 则， 在中，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴小圆的半径为． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元 【解析】 【分析】本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 22. 已知关于的函数 （1）求证：无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． （2）若此函数图像与轴的两个交点为点和点，且有，试求的值． 【答案】（1） 证明：由题意可得， ， 故无论取何值时，此函数图像与轴总有两个交点． （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系． （1）求出的值，根据的取值范围即可证明函数图象与x轴总有两个交点． （2）根据根与系数的关系可得，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：函数图像与轴的两个交点为点和点， 的两个根分别为， ，， ， ， ， 解得 或 ． 23. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，将绕原点顺时针旋转后得到． （1）点的坐标为______ （2）已知点在线段上，且，若抛物线经过点、，请求出抛物线解析式． （3）若点在（2）中的抛物线上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式求出点的坐标，利用旋转的性质即可得到点的坐标； 利用一次函数的解析式求出点的坐标，利用旋转的性质即可得到点的坐标，根据可知点是的中点，利用平面直角坐标系中线段中点坐标的公式即可求出点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； 设点的坐标是，点的坐标是，利用平面直角坐标系中线段中点坐标的公式，分情况列方程组求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 由旋转可知， ， 点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图所示， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， ， ， ， ， 又， ， ， ， 点是的中点， 点的坐标是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解：， 抛物线的解析式是； 【小问3详解】 解：点在抛物线上， 设点的坐标是，点的坐标是， 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 解得：或， 点的坐标是或(与点重合，不符合题意，舍去)； 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 解得：或， 点的坐标是或(与点重合，不符合题意，舍去)； 当是平行四边形的对角线时， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 方程无解； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求二 次函数的解析式、平行四边形的性质、平面直角坐标系中线段中点坐标的公式、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质． 24. （1）如图①，在正方形中，的顶点，分别在、上，高AG等于正方形的边长，求的度数． （2）如图②，在中，，，点，是边上的任意两点，且，试探究BE，EF，FC之间的数量关系，并证明你的结论． （3）在图①中，连接分别交，于点，，若有，，，求，的长． 【答案】（1）； （2），理由如下： 将顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）由证明、即可，只需证明一对全等，另一对同理可证； （2）利用旋转的性质得到，，再利用全等三角形的性质得到，，最后利用勾股定理即可解答； （3）设，则，．得出．解这个方程，得，（舍去负根）．求出．由（2）知，，则．则可得出答案． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴（）， ∴， 同理， ∴； （2） 略 （3）由（1）知，，． 设，则，． 在中， ∵， ∴． 解这个方程，得，（舍去负根）． 即． 在中， ∴． 由（2）知． 设，则． 即， ∴． 即． 25. 已知抛物线与y轴交于点C． （1）该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于点、B，且点E是该抛物线上位于直线下方的点，求出四边形的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标． （3）已知点，若该抛物线与线段有交点，试求a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，四边形的最大面积为，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点C坐标和对称轴，进而利用相似比对称性求出点D坐标； （2）先求出抛物线解析式，易得点B坐标，进而求出直线解析式，再利用割补法可得 ，据此求解即可； （3）分两种情况，或，利用数形结合即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线， 令，得， ∴， ∴点C关于直线对称点为， ∴； 【小问2详解】 解：将代入得，，解得， ∴抛物线解析式为， 根据对称性可知， 设直线解析式为，将点B、C坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过E作轴交于点E， 设，则， ∴， 则 ， ∴当时，四边形的最大面积为，此时； 【小问3详解】 解：当时，如图， 只有保证点M在抛物线下方（包括抛物线上），则抛物线与线段有交点， 当时，， ∴； 当时，如图， 此时只有保证抛物线顶点在线段上方（包括上），则抛物线与线段有交点， 由可得直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴顶点坐标为，此时直线上的点为， ∴，解得； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数点的坐标特征、坐标与图形面积、二次函数与直线交点问题等内容，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $