精品解析：福建省厦门市海沧北附学校2025—2026学年上学期阶段性学业诊断八年级数学试题

厦门市海沧区北附学校教育集团 2025—2026学年第一学期阶段性学业诊断 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，需注意两边之和必须严格大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，推导a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴根据三角形三边关系得，即 选项A.2不在范围内，B.5不满足，C.7满足，D.9不满足． 故选：C． 3. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形两边的和大于第三边 B. 三角形两边的差小于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性， 故选：C． 4. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6. 如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线，高线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余得出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：D． 8. 在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 随着A，C位置的变化而变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 二、填空题（本大题有8小题，第9题6分，其他每小题4分，共34分） 9. 计算：（1）____；（2）____；（3）____． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方进行计算即可求解﹒ 【详解】解：（1）； （2）； （3）﹒ 故答案为：，， 10. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴的点的坐标规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接写出答案即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为： 12. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是________． 【答案】58米## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意得到，然后利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 在和中， ∴， ∴， 即池塘两岸A，B两点的距离是58米． 故答案为：58米． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． 先根据轴对称性质求得，再根据三角形的内角和定理求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 14. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得到n边形的不同三角剖分方法数（）公式．后来数学家发现并证明：当时，，已知，请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了多边形对角线问题，代数式求值．利用递推公式 和已知，逐步计算和即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，故， ∴当时，； 故答案为：5． 15. 如图，中，，平分，垂足E在的延长线上，若，则____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，添加辅助线找到所求线段与已知线段的关系是解题关键． 延长，交于点，由“”可证，可得，由“”可证，得到即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， 平分， ，，且， ， ， ， ，， ， 又∵，， ， ， 故答案为：6． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是20，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）解方程组； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的解集，熟练掌握消元法解方程组，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ，得， 把代入②，得，解得； ∴方程组的解为； （2）， ， ， ， 解得． 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明： 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， 先利用证明，再得出，则根据同位角相等，即可判定两直线平行． 【详解】略 19. “三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，射线即为所求的作角平分线； （2） 证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知在中，． （1）尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 【答案】（1） 解：点P即为所求作： （2）4 【解析】 【分析】本题考查基本尺规作图、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，正确作图是解答的关键． （1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤画图即可； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点D， ∴． 22. 如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质等知识． （1）证明，得到，即可得到点、点都在的垂直平分线上，从而得到垂直平分； （2）先求出，根据三角形面积公式得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为，， ∴， 即， ∴． 23. 与全等三角形类似，能够完全重合的两个四边形叫作全等四边形．把两个全等的四边形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角． （1）请你直接写出一条全等四边形的性质； （2）求证：四条边和一个角分别相等的两个四边形全等．（请画出图形，并写出已知、求证和证明过程） 【答案】（1）全等四边形的对应边相等，对应角相等。 （2） 已知：如图，，，，，， 求证：四边形四边形 证明：分别连接和， 在和中， ∵， ∴ ∴；，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，； 两个四边形的对应边相等，对应角相等， ∴四边形四边形． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，四边形全等的判定； （1）类比全等三角形的性质可得答案； （2）由全等三角形的性质可得；，，再证明，结合全等三角形的性质可得结论； 【小问1详解】 解：类比全等三角形的性质，可以得到全等四边形的性质如下： 关于边：全等四边形的对应边相等； 关于角：全等四边形的对应角相等； 【小问2详解】 略 24. 数学活动课上，同学们进行了“玩转直角三角形”的拼图活动．如图1，，，，把和剪下来，用它们进行拼图． （1）将边与边重合，顶点与不重合，尺规作图：请你画出所有可能的拼图结果； （2）在（1）的结果中选择一种情况，连接，试判断与的关系，并证明． （3）若，如图2，将顶点与重合，顶点在边上进行拼图，延长交于点，求的大小． 【答案】（1） 情况 1： 与分别在同侧 情况 2： 与分别在两侧，、重合，、重合； 情况 3： 与分别在两侧，、重合，、重合； （2） 情况1：结论：、且被平分． 证明：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴、且被平分． 情况 2：结论：被平分； 证明：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴被平分． 情况3：结论： 且被平分． 证明：∵， ∴，，， ∴，，、共线， ∴且被平分． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等直角三角形性质、直角三角形角关系、直角三角形的边比例等知识点； （1）分与分别在同侧或两侧画图即可； （2）利用全等直角三角形性质、垂直于同一条直线的直线平行的知识点，即可解答； （3）利用全等直角三角形性质和线段间的关系，求出的长度，再根据直角三角形的边比例即可求出的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交于点， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 25. 如图1，等腰直角中，，线段经过点C，过A作于点D，过B作于E． （1）求证：． （2）如图2，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点B是第二象限中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点B的坐标； （3）如图3，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在等腰直角中，，点M在线段上从O向B运动（运动到点B停止），以点M为直角顶点向右上方做等腰直角，求点N移动的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． （2）或 （3）16 【解析】 【分析】（1）根据，可得，然后根据即可证明结论； （2）先求得的长，分点C为直角顶点时且点B在左侧，点A为直角顶点时且点B在左侧两种情况，再结合点B在第二象限和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）如图，过点M作轴于点E，过点N作于点E，设，再证，可得，故，进而求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，， ∴， ①当点C为直角顶点时，且点B在左侧时， 如图1，过点作⊥x轴于点D． ∵为等腰直角三角形，轴，轴． ∴由（1）中结论得：， ∴， ∴， ∴ ； ②如图2：当点A为直角顶点时，且点B在左侧时， 如图2，过点作轴于点E． ∵为等腰直角三角形，轴，轴． ∴由（1）中结论得：， ∴， ∴， ∴． 综上，若是以为直角边的等腰直角三角形，点B的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点M作轴于点E，过点N作交延长线于点E， 在等腰直角中，， ∴ ∵轴， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形，轴，， ∴由（1）结论得：， ∴， ∴， ∴点N在直线上运动，当点M在O点时，点N的坐标是， 当点M在点B时，， ∴此时点N的坐标是． ∴点N运动的距离是16． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想成为解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区北附学校教育集团 2025—2026学年第一学期阶段性学业诊断 八年级数学试题 （满分150分；完成时间120分钟） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若三角形的三边长分别为2，7，a，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 9 3. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢钎架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形两边的和大于第三边 B. 三角形两边的差小于第三边 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 4. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，平分，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 随着A，C位置的变化而变化 二、填空题（本大题有8小题，第9题6分，其他每小题4分，共34分） 9. 计算：（1）____；（2）____；（3）____． 10. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得长为58米，则池塘两岸A，B两点的距离是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，若，，点B与D关于y轴对称，，则点C的坐标是_____． 14. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分成若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．瑞士数学家欧拉向德国-俄国数学家哥德巴赫提出一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得到n边形的不同三角剖分方法数（）公式．后来数学家发现并证明：当时，，已知，请你利用上述公式计算五边形的三角剖分方法数_____． 15. 如图，中，，平分，垂足E在的延长线上，若，则____． 16. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是20，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 三、解答题（本大题有9小题，共84分） 17. （1）解方程组； （2）解不等式：． 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：． 19. “三等分角”大约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，求度数． 20. 如图，是的外角． （1）尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 21. 如图，已知在中，． （1）尺规作图：在边上求作点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若于点D，，求的长． 22. 如图，是的角平分线，，垂足分别是，，连接，与相交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若的面积为，，求的长． 23. 与全等三角形类似，能够完全重合的两个四边形叫作全等四边形．把两个全等的四边形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角． （1）请你直接写出一条全等四边形的性质； （2）求证：四条边和一个角分别相等的两个四边形全等．（请画出图形，并写出已知、求证和证明过程） 24. 数学活动课上，同学们进行了“玩转直角三角形”的拼图活动．如图1，，，，把和剪下来，用它们进行拼图． （1）将边与边重合，顶点与不重合，尺规作图：请你画出所有可能的拼图结果； （2）在（1）的结果中选择一种情况，连接，试判断与的关系，并证明． （3）若，如图2，将顶点与重合，顶点在边上进行拼图，延长交于点，求的大小． 25. 如图1，等腰直角中，，线段经过点C，过A作于点D，过B作于E． （1）求证：． （2）如图2，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点B是第二象限中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点B的坐标； （3）如图3，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在等腰直角中，，点M在线段上从O向B运动（运动到点B停止），以点M为直角顶点向右上方做等腰直角，求点N移动的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $