精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试题

2024年重庆一中初2026届初二上期半期考试 数学试题卷 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答愿卡中对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，属于无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ） A B. C. D. 6. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为 （ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 7. 如图，在运动会200米比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲、乙两人在比赛中的路程与比赛时间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A. 乙的速度为 B. 甲在时追上了乙 C. 甲的速度为 D. 甲比乙晚出发了 8. 直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 10. 如图，，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，跳蚤按此规律一直跳下去，则坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，为延长线上一点，连接，，为上方一点，且，连接，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，于点，．．于点，交于点，，过点作于点，交于点，连接，为延长线上一点，且使得，下列结论：①；②；③．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 13. 近年来，我国气象综合观测体系的发展取得了显著成效，截止今年10月，全国累计建成76000余个地面自动气象观测站，实现全国乡镇全覆盖，76000用科学记数法表示为_________． 14. 计算：______________． 15. 有五张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作，则使直线与轴交于正半轴的概率为____________． 16. 已知，则代数式的值为________． 17. 一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 18. 如图，在中，，于点，为边上一点，将沿直线翻折到所在平面内，点的对应点为，连接交于点，若，则点到的距离为___________． 19. 若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为___________． 20. 我们规定：若一个四位数满足千位数字是百位数字的2倍，十位数字与个位数字的和为9，则称这个数为“求知数”，如：四位数2145，因为，所以2145是“求知数”．若一个“求知数”的千位与百位数字之和被7除余2，则称这个数为“求知求真数”．按照这个规定，最小的“求知求真数”为______________；已知一个“求知数”m，其千位数字为a，百位数字为b，且m的值可表示为（其中，且均为整数），若能被13整除，则满足条件的所有的和为__________． 三、解答题：（本大题8个小题，第28 题12分，其余每小题 10分，共82 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. （1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 22. 近年来，随着大数据的兴起，技术进入了快速发展期，各类人工智能软件随之产生．为了解用户对两款人工智能软件的满意程度，现从对两款人工智能软件参与评分的用户中，各抽取20位，并对其评分（百分制）数据进行整理、描述、分析．所有评分均高于60分（评分分数用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 抽取的对款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 86 85.5 96.6 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对款人工智能软件进行了评分，有800名用户对款人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 23. 在学习了等腰三角形和中垂线的相关知识后，小明同学进行了拓展性研究，他发现，等腰三角形底边上的高的中垂线与两腰的交点恰好是两腰的中点，可利用中垂线的性质和等腰三角形的性质得到此结论，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在等腰中，为边上高，用尺规作的中垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：在等腰中，点，分别在，上，为边上的高，垂直平分．求证：，分别为，的中点． 证明：∵垂直平分， ∴_______①________， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵在中，， ∴_________②________， ∴， ∴_________③_______， ∴点为的中点， 同理可得：点为的中点， 进一步思考，如果是任意三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想结论：____④___． 24. 如图 1，在四边形中，，． 动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当的面积大于3时，的取值范围． 25. 如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． （1）求敌方汽车的速度； （2）侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 26. 俗话说“冬腊风腌，蓄以御冬”，随着12月6日大雪节气的到来，愈加寒冷的天气更适合腊肉、腊肠的保存，成品腊味深受人们的喜爱．某超市计划购进大量腊肉和腊肠，已知购进2斤腊肉，3斤腊肠需要235元；购进3斤腊肉，5斤腊肠需要375元． （1）求每斤腊肉和腊肠的进价各为多少元； （2）该超市计划购进腊肉和腊肠共240斤，且腊肉斤数不低于腊肠斤数的，已知该超市腊肉售价为每斤58元，腊肠利润率为，则该超市如何进货才能使利润W最大，最大利润为多少元？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点为线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的周长最小时，在轴正半轴上找一点，连接，若，求点的坐标； （3）将绕点顺时针旋转得到，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 28. 在中，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，E为外一点，连接，且，若，，连接，求线段的长； （2）如图2，过点D作于点G，平分交于点H，连接，，若，求证：； （3）如图3，若，F为边上一点且，M为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，过作的垂线，N为垂线上一动点，连接，将绕着点N逆时针旋转到，连接，在M、N运动过程中，当线段和均取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年重庆一中初2026届初二上期半期考试 数学试题卷 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答愿卡中对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，属于无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、2为整数，属于有理数，故不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是分数，是有理数，故不符合题意； D、为整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据各象限内点的坐标特征进行分析解答即可． 【详解】解：点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(−，+)；第三象限(−，−)；第四象限(+，−)． 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，从而确定自变量的取值范围，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数中，二次根式的被开方数必须满足， ∴， 故选：D． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．直接根据不等式的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、，当或时，不能得到，故不等式不一定成立，故本选项不符合题意； B、，不等式两边都乘以，可得，故本选项符合题意； C、，不等式两边都加，可得，故本选项不符合题意； D、，当或时，不能得到，故不等式不一定成立，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 6. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为 （ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，的指数必须为，从而求出的值；再将已知解代入方程求出的值，最后计算． 【详解】∵ 方程是关于，的二元一次方程， ∴ x的指数，解得， ∴ 方程为， 将，代入方程：，即， 解得， ∴． 故选：D． 7. 如图，在运动会200米比赛中，运动员甲因为起步摔跤，导致晚出发了几秒钟，甲、乙两人在比赛中的路程与比赛时间的关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A. 乙的速度为 B. 甲在时追上了乙 C. 甲的速度为 D. 甲比乙晚出发了 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． A．根据速度=路程÷时间计算即可； B．由图象可知，当乙的路程为时被甲追上，根据乙的时间=乙的路程÷乙的速度计算即可； C．根据B，利用速度=路程÷时间计算即可； D．根据时间=路程÷速度求出甲追上乙时所用的时间，从而求出甲比乙晚出发的时间． 【详解】解：乙的速度为，∴A正确，不符合题意； 甲追上乙所用时间为，∴B正确，不符合题意； 甲的速度为，∴C错误，符合题意； 甲比乙晚出发了，∴D正确，不符合题意． 故选：C． 8. 直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象判断和的取值范围，看是否一致，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； B、由图象可得：直线经过第一、二、三象限，故，；直线经过第一、二、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； C、由图象可得：直线经过第一、三、四象限，故，；直线经过第二、三、四象限，故，，即，，故符合题意； D、由图象可得：直线经过第一、二、四象限，故，；直线经过第一、三、四象限，故，，即，，互相矛盾，故不符合题意； 故选：C． 9. 如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 10. 如图，，为轴正半轴上一点，且，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动．第一步从跳到处，第二步从跳到处，且，第三步从跳到处，且，第四步从跳到处，且，……，跳蚤按此规律一直跳下去，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，利用直角三角形的性质得出，，再利用勾股定理求得，然后求得，同理可求得、，从中找出规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ......， ∴， ∴的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，含度角的直角三角形，积的乘方的逆用，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 11. 如图，在中，为延长线上一点，连接，，为上方一点，且，连接，若平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 由等边对等角以及三角形内角和定理可得；由三角形外角的性质可得，即；再根据三角形外角的性质可得，由角平分线的定义可得、，进而得到关于的方程求得即可． 详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：． 12. 如图，在中，，于点，．．于点，交于点，，过点作于点，交于点，连接，为延长线上一点，且使得，下列结论：①；②；③．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，面积问题，正确地作出辅助线是解题的关键．由，于点，得，，，由于点，得，可推导出，进而证明，得，，所以，可判断①正确；连接，可证明，则，推导出，则，可判断②正确；再证明，则，，作于点，则，所以，再证明，得，，所以，，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：，于点， ，，， ， 于点，，交于点， ， ， 在和中， ， ．．， ，，， ， 故①正确； 连接，则， ，，于点， ，， ， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ，， 作于点，则， ， ， 和中， ， ， ，， ，， ， 故③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将正确答案填在答题卡中对应的横线上． 13. 近年来，我国气象综合观测体系的发展取得了显著成效，截止今年10月，全国累计建成76000余个地面自动气象观测站，实现全国乡镇全覆盖，76000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：76000用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. 计算：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算法则，直接根据法则计算即可． 详解】∵， ， 所以 ． 故答案为：． 15. 有五张正面分别标有数字，，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，先将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将抽取到的卡片上的数字记作，则使直线与轴交于正半轴的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质及概率的求法．直线与轴交于正半轴的条件是，从卡片中找出满足的数字，计算其数量与总卡片数的比值即可求解． 【详解】∵直线与x轴的交点满足， 即， 解得． 若交点在正半轴时，则， 即， ∴． ∵卡片上的数字中，大于的有、、，共个， 又∵总卡片数为，因此概率为． 故答案为：． 16. 已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 17. 一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性和最值问题．根据一次函数的性质，当时，函数值随增大而增大；当时，函数值随增大而减小；当时，分两种情况讨论最大值与最小值的差，列方程求解即可． 【详解】当时，函数值随增大而增大， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 当时，函数值随增大而减小， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 综上可得的值为或． 故答案为：或． 18. 如图，在中，，于点，为边上一点，将沿直线翻折到所在平面内，点的对应点为，连接交于点，若，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点．利用勾股定理面积法求出，，再证明，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴， ，关于对称， ， ， ， ， ，，， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 20. 我们规定：若一个四位数满足千位数字是百位数字的2倍，十位数字与个位数字的和为9，则称这个数为“求知数”，如：四位数2145，因为，所以2145是“求知数”．若一个“求知数”的千位与百位数字之和被7除余2，则称这个数为“求知求真数”．按照这个规定，最小的“求知求真数”为______________；已知一个“求知数”m，其千位数字为a，百位数字为b，且m的值可表示为（其中，且均为整数），若能被13整除，则满足条件的所有的和为__________． 【答案】 ①. 6309 ②. 8463 【解析】 【分析】本题主要考查了数的整除特征以及有理数的认识，根据“求知数”和“求知求真数”的定义即可求解． 【详解】解：设“求知求真数”的百位数字为x，则千位数字为，十位数字为a，个位数字为b，依题意有， ， 当时，，，，（不合题意舍去）； 当时，，，，（不合题意舍去）； 当时，，，，，符合题意，此时， “求知求真数”要最小， ∴，， 所以，最小的“求知求真数”为6309； ∵， ∴m千位数字为a，百位数字为b， ∵m为求知数， ∴， ∴，4，6，8， ∵， ∴， 令， ∵， ∴即是9的倍数 当时，能被13整除， ∴能被13整除， ∴， 解得：， ∴； 当时，能被13整除， ∴能被13整除， ∴， 此时，c，d无解； 当时，能被13整除， ∴能被13整除， ∴， 解得：，， ∴； 当时，能被13整除， ∴能被13整除， ∴， 此时，， ∵， ∴不合题意舍去； 综上所述，或6318， ∴， 故满足条件的m的和为8463， 故答案为：6309；8463． 三、解答题：（本大题8个小题，第28 题12分，其余每小题 10分，共82 分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 21. （1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 【答案】 （1） （2），解集在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式；解答的关键是相应的知识的掌握与运用． （1）先用加减消元法，即可求解； （2）直接求该不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为：． （2）去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化一得． 解集表示在数轴上为： 22. 近年来，随着大数据的兴起，技术进入了快速发展期，各类人工智能软件随之产生．为了解用户对两款人工智能软件的满意程度，现从对两款人工智能软件参与评分的用户中，各抽取20位，并对其评分（百分制）数据进行整理、描述、分析．所有评分均高于60分（评分分数用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 抽取的对款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 86 85.5 96.6 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对款人工智能软件进行了评分，有800名用户对款人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1），， （2）B款人工智能软件更受用户欢迎，理由见解析 （3）340名 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：B款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以B款得分的中位数为：， A款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以A款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：B款人工智能软件更受用户欢迎．理由如下： ∵A款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差， ∴B款人工智能软件比较稳定， ∴B款人工智能软件更受用户欢迎． 【小问3详解】 解：∵（名）． ∴估计该次调查对A、B两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为340名． 23. 在学习了等腰三角形和中垂线的相关知识后，小明同学进行了拓展性研究，他发现，等腰三角形底边上的高的中垂线与两腰的交点恰好是两腰的中点，可利用中垂线的性质和等腰三角形的性质得到此结论，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在等腰中，为边上的高，用尺规作的中垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：在等腰中，点，分别在，上，为边上的高，垂直平分．求证：，分别为，的中点． 证明：∵垂直平分， ∴_______①________， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵在中，， ∴_________②________， ∴， ∴_________③_______， ∴点为的中点， 同理可得：点为的中点， 进一步思考，如果是任意三角形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：____④___． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据等角的余角相等得到，所以，则，从而可得判断点为的中点，同理可得点为的中点，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图： 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， 同理可得：点为的中点， 进一步思考，如果是任意三角形，结论：三角形一边上的高的中垂线与其他两边的交点恰好是这两边的中点． 24. 如图 1，在四边形中，，． 动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当的面积大于3时，的取值范围． 【答案】（1） （2）图见解析，当时，随的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当点在上运动时，解析式为，当点在上运动时，过点作于根据长方形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，，，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意画出函数的图象，根据函数图象得到函数的性质； （3）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意，当点在上运动时，解析式为， 当点在上运动时，过点作于， ，， ， 四边形是长方形， ，， 在中，， ∴， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示； 当时，随增大而增大； 【小问3详解】 解：当的面积大于3时，由图象得：； 【点睛】本题考查动点函数问题，三角形的面积，一次函数的图象和性质，利用函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． 25. 如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． （1）求敌方汽车的速度； （2）侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 【答案】（1）敌方汽车的速度为 （2）能成功在C点拦截敌方汽车，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理得，，则，即可解决问题； （2）在中，由勾股定理得，则，再求出敌方汽车的到达点的时间为，再求出我方队员到达点的时间，然后比较，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 答：敌方汽车的速度为； 【小问2详解】 解：能成功点拦截敌方汽车，理由如下： 由题意可知，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，， ， 敌方汽车的到达点的时间为：， 我方队员车速为， 我方队员到达点的时间为：， ， 能成功在点拦截敌方汽车． 26. 俗话说“冬腊风腌，蓄以御冬”，随着12月6日大雪节气的到来，愈加寒冷的天气更适合腊肉、腊肠的保存，成品腊味深受人们的喜爱．某超市计划购进大量腊肉和腊肠，已知购进2斤腊肉，3斤腊肠需要235元；购进3斤腊肉，5斤腊肠需要375元． （1）求每斤腊肉和腊肠的进价各为多少元； （2）该超市计划购进腊肉和腊肠共240斤，且腊肉斤数不低于腊肠斤数的，已知该超市腊肉售价为每斤58元，腊肠利润率为，则该超市如何进货才能使利润W最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每斤腊肉的进价为50元，每斤腊肠的进价为45元 （2）该超市购进腊肉96斤、腊肠144斤才能使利润W最大，最大利润为2064元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列式是解题的关键． （1）设每斤腊肉的进价为x元，每斤腊肠的进价为y元．利用“购进2斤腊肉，3斤腊肠需要235元；购进3斤腊肉，5斤腊肠需要375元”，列式求解即可； （2）设该超市购进腊肉m斤，则购进腊肠斤．利用“腊肉斤数不低于腊肠斤数的”确定m的取值范围，列出W关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每斤腊肉的进价为x元，每斤腊肠的进价为y元． 根据题意，得， 解得． 答：每斤腊肉的进价为50元，每斤腊肠的进价为45元． 【小问2详解】 解：设该超市购进腊肉m斤，则购进腊肠斤． 根据题意，得， 解得， ， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W的值最大，W最大为元，（斤）． 答：该超市购进腊肉96斤、腊肠144斤才能使利润W最大，最大利润为2064元． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点为线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的周长最小时，在轴正半轴上找一点，连接，若，求点的坐标； （3）将绕点顺时针旋转得到，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求得点D坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得A、B坐标，得到和是等腰直角三角形，进而可得，则的周长， 当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为，如图1，过点作轴于，设，利用列方程求得t值即可； （3）分①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况，分别画出对应的图形，利用等腰三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，逐个求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 设直线的解析式为：， 把和代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，； 当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的周长， 当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为， ∴， 如图1，过点作轴于， 对于，当时，，则， 设， ， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：分四种情况： ①当时，如图2，过点作轴于， ∵， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ， 是等腰直角三角形， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的中点的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图2，此时与重合， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； ③当时，如图3，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，； ④当时，如图4，此时与重合，与重合，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、直线与坐标轴的交点问题、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合与分类讨论思想的运用是解答的关键． 28. 在中，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，E为外一点，连接，且，若，，连接，求线段的长； （2）如图2，过点D作于点G，平分交于点H，连接，，若，求证：； （3）如图3，若，F为边上一点且，M为边上一动点，连接，，将沿翻折至所在的平面内，得到，连接，过作的垂线，N为垂线上一动点，连接，将绕着点N逆时针旋转到，连接，在M、N运动过程中，当线段和均取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得长度，过作于点，证，最后在中利用勾股定理求解即可； （2）线段有关系，所以联想等腰直角三角形，过作，交延长线于点，证是等腰直角三角形即可得证，所以很明显要证，根据题意可以，再通过导角推出，所以可证，得到，再通过导角证出，易证，即可得证； （3）先求出，由三边关系可知，当且仅当、、三点共线时取等，所以，再由题识别瓜豆模型——点在直线上，点是主动点，点是从动点，所以需要找到点的运动轨迹，构造全等，将绕点顺时针旋转得到，连接，证，得到，，所以点就在垂直的直线上运动，再根据特殊角求解即可． 【小问1详解】 解：过作于点， 在中，，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，； 【小问2详解】 证明：过作，交延长线于点，则， ，平分， ， 设，则， 于点， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过作于点， 在中，， ， ， 由折叠可知，， ， 在中，， 在中，，当且仅当、、三点共线时取等，如图所示， 此时， 如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接， 绕点逆时针旋转得到， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点就在垂直的直线上运动， 当时，有最小值， 如图所示，连接， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形中所对的直角边是斜边的一半、旋转的性质、折叠的性质等内容，其中最后一问识别瓜豆模型—点在直线上是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $