第13章《勾股定理》周考试卷题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

第13章《勾股定理》周考试卷题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 满分：120分 时间：90分钟 班级：___________ 姓名：____________ 分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．底边长为，底边上的高为的等腰三角形的腰长为（  ） A． B． C． D． 2．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 3．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 5．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形． 若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ） A．13 B．29 C．47 D．94 7．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都 在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 8．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端． 如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 10．如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时 露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m A．4 B．5 C．6 D．7 11．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 12．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 14．如图，一棵树（树干与地面垂直）高8米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为 ． 第14题图 第13题图 第16题图 第15题图 15．如图，在3×4的正方形网格中， 16．如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 三、解答题 17．（10分）用反证法证明：等腰三角形的底角小于． 18．（8分）如图，，垂足为D．如果，，． (1)求、的长度；(2)求证：． 19．（10分）2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 20．（10分）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 21．（10分）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为与的线段、，要求线段的端点在格点上． (2)在图 2中画出一个三条边长分别为5、、的三角形，使它们的顶点都在格点上． (3)试判断图2中这个三角形的形状．（直接判断，不需要说明理由） 22．（10分）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理． (1)如图1，在中，，设，，．利用该“弦图”证明：； (2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四个直角三角形的直角边分别向外延长，使，连接，，，，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若，，，求“数学风车”外围轮廓（图3中实线部分）的总长． 23．（14分）综合与实践 【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第13章《勾股定理》周考试卷题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D C C C A B 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的高也是等腰三角形的中线是解题的关键．根据等腰三角形底边上的高也是中线，将底边平分，形成两个全等的直角三角形，应用勾股定理即可计算腰长． 【详解】解：等腰三角形底边上的高也是中线， 底边的一半为， 又高为， 腰长． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 4．D 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可． 【详解】解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．利用勾股定理求出，根据点A表示的数是1，求出点C表示的数即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴点表示的数为， 故选：C． 9．A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 10．B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 12．C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 13． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程：，求出大树折断部分的高度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ， 即， 解得：， 即这棵树断裂处点离地面的高度的值为 3 米， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．见详解 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 假设等腰三角形的底角大于或等于，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设等腰三角形的底角大于或等于， ∵等腰三角形的两个底角相等， 则两个底角的和大于或等于，则该三角形的三个内角的和一定大于， ∵这与三角形的内角和定理相矛盾， 故假设不成立． 即等腰三角形的底角小于． 18．(1)， (2)见详解 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（2）知，， 因为，， ∴， ∴是直角三角形， 即． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 19．(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 20．(1)40，41；48，50 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理可得长为4、宽为1的长方形的对角线长为，长为3、宽为2的长方形的对角线长为，选择合适的矩形连接对角线即可； （2）根据勾股定理可得长为4、宽为3的矩形的对角线长为5，长为2、宽为1的矩形的对角线长为，长为4、宽为2的矩形的对角线长为，依次连接对角线即可； （3）观察三角形三边边长的关系，由勾股定理的逆定理可证这个三角形是直角三角形； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接长为4、宽为1的长方形的对角线为线段，长为3、宽为2的长方形的对角线长为线段； （2）如图，依次连接长为4、宽为3的矩形的对角线，长为2、宽为1的矩形的对角线长和长为4、宽为2的矩形的对角线； （3）∵， ∴这个三角形是直角三角形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）依据题意得， ，再结合，，正方形边长为，即可解题； （2）依据题意，结合图形，利用勾股定理得出即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知， ∵，，正方形边长为， ∴， 即． （2）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为． 23．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $