吉林省长春市第五中学2025-2026学年高一上学期第二学程考试数学试卷

长 春 市 第 五 中 学 长春市田家炳实验中学 2025—2026学年度 高一年级上学期 第二学程考试 数学学科试题 考试时间：100分钟 满分：120分 出题人：马爽 审核人：高一数学组 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．下列各组中的两个函数是同一函数的为（  ） A． B． C． D． 2．已知幂函数在区间上单调递增，则（  ） A．1 B．-2 C． D．-1 3．，，，则下列正确的是 （  ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为，则函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 5．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 6．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 10．关于的不等式 的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数的最大值为，最小值为，则 13．函数的单调递减区间是 . 14．对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（10分）计算：（需要写出计算过程） （1） （2） 16.(10分)已知函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数，且f(1)=. （1）求实数a和b的值； （2）判断函数f(x)在(-3，3)上的单调性，并证明你的结论； （3）若f(t2-1)+f(1-4t)<0，求实数t的取值范围. 17．（12分）已知指数函数的图像过点，且函数的图像与的图像关于轴对称． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 18． （15分）对于函数，若，则称实数为函数的不动点． 设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 长 春 市 第 五 中 学 长春市田家炳实验中学 2025—2026学年度 高一年级上学期 第二学程考试 数学学科试题 考试时间：100分钟 满分：120分 出题人：马爽 审核人：高一数学组 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．下列各组中的两个函数是同一函数的为（    ） A． B． C． D． 1．D 2．已知幂函数在区间上单调递增，则（    ） A．1 B．-2 C． D．-1 2．A【详解】由题意有，解得或， ①当时，，在区间上单调递减，不合题意； ②当时，，在区间上单调递增，符合题意. 3．，，，则下列正确的是 （    ） A． B． C． D． 3．B【详解】因为，，，即，所以. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．A【详解】由已知得，则，即的定义域为，在函数中，由，解得，所以所求函数的定义域为. 5．某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（，）（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 5．C【详解】设第年获利元，则是正整数，年是第一年， 故，解得 故，即从年开始这家加工厂年获利超过60万元. 6．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．C【详解】由于对任意实数，都有成立，所以在上单调递增， 所以，解得. 7．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．D【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价， 又函数在上单调递减，所以，所以或， 所以或，即满足的的取值范围是. 8．已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．D【详解】由题可得，， ，即，所以，对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D不正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数中，在上的值域是的是（   ） A． B． C． D． 9．AC【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确； 函数，当时，，所以选项B错误； 函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确； 函数当时，，所以选项D错误. 10．若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 10．ACD【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由，即解得或，故B错误； 对于C，因，且，故，故C正确； 对于D，，因，故函数在上单调递增，故D正确. 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 11．ABD【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则，∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵，∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴， ∵，∴，又奇函数为增函数，∴， ，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数的最大值为，最小值为，则 12．【详解】， 可令，则， 为定义在上的奇函数，，则，. 13．函数的单调递减区间是 . 13．【详解】 的定义域为，解得，或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 14．对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 14． 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数，所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立，即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立，. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）计算； 【详解】（1） . （2） （2）原 . 16.(10分)已知函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数，且f(1)=. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数f(x)在(-3，3)上的单调性，并证明你的结论； (3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0，求实数t的取值范围. 解　(1)因为函数f(x)=是定义在(-3，3)上的奇函数，所以f(0)==0，解得b=0，则f(x)= 又因为f(1)=解得a=2，经检验当a=2，b=0时，f(x)是奇函数，所以a=2，b=0. (2)f(x)=x∈(-3，3)，函数f(x)在(-3，3)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(-3，3)，且x1<x2， 所以f(x1)-f(x2)==== 因为-3<x1<x2<3，所以9->0，9->0，x1x2+9>0，x1-x2<0，则<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(-3，3)上单调递增. (3)函数f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，且f(t2-1)+f(1-4t)<0，则f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1)， 因为函数f(x)在(-3，3)上单调递增，所以解得0<t<1， 所以t的取值范围是(0，1). 17．已知指数函数的图像过点，且函数的图像与的图像关于轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 17．(1) (2) (3)最大值，最小值 【详解】（1）设指数函数且，的图像过点， ，解得，，函数的图像与的图像关于轴对称，， ． （2），为单调递减函数，， ，整理得，解得，的取值范围为． （3），是单调递减函数，是单调递增函数， 是单调递减函数，是单调递减函数，在上单调递减函数， 的最大值为，的最小值为． 18．对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，方程可化为，解得或； 所以，函数的不动点为0和1． （2）方程，即，可化为． 令，则当时，关于单调递增，且． 由题意，关于的方程在上有两个不等实根． 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且．所以，． 综上，实数的取值范围为． （3）不等式可化为． 易知，函数在上最大值为，最小值为； 由题意，，，即． 上述不等式可化为． 令，则当时，．由题意，，不等式恒成立． 函数在上单调递增，最大值为； 函数在上单调递减，最小值为． 所以，，即． 综上，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $长春市第五中学 高一年级第二学程考试数学试卷细目表 题号 题型 考查知识点 分值 1 单选题 函数三要素 5 2 单选题 幂函数性质 5 3 单选题 比较大小 5 4 单选题 函数的定义域 5 5 单选题 函数实际问题的应用 5 6 单选题 函数性质 5 7 单选题 函数性质的综合应用 5 8 单选题 指数、对数函数性质 5 9 多选题 函数值域 6 10 多选题 解不等式 6 11 多选题 抽象函数性质 6 12 填空题 函数最值 5 13 填空题 对数函数性质 5 14 填空题 指数函数性质综合 5 15 解答题 指数函数、对数函数计算 10 16 解答题 函数性质综合 10 17 解答题 指数函数性质综合 12 18 解答题 对数函数性质综合 15 1 学科网（北京）股份有限公司 $