【解题模型】专题21碰撞模型-2026高考物理

专题21碰撞模型 模型总结 模型1 碰撞模型 1 模型2 “滑块—弹簧”模型 15 模型3 “滑块—斜(曲)面”模型 29 模型4 “滑块—摆球”模型 43 模型1 碰撞模型 1．碰撞模型 分类 模型特点 示例 碰撞模型 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 有损失 完全非弹性碰撞 守恒 损失最大 2.“一动碰一静”弹性碰撞实例分析 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则有 m1v1＝m1v1'＋m2v2' m1m1v1'2＋m2v2'2 联立解得：v1'＝v1，v2'＝v1 讨论： ①若m1＝m2，则v1'＝0，v2'＝v1(速度交换)； ②若m1>m2，则v1'>0，v2'>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1'≈v1，v2'≈2v1； ③若m1<m2，则v1'<0，v2'>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1'≈-v1，v2'≈0。 1．（25-26高三上·河南商丘·期中）如图所示为一款游戏的装置示意图，质量为3m的物块A静止在光滑水平面上，物块A内有一段光滑的细管道，管道在竖直面内，管道最上端是一段半径为r的圆弧管道，管道最高点离水平面的高度为4r，两管口均与水平面相切。物块A左侧有一轻弹簧放在光滑水平面上，弹簧的左端与竖直固定挡板连接，质量为m的小球B紧靠轻弹簧放置，小球B的直径比管径略小，且管径远小于r，质量为3m的小球C静止在物块A右侧光滑水平面上。现将物块A锁定在水平面上，用力使B球向左移动压缩弹簧，小球B到某一位置时由静止释放，小球B穿过管道后与球C发生弹性碰撞，碰撞后小球B恰好能到达管道的最高点，重力加速度为g，求： (1)球B与球C碰撞后，球C的速度多大； (2)球B第一次通过管道最高点时，对管道的压力大小； (3)若解除对A的锁定，A与C足够远，再用B球压缩弹簧并由静止释放，小球B恰好能通过管道，弹簧开始被压缩的弹性势能为多大；判断小球B与C发生弹性碰撞后能不能再次通过整个管道，如果能，说明理由，如果不能，再次进入管道后上升的最大高度为多少。 2．（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在水平地面上放置木板和滑块，、在同一直线上，滑块置于的左端，三者质量分别为，，。开始时静止，到的右端距离，敲击滑块，使获得的速度向右运动，经过一段时间与发生完全弹性正碰，碰撞时间极短，已知与间的动摩擦因数为，木板的底面光滑，滑块与地面间的动摩擦因数为，木板足够长，重力加速度大小取。求： (1)敲击后，经多长时间与发生第1次碰撞； (2)滑块运动的最大速度； (3)第1次碰撞后经多长时间与间的距离最大。 4．（2025·海南·一模）如图所示，质量为的小车放在光滑水平面上，距小车右端处有一不可移动的障碍物。质量为的滑块放在小车最左端，滑块与小车之间的动摩擦因数为，滑块上方用长为的轻绳悬挂一质量为的小球。把小球拉开60°的角度然后由静止释放，小球在最低点与滑块发生弹性正碰，小球反弹后被取走，不再影响小车和滑块的运动。已知滑块始终未从小车上掉下，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)小球下落过程轻绳的最大拉力大小； (2)小车碰到障碍物时的速度大小； (3)若小车碰到障碍物后原速率反弹，小车的最短长度。 5．（2025·广东清远·一模）如图甲所示，《天工开物》中提到一种古法榨油一撞木榨油，其过程简化为石块撞击木楔，挤压胚饼，重复撞击，榨出油来。现有一长度l=4m的轻绳，上端固定于屋梁，下端悬挂一质量M=180kg的石块，可视为质点。如图乙所示，将石块拉至轻绳与竖直方向成37°角的位置，石块由静止释放，运动至最低点时与质量m=20kg的木楔发生正碰，不计撞击过程的机械能损失，撞击时间t=0.05s，每次撞击后立即将石块拉回原位置。重力加速度g取 。求： (1)撞击前，石块在最低点对轻绳的拉力大小T； (2)撞击后瞬间木楔的速度和石块对木楔撞击的平均作用力大小 F； (3)石块每次在同一位置释放并在最低点撞击木楔。木楔向里运动过程中所受的阻力与它的位移关系如图丙所示。要木楔移动的位移 石块至少需撞击多少次木楔。 6．（2025·河南·一模）在光滑水平面上，质量为、速度为的球跟质量为的静止球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，碰撞后B球的速度可能值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东清远·一模）弹棋是中国古代棋类游戏，晋人徐广《弹棋经》曰，“二人对局，黑白各六枚，先列棋相当，下呼上击之”。弹射过程简化如下：在水平桌面上放置两个质量、大小、材料都相同的棋子，其中A为黑棋、B为白棋（均可视为质点），将黑棋A从左侧以某一初速度快速弹出，两棋子发生正碰（碰撞时间极短），测得两棋子从碰后到停止滑行的距离分别为、L，下列说法正确的是（　　） A．两棋子发生的是弹性碰撞 B．碰撞过程中A、B两棋子所受冲量大小之比为1：2 C．碰后瞬间A、B两棋子的动量大小之比为1：2 D．碰撞过程损失的机械能与碰撞前瞬间A棋子的动能之比为1：4 8．（2025·广东肇庆·一模）在物流仓库的快递分拣线上，有两个质量相等的分拣托盘A和B，初始时两托盘均静止在水平台面上，托盘与平台间的动摩擦因数均为，时刻工作人员将托盘A以m/s的初速度向右推出，s时托盘A与静止的托盘B发生碰撞（碰撞时间极短），碰撞过程中系统有的机械能损失。重力加速度g取10m/s2。求： (1)两托盘之间的初始距离； (2)碰撞后瞬间托盘B的速度大小。 9．（2025·广东·模拟预测）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端固定在光滑斜面的底部，另一端连接质量为m的木块处于静止状态，质量为3 m的小孩从距离木块L处由静止开始沿斜面下滑，随后与木块碰撞后抱着木块一起压缩弹簧，碰撞时间忽略不计，碰后一起下滑的最大距离为，弹簧始终处于弹性限度内，且人的运动方向始终与弹簧的轴线在同一直线上，人和木块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，弹簧的弹性势能，其中k为劲度系数，x为形变量，求： (1)人与木块碰撞过程系统损失的机械能； (2)人与木块碰后一起下滑到最低点的过程中，人对木块做的功W； (3)弹簧的劲度系数k。 10．（2025·北京顺义·模拟预测）如图所示，A、B是两个完全相同的小球，用较长的细线将它们悬挂起来，调整细线的长度和悬点的位置，使两个小球静止时重心在同一水平线上，且恰好没有接触。现将小球A拉起至细线与竖直方向夹角为θ=60°的位置，使其由静止释放，小球A运动至最低点与静止的小球B相碰，碰后两球粘在一起运动。已知细线的长度为L，每个小球的质量均为m，重力加速度为g，忽略小球半径和空气阻力，求 (1)A球运动至最低点时的速度大小v； (2)碰后两球能够上升的最大高度h； (3)碰撞过程中损失的机械能E。 模型2 “滑块—弹簧”模型　 类碰撞模型 分类 模型特点 示例 “滑块—弹簧”模型 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒． (2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒． (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)． (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)． 11．（2025·四川·一模）如图所示，静止于粗糙水平面的P、Q两物块用劲度系数为4N/m的轻质弹簧相连，弹簧由原长压缩0.09m后用轻绳将两物块拴接。P、Q两物块的质量分别为0.2kg、0.4kg，物块与水平面间的动摩擦因数均为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹性势能与形变量x、劲度系数k的关系为，重力加速度取。烧断轻绳至两物块均静止的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两物块与弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．Q物块与P物块所受摩擦力的冲量大小相等 C．P物块运动的路程为0.08m D．P物块的最大动能为0.0112J 12．（2025·陕西渭南·一模）如图甲，一质量为的物块B用一长度为的轻绳悬挂于点处，初始时其与竖直方向的夹角，P点正下方处有一钉子。另一质量为的物块A与轻质弹簧连接，静止于光滑水平面上。现自由释放物块B，当其运动至点正下方时轻绳在钉子的作用下断裂。轻绳在断裂后不影响物块B的后续运动，物块B触地时水平速度不变，竖直速度变为零；然后物块B以水平速度向物块A运动，记物块B与弹簧接触的时刻为，与弹簧分离的时刻为。该过程中，A、B的图像如图乙所示。已知从到时间内，物块A运动的距离大小为。重力加速度为。求： (1)轻绳即将断裂时的拉力； (2)弹簧的弹性势能的最大值； (3)弹簧压缩量的最大值（用表示）。 13．（2025·江西景德镇·模拟预测）在光滑水平面上，静止放着B、C两个物块（靠在一起，没有粘连），质量分别为m和2m，B物块左侧连接有一根原长为，劲度系数为 的轻弹簧，有一个质量为m 的物块A以初速度向右运动，当轻弹簧压缩最短时，A与弹簧立即栓接在一起。已知弹簧的弹性势能表达式可以表示为，x表示弹簧的形变量，不计空气阻力。求： (1)弹簧压缩最短时，A物块的速度大小； (2)设从A接触弹簧开始到弹簧压缩最短过程经历时间为t，求这个阶段B物块运动的位移大小； (3)B、C分离后，弹簧可以达到的最大弹性势能。 14．（2025·四川·一模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳绕过光滑定滑轮与静止在斜面底端点的物块相连，斜面底端与水平地面平滑连接；处于原长的水平轻质弹簧右端固定在竖直挡板上，物块在点紧靠（不拴接）弹簧左端。某时刻起，电动机以恒定功率拉动物块由静止开始沿斜面向上运动，经过时间，物块达到最大速度，同时剪断细绳，之后，物块与碰撞并粘连在一起运动，最终停在某位置。物块和均可看成质点，质量相等都为，与水平粗糙段之间的动摩擦因数都为，、相距。斜面足够长，弹簧始终处于弹性限度内，挡板与间水平地面光滑，不计空气阻力。重力加速度取。求： (1)物块沿斜面向上运动速度最大时的动量大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)两物块一起最终所停位置与点的间距。 15．（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示。物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块C的质量为2kg B．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为72J C．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为24N·s D．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为18J 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，由倾斜部分和水平部分组成的滑块静止在光滑水平面上，倾斜部分的长度，倾角，在底部与水平部分平滑连接，水平部分最右端固定有水平轻弹簧。滑块段粗糙，长度为，其余部分均光滑。物块2放在点，物块1从点由静止释放，两物块恰好在点相碰，并粘在一起，碰撞时间极短。已知物块1、2均可视为质点，物块1经过点时无机械能损失，两物块与段间的动摩擦因数均为，重力加速度，物块1质量为，物块2质量为，滑块质量为。求： (1)、两点间的距离。 (2)两物块第一次通过段的时间。 (3)弹簧的最大弹性势能以及两物块最后停下位置到点的距离。 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图甲所示，带有竖直四分之一圆弧轨道的固定件A固定在光滑的水平台面上，圆弧轨道最低点与表面光滑的滑板B上表面平滑相切，滑板B左侧有足够长的水平光滑延长板，延长板穿过固定件A的水平孔，并且可以无摩擦滑动，滑板B右端有一垂直挡板，挡板上固定一个轻弹簧，滑板B初始时与台面锁定。质量为m的光滑小球自圆弧轨道的左侧最高处由静止释放，当小球将弹簧压缩至最短时，解除滑板B的锁定，小球的动能与弹簧形变量的关系如图乙所示，已知圆弧轨道半径为R、小球质量为m、弹簧第一次被压缩至最短时的形变量为，重力加速度为g。求： (1)小球运动至圆弧轨道最低点时，轨道对小球的支持力大小； (2)滑板B的质量。 18．（2025·湖南长沙·三模）如图甲所示，质量均为m的物块P与物块Q之间拴接一轻质弹簧，静止在光滑的水平地面上，物块P与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，弹簧的弹性势能大小为，时刻解除锁定，规定向右为正方向，图乙是物块Q在时间内运动的图。下列判断正确的是（　　） A．0~时间内，物块P、Q以及弹簧组成的系统机械能、动量都守恒 B．0~时间内，墙对P的冲量大小为 C．0~时间内，合外力对物体Q做功为 D．~时间内，图线与t轴所围的面积大小为 19．（2025·江西·模拟预测）如图，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道PQ固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点Q刚好与光滑水平面相切，质量均为2m的物块A、B静止在水平面上，用轻弹簧连接，轻弹簧刚好处于原长，质量为m的物块C从圆弧轨道上的P点由静止释放，物块C沿圆弧下滑，与物块A发生碰撞，碰撞时间极短，碰后瞬间，物块C的速度恰好为零，不计物块的大小，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，求： (1)物块C运动到Q点时，对圆弧轨道的压力大小； (2)物块A、C碰撞过程损失的机械能和弹簧具有的最大弹性势能； (3)若从物块C与A 碰撞后一瞬间至弹簧第一次达到压缩量最大过程，弹簧的最大压缩量为，物块B运动的位移为，则此过程物块A运动的时间为多少？ 20．（2025·江西吉安·模拟预测）如图所示，物体A和B静止在光滑水平面上，其质量分别为。物体A和轻质弹簧连接，将弹簧压缩后A、B之间用细绳连接，此时弹簧的弹性势能为。某时刻剪断细绳，A、B分离后，B滑上粗糙斜面，然后滑下，之后与一直在水平面上运动的A再次碰撞，一段时间后B再次滑上斜面，在斜面运动的最大位移与前一次之比为。已知A、B分离时物块B距离斜面底端距离，B从A、B分离到A、B再次相碰间隔时间为。求： (1)剪断细绳，弹簧恢复原长时A、B的速度大小； (2)物块B与斜面间的动摩擦因数与斜面倾角的正切值之比 (3)物块B第一次在斜面上运动的最大位移（结果保留2位有效数字）。 模型3 “滑块—斜(曲)面”模型 类碰撞模型 分类 模型特点 示例 “滑块—斜(曲)面”模型 模型特点 (1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0.系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)． (2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)． 21．（2025·河北衡水·二模）如图所示，两个半径均为R的圆槽静止放在水平地面上，圆槽底端点所在平面与水平面相切，相距R。质量为m的小球（可视为质点）从左圆槽上端C点的正上方P点由静止释放，恰好从C点进入圆槽，相距R，圆槽质量均为，重力加速度为g。不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为 B．小球到B点时，相距 C．小球冲上右圆槽的最大高度为 D．小球回到水平面后能冲上左圆槽 22．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，一倾角为、高度为3m、质量为2kg的光滑斜面置于水平地面上，一质量为1kg的可视为质点的滑块沿该斜面顶端由静止滑下。已知重力加速度，取，忽略空气阻力。求： (1)若斜面固定，则滑块滑到斜面底端时，滑块沿斜面方向的速度大小。 (2)若斜面与地面间动摩擦因数，滑块滑到斜面底端时斜面的位移。 (3)若地面光滑，滑块滑到斜面底端所用时间。（结果保留3位有效数字） 23．（2025·湖北·一模）如图所示，光滑水平面上有一质量为2kg、半径为0.8m的光滑圆弧曲面C，质量为2kg的小球B置于其底端，另一个质量为1kg的小球A以v0=6m/s的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，小球均可视为质点，不计一切摩擦，g=10m/s2，则（　　） A．B恰好上升到圆弧曲面C的顶端 B．B运动到最高点时的速率为2m/s C．C的最终速率为4m/s D．B能与A再次发生碰撞 24．（2025·浙江·一模）如图所示，在同一竖直平面内，有倾角为的粗糙斜面，粗糙水平轨道，竖直光滑圆轨道最低点略微错开，圆轨道右侧是光滑轨道，连接处均平滑。小车紧靠平台停在光滑水平地面上，上表面为四分之一光滑圆弧，小车点切线水平且与轨道等高。从斜面上点静止释放一可视为质点的小物块，小物块能沿着轨道运动并滑上小车。已知小物块与斜面、轨道间的动摩擦因数均为，（已知，，）斜面长，轨道长度，圆轨道半径为，小车圆弧半径为，小物块质量，小车质量。求： (1)小物块在斜面上从点运动到点过程中的平均速度大小； (2)小物块运动到圆心等高处时的加速度大小； (3)小物块在沿着圆弧下滑，从点离开小车时，求小物块对轨道点的压力大小。 25．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，质量为的带光滑弧形槽的滑块，槽口水平，顶部有装置，内部装有每只质量为的5个可看作质点的小球；滑块置于足够长的水平地面上，滑块与水平地面间的动摩擦因数为。初始状态滑块与小球都静止，现从弧形轨道顶端无初速度释放小球，等滑块停止再释放下一个小球。每个小球从下滑至水平抛出可看作瞬间完成。已知，，，不计碰撞时间，取，重力加速度大小。求： (1)第一个球释放至水平飞出后，滑块的速度大小。 (2)若5个小球一道滑下，滑块总共可移动多远。 (3)如题中所述，当5个小球逐一全部释放完后，滑块最终与地面摩擦产生的热量。 26．（24-25高二下·甘肃天水·期末）如图所示，质量的工件A左部分为半径的光滑圆弧，圆弧最低点与平直部分相切，A静止在光滑水平面上，质量的小物块B从A的圆弧顶端由静止释放，恰好能到达A的右端，已知B与A平直部分间的动摩擦因数，取重力加速度大小，求： (1)从B释放到B滑到圆弧最低点的过程中，A的位移大小； (2)B滑到圆弧最低点时的速度大小； (3)A平直部分的长度。 27．（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，一边长为1.5R的正方体物块静置于足够长的光滑水平面上，该正方体物块内有一条由半径为R的四分之一圆弧部分和竖直部分平滑连接组成的细小光滑圆孔道。一质量为m的小球（可视为质点），以初速度沿水平方向进入孔道，恰好能到达孔道最高点。孔道直径略大于小球直径，孔道粗细及空气阻力可不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球从刚滑上孔道至刚离开孔道下端的过程中合外力对小球冲量的大小为 B．小球从刚滑上孔道至刚离开孔道的过程中小球对孔道做得功为3mgR C．小球从进入孔道至到达孔道最高处的过程中，若小球在孔道圆弧部分运动的时间为，则该小球到达孔道最高点时，该正方体物块移动的距离为 D．小球从进入孔道至到达孔道最高处的过程中，若小球在孔道圆弧部分运动的时间为，则该小球到达孔道最高点时，该正方体物块移动的距离为 28．（2025·海南·模拟预测）如图所示，静止在光滑水平地面上、质量为的滑道由长为的水平部分和半径为的四分之一光滑圆弧构成。滑道左端有一个固定在水平面上的光滑斜面，斜面底端与滑道的上表面等高。一质量为的小物块从斜面上距离斜面底端高度为处由静止滑下。已知小物块与滑道水平部分之间的动摩擦因数为，忽略小物块经过各部分连接处的机械能损失，重力加速度取，不计空气阻力。 (1)求小物块滑到斜面底端时的速度大小； (2)求小物块首次离开圆弧后继续上升的最大高度； (3)改变小物块从斜面上释放的高度，若小物块进入滑道后，最终恰好能回到滑道左端，求小物块释放位置到斜面底端的高度。 29．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，质量为M的小车ABC静止在光滑水平面上，圆形轨道BC表面光滑，与粗糙水平轨道AB平滑连接，B为圆形轨道的最低点。质量为m的物块（可视为质点）从P点斜向上抛出，恰能在小车的最右端A点沿水平方向滑上小车，已知：M=4m，物块和轨道AB间动摩擦因数μ=0.1，圆形轨道BC的半径R=0.3m，水平轨道AB长L=1.5m，P、A两点的竖直高度差h=0.2m，水平距离x=0.6m，取重力加速度g=10m/s2。 (1)求物块在A点的速度大小v1； (2)物块能到达的最高点为Q（图中未标出），求Q到AB的竖直高度差h0。 30．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，质量为M的滑块A被固定在光滑水平面上，它上表面为半径为R的四分之一圆弧ab，质量为M的木板B上表面与圆弧面最低点水平相切，A、B之间用装置锁定。质量为m的小滑块C（可视为质点）从某高度处由静止下落，刚好在a点沿圆弧切线方向进入滑块A的圆弧面，C经过圆弧面最低点b时对圆弧面的压力大小为7mg。现解除对A的固定，让C仍然从原来高度自由下落。已知，重力加速度为g，小滑块C与木板B上表面的动摩擦因数为0.6，不计空气阻力和其他摩擦。 (1)求C下落的位置离b点的高度。 (2)解除对A的固定，求C运动到b点过程中小滑块C的水平位移的大小。 (3)解除对A的固定，当C滑上B后立即将A、B解锁，若C未脱离木板B，求木板B的最小长度。 模型4 “滑块—摆球”模型 1．模型图例 2．两个规律 (1)在水平方向系统动量守恒，但竖直方向动量不守恒。 (2)小球和滑块组成的系统机械能守恒。 3．两个状态 (1)小球和滑块共速时，小球运动到最高点。 (2)当小球再次回到最低点时，滑块速度最大，此过程类似于弹性碰撞，小球回到最低点时vM＝，vm＝v0。 31．（2025·山东·模拟预测）如图所示，为一光滑水平横杆，杆上套一质量为的圆环，环上系一长为的轻绳，绳的另一端拴一质量为的小球，现将绳拉直，且与平行，由静止释放小球，其中求： (1)轻绳与第一次成时，小球向左移动的距离； (2)小球摆到最低点时圆环的速度大小。 32．（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有细线的圆环A套在长臂上，细线另一端与小球B相连。已知A的质量mA=m，B的质量mB=2m，细线长度为L。初始时圆环A距短臂，细线水平且伸直，将圆环与小球同时由静止释放。已知圆环A与短臂碰撞后瞬间与短臂粘连，B球垂直于绳方向的速度不变，沿绳方向的速度减为0，不计空气阻力，重力加速度为g，，则（　　） A．小球B的水平位移为0.4L时圆环A与短臂接触 B．圆环A与短臂接触时，细绳与竖直方向的夹角为53° C．圆环A与短臂碰撞后瞬间，小球B的速度大小为 D．小球运动到最低点时，细线的拉力大小为6mg 33．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）如图所示，光滑水平杆距离水平地面高为，杆上套有一轻质滑环，杆上A点处固定一锁扣。长度为的轻绳的一端连接滑环，另一端悬挂质量为的小球，轻绳能承受的最大拉力为。水平地面上P点处静置一个顶部装有细沙的小滑块，小滑块与细沙的总质量为。P点右侧有一高度为、倾角为的固定斜面BC，B点处平滑连接，B与P间距为。初始时刻，轻绳保持竖直，滑环和小球一起水平向右匀速运动，当滑环与A处的锁扣碰撞，滑环即刻被锁住。不计空气阻力，小球、小滑块可以视为质点且小滑块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为，，，。 (1)若轻绳没有断裂，求小球在竖直面内可向上摆动的最大高度。 (2)某次实验中，初始滑环和小球一起以的速度向右匀速运动，滑环被锁住同时轻绳断裂，小球恰好落入小滑块顶部的沙堆内，落入时间极短且沙没有飞溅。求P点与锁扣A点的水平距离。 (3)求（2）问中小滑块最终静止的位置到B点的距离。 34．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图所示，质量均为m的两个小球a、b用长为L的不可伸长的轻绳连接，小球a套在光滑的足够长的水平杆上，在水平拉力F作用下，小球a、b一起向右做匀加速直线运动，小球b到杆的竖直高度为。当两球速度增加到v0时，撤去拉力。重力加速度为g，不计其他阻力。下列说法正确的是（　　） A．拉力F＝ B．撤去拉力后，小球a、b组成的系统机械能守恒，动量守恒 C．小球b第一次运动到最低点时的速度大小为v0－ D．以后小球a所能达到的最大速度为v0＋ 35．（2025·吉林白城·模拟预测）某兴趣小组利用计算机模拟研究动量守恒定律，如图所示，质量为M的圆环套在水平直杆上，通过轻绳竖直悬挂一质量为m的小球。初始时刻给小球一个水平初速度，计算机得到小球的部分轨迹如图中虚线所示，其中B点为轨迹最高点，不计一切摩擦阻力，则（　　） A． B． C．仅增大M值后重新模拟，小球轨迹最高点有可能高于B点 D．小球从图中A到C运动过程中，轻绳对圆环先做正功后做负功 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21碰撞模型 模型总结 模型1 碰撞模型 1 模型2 “滑块—弹簧”模型 15 模型3 “滑块—斜(曲)面”模型 29 模型4 “滑块—摆球”模型 43 模型1 碰撞模型 1．碰撞模型 分类 模型特点 示例 碰撞模型 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 有损失 完全非弹性碰撞 守恒 损失最大 2.“一动碰一静”弹性碰撞实例分析 以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则有 m1v1＝m1v1'＋m2v2' m1m1v1'2＋m2v2'2 联立解得：v1'＝v1，v2'＝v1 讨论： ①若m1＝m2，则v1'＝0，v2'＝v1(速度交换)； ②若m1>m2，则v1'>0，v2'>0(碰后两小球沿同一方向运动)；当m1≫m2时，v1'≈v1，v2'≈2v1； ③若m1<m2，则v1'<0，v2'>0(碰后两小球沿相反方向运动)；当m1≪m2时，v1'≈-v1，v2'≈0。 1．（25-26高三上·河南商丘·期中）如图所示为一款游戏的装置示意图，质量为3m的物块A静止在光滑水平面上，物块A内有一段光滑的细管道，管道在竖直面内，管道最上端是一段半径为r的圆弧管道，管道最高点离水平面的高度为4r，两管口均与水平面相切。物块A左侧有一轻弹簧放在光滑水平面上，弹簧的左端与竖直固定挡板连接，质量为m的小球B紧靠轻弹簧放置，小球B的直径比管径略小，且管径远小于r，质量为3m的小球C静止在物块A右侧光滑水平面上。现将物块A锁定在水平面上，用力使B球向左移动压缩弹簧，小球B到某一位置时由静止释放，小球B穿过管道后与球C发生弹性碰撞，碰撞后小球B恰好能到达管道的最高点，重力加速度为g，求： (1)球B与球C碰撞后，球C的速度多大； (2)球B第一次通过管道最高点时，对管道的压力大小； (3)若解除对A的锁定，A与C足够远，再用B球压缩弹簧并由静止释放，小球B恰好能通过管道，弹簧开始被压缩的弹性势能为多大；判断小球B与C发生弹性碰撞后能不能再次通过整个管道，如果能，说明理由，如果不能，再次进入管道后上升的最大高度为多少。 【答案】(1) (2)，方向向上 (3)，不能再次通过管道，最大高度为r 【详解】（1）设小球B释放后的初速度为，穿过物块A的过程机械能是守恒的，之后B以速度与C发生弹性碰撞。设向右为正方向，BC碰后的速度分别为和 碰撞过程，动量守恒，有 机械能也是守恒的，所以 可解得， 之后B恰好能运动到管道的最高点，到达最高点时的速度为0， 代入数据后，可解得， （2）根据上一问计算，可知 当B求运动到轨道的最高点时，设此时的速度为，有 在最高点处，根据向心力公式，有 解得，方向向下 由于相互作用力，小球对轨道的作用力也为，方向向上。 （3）设此时释放后B球的速度为，则有 A与B发生相互作用的过程水平方向上动量是守恒的，到达最高点时刚好共速， 机械能守恒，所以 可解得， 当B穿过A到达地面时，速度仍为，A静止在地面上； 当BC发生弹性碰撞后，依然有 解得，速度减小，无法再次通过A 设能在A中到达的最大高度为H，则有 解得 2．（2025·四川资阳·一模）如图所示，足够长的光滑水平地面上有1000个大小相同的小球排成一排，相邻两球间距为，将其从左到右依次编号。质量为的小圆环套在足够长的光滑水平杆上，位于1小球正上方处。现将质量为的小球通过长度为的轻绳与连接，初始时轻绳处于水平绷直状态，、均静止。某时刻释放小球，到达最低点时轻绳恰好断裂，之后在水平地面上与1号球发生碰撞，已知1号小球的质量为，号小球的质量均为。题中所有小球之间的碰撞均视为弹性正碰。已知重力加速度大小为，不计空气阻力，小球大小忽略不计。求： (1)轻绳断裂时的速度大小； (2)1号球与2号球第一次碰撞后，2号球所获得的速度； (3)若1号球与2号球第一次碰撞后，立即给1号球施加水平向右的恒定外力（图中未画出，远远小于1、2球碰撞时的作用力），使1号球每次以相同速度与2号球相碰，且该速度等于两球第一次碰前瞬间1号球的速度，直到1~1000号小球速度第一次都相等时撤去外力，求外力作用下1号球的位移及最终1号球与1000号球之间距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）从球释放到轻绳断裂的过程中，A、B组成的系统水平方向动量守恒： 系统机械能守恒有：   联立可得： （2）绳断后，球在水平地面向右运动与1号球碰撞，设碰后球和1号球速度分别为、 根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得：    1、2号球碰撞后，两球的速度分别为，，由动量守恒定律和机械能守恒定律，有： ， 联立解得： （3）1、2号球碰后，2号小球以速度向右运动一个，与3号小球碰撞后速度交换，然后依次交换下去。由于1号球与2号球后续碰撞前速度与第一次碰撞相同，从1号球碰前瞬间到再一次碰前瞬间，由能量守恒有：   设作用下1号球的总位移记为，将号小球作为系统，由功能关系有：   联立可得：      设作用的总时间记为，将号小球作为系统，由动量定理有： 联立可得： 最终1号球与1000号球间距离为： 联立可得： 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在水平地面上放置木板和滑块，、在同一直线上，滑块置于的左端，三者质量分别为，，。开始时静止，到的右端距离，敲击滑块，使获得的速度向右运动，经过一段时间与发生完全弹性正碰，碰撞时间极短，已知与间的动摩擦因数为，木板的底面光滑，滑块与地面间的动摩擦因数为，木板足够长，重力加速度大小取。求： (1)敲击后，经多长时间与发生第1次碰撞； (2)滑块运动的最大速度； (3)第1次碰撞后经多长时间与间的距离最大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设经过时间AB共速，共同速度为，对B受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得 对A受力分析，根据牛顿第二定律可得 解得木板A的加速度大小为 因此A做匀加速直线运动，B做匀减速直线运动，共速时则有 代入数据解得AB共速的时间 二者的速度 此过程A的位移 故A匀速运动的时间 则与发生第1次碰撞的时间 （2）由题可知，A与C碰后的瞬间，滑块C的速度最大，设A、C碰后瞬间的速度分别为、，由于A、C为弹性碰撞，根据动量守恒可得 根据能量守恒可得 解得， 即滑块运动的最大速度。 （3）设碰后A、B再次达到共同的速度为，根据动量守恒可得 代入数据解得 所用时间 对于C受力分析，由牛顿第二定律可得 解得 此时滑块C的速度为 此后AB以共同的速度做匀速直线运动，滑块C以做匀减速运动，当系统速度相同时，A、C之间的距离最大，设经过时间A、C达到共同速度，根据匀变速直线规律可得 代入数据解得 则第1次碰撞后到与间的距离最大的时间 4．（2025·海南·一模）如图所示，质量为的小车放在光滑水平面上，距小车右端处有一不可移动的障碍物。质量为的滑块放在小车最左端，滑块与小车之间的动摩擦因数为，滑块上方用长为的轻绳悬挂一质量为的小球。把小球拉开60°的角度然后由静止释放，小球在最低点与滑块发生弹性正碰，小球反弹后被取走，不再影响小车和滑块的运动。已知滑块始终未从小车上掉下，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)小球下落过程轻绳的最大拉力大小； (2)小车碰到障碍物时的速度大小； (3)若小车碰到障碍物后原速率反弹，小车的最短长度。 【答案】(1)20N (2)1.2m/s (3)1m 【详解】（1）小球由静止释放到达最低点的过程中，由动能定理得 在最低点，由牛顿第二定律可知 联立解得小球下落过程轻绳的最大拉力 （2）以向右为正方向，小球与滑块碰撞过程，由动量守恒得 根据能量守恒有 联立解得 假设小车与障碍物碰撞时，小车与滑块已经达到共同速度以向右为正方向，由动量守恒有 解得 设此过程小车运动的位移为x，由动能定理得 解得 假设成立，可知小车与障碍物碰撞时的速度为1.2m/s 。 （3）滑块与小车第一次达到共同速度的过程中，由能量守恒得 解得 小车与障碍物碰后，与滑块再次达到共同速度的过程中，由动量守恒定律得 解得 根据能量守恒有 解得 此后滑块与小车相对静止，一起向左运动，则小车长度的最小值为 5．（2025·广东清远·一模）如图甲所示，《天工开物》中提到一种古法榨油一撞木榨油，其过程简化为石块撞击木楔，挤压胚饼，重复撞击，榨出油来。现有一长度l=4m的轻绳，上端固定于屋梁，下端悬挂一质量M=180kg的石块，可视为质点。如图乙所示，将石块拉至轻绳与竖直方向成37°角的位置，石块由静止释放，运动至最低点时与质量m=20kg的木楔发生正碰，不计撞击过程的机械能损失，撞击时间t=0.05s，每次撞击后立即将石块拉回原位置。重力加速度g取 。求： (1)撞击前，石块在最低点对轻绳的拉力大小T； (2)撞击后瞬间木楔的速度和石块对木楔撞击的平均作用力大小 F； (3)石块每次在同一位置释放并在最低点撞击木楔。木楔向里运动过程中所受的阻力与它的位移关系如图丙所示。要木楔移动的位移 石块至少需撞击多少次木楔。 【答案】(1) (2) (3)4 【详解】（1）石块运动到最低点过程，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）石块与木楔碰撞过程中动量守恒，规定向右为正方向，则有 根据机械能守恒有 解得 对石块进行分析，根据动量定理有 根据牛顿第三定律，可知石块对木楔的撞击力大小 联立解得 （3）根据木楔的阻力与位移图像关系有 木楔移动需克服阻力做的功 根据能量守恒定律有 解得 故要木楔移动的位移，石块需撞击4次木楔。 6．（2025·河南·一模）在光滑水平面上，质量为、速度为的球跟质量为的静止球发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，碰撞后B球的速度可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】规定v方向为正方向，若碰撞为完全非弹性碰撞，则B的速度有最小值，由动量守恒得 解得此时B的速度最小值 若碰撞为弹性碰撞，则B的速度有最大值，根据动量守恒、机械能守恒分别有， 解得此时B的速度最大值 可知B球速度范围在到之间。综合可知A符合题意。 故选A。 7．（2025·广东清远·一模）弹棋是中国古代棋类游戏，晋人徐广《弹棋经》曰，“二人对局，黑白各六枚，先列棋相当，下呼上击之”。弹射过程简化如下：在水平桌面上放置两个质量、大小、材料都相同的棋子，其中A为黑棋、B为白棋（均可视为质点），将黑棋A从左侧以某一初速度快速弹出，两棋子发生正碰（碰撞时间极短），测得两棋子从碰后到停止滑行的距离分别为、L，下列说法正确的是（　　） A．两棋子发生的是弹性碰撞 B．碰撞过程中A、B两棋子所受冲量大小之比为1：2 C．碰后瞬间A、B两棋子的动量大小之比为1：2 D．碰撞过程损失的机械能与碰撞前瞬间A棋子的动能之比为1：4 【答案】C 【详解】ACD．根据题意，设棋子的质量为，与棋盘的动摩擦因数为，碰撞前棋子的速度为，碰撞后A、B两棋子的速度分别为、，由动能定理有， 由动量守恒定律有 联立解得， 碰后瞬间A、B两棋子的动量大小之比为 碰撞过程中损失的机械能为 碰撞过程损失的机械能与碰撞前瞬间A棋子的动能之比为，故AD错误，C正确； B．碰撞过程中A、B之间作用力为相互作用力，大小相等，方向相反，则碰撞过程中A、B两棋子所受冲量大小之比为，故B错误。 故选C。 8．（2025·广东肇庆·一模）在物流仓库的快递分拣线上，有两个质量相等的分拣托盘A和B，初始时两托盘均静止在水平台面上，托盘与平台间的动摩擦因数均为，时刻工作人员将托盘A以m/s的初速度向右推出，s时托盘A与静止的托盘B发生碰撞（碰撞时间极短），碰撞过程中系统有的机械能损失。重力加速度g取10m/s2。求： (1)两托盘之间的初始距离； (2)碰撞后瞬间托盘B的速度大小。 【答案】(1)5m (2)3m/s 【详解】（1）托盘A碰撞前做匀减速运动，由牛顿第二定律，有 根据速度-时间公式可得初始距离 联立解得m （2）碰撞前A的速度大小 A、B碰撞过程动量守恒，有 碰撞过程机械能损失，根据能量守恒，有 联立解得m/s，m/s 所以碰撞后瞬间托盘B的速度大小为3m/s。 9．（2025·广东·模拟预测）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端固定在光滑斜面的底部，另一端连接质量为m的木块处于静止状态，质量为3 m的小孩从距离木块L处由静止开始沿斜面下滑，随后与木块碰撞后抱着木块一起压缩弹簧，碰撞时间忽略不计，碰后一起下滑的最大距离为，弹簧始终处于弹性限度内，且人的运动方向始终与弹簧的轴线在同一直线上，人和木块均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，弹簧的弹性势能，其中k为劲度系数，x为形变量，求： (1)人与木块碰撞过程系统损失的机械能； (2)人与木块碰后一起下滑到最低点的过程中，人对木块做的功W； (3)弹簧的劲度系数k。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）人由静止到与木块碰撞过程，由机械能守恒定律可得 解得 人与木块碰撞过程，由动量守恒定律可得 解得 人与木块碰撞过程系统损失的机械能 解得 （2）人与木块一同向下滑，设木块对人做的功为，对人由动能定理得 人对木块做的功 （3）木块静止时，有 人抱住木块后一起滑到最低点的过程，人、木块和弹簧组成的系统机械能守恒，有 联立解得 10．（2025·北京顺义·模拟预测）如图所示，A、B是两个完全相同的小球，用较长的细线将它们悬挂起来，调整细线的长度和悬点的位置，使两个小球静止时重心在同一水平线上，且恰好没有接触。现将小球A拉起至细线与竖直方向夹角为θ=60°的位置，使其由静止释放，小球A运动至最低点与静止的小球B相碰，碰后两球粘在一起运动。已知细线的长度为L，每个小球的质量均为m，重力加速度为g，忽略小球半径和空气阻力，求 (1)A球运动至最低点时的速度大小v； (2)碰后两球能够上升的最大高度h； (3)碰撞过程中损失的机械能E。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据机械能守恒定律 解得A球运动至最低点时的速度大小 （2）两球碰撞过程满足动量守恒定律    碰后两球一起运动，根据机械能守恒定律 解得碰后两球能够上升的最大高度 （3）碰撞过程中损失的机械能     解得 模型2 “滑块—弹簧”模型　 类碰撞模型 分类 模型特点 示例 “滑块—弹簧”模型 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒． (2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒． (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)． (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)． 11．（2025·四川·一模）如图所示，静止于粗糙水平面的P、Q两物块用劲度系数为4N/m的轻质弹簧相连，弹簧由原长压缩0.09m后用轻绳将两物块拴接。P、Q两物块的质量分别为0.2kg、0.4kg，物块与水平面间的动摩擦因数均为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹性势能与形变量x、劲度系数k的关系为，重力加速度取。烧断轻绳至两物块均静止的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两物块与弹簧组成的系统动量守恒，机械能不守恒 B．Q物块与P物块所受摩擦力的冲量大小相等 C．P物块运动的路程为0.08m D．P物块的最大动能为0.0112J 【答案】BC 【详解】C．P与地面间的最大静摩擦力为 Q与地面间的最大静摩擦力为 初始时弹簧的弹力大小为 因为且，故P将会向左滑，Q保持静止。对P向左运动的过程分析，弹力随位移线性变化，摩擦力大小方向均不变，故P做简谐运动，平衡位置在合力为0处，有 解得 根据对称性，P将运动到处速度为0，并且此时 故P此后将保持静止，P运动的总路程为，故C正确； A．在P运动的过程中，有摩擦生热，故系统机械能不守恒，P与地面间的摩擦力始终为向右的滑动摩擦力，大小为0.2N，Q与地面间的静摩擦力始终与弹簧弹力大小相等，从0.36N开始逐渐减小至0.04N，方向始终向左，故系统动量不守恒，故A错误； B．系统初始总动量为0，末状态总动量为0，在该过程中水平方向外力仅为P、Q所受地面的摩擦力，根据动量定理，Q所受摩擦力的冲量大小等于P所受摩擦力的冲量大小，故B正确； D．当P运动至受力平衡位置处时，动能最大，对整个系统分析，由能量守恒定律可得 解得，故D错误。 故选BC。 12．（2025·陕西渭南·一模）如图甲，一质量为的物块B用一长度为的轻绳悬挂于点处，初始时其与竖直方向的夹角，P点正下方处有一钉子。另一质量为的物块A与轻质弹簧连接，静止于光滑水平面上。现自由释放物块B，当其运动至点正下方时轻绳在钉子的作用下断裂。轻绳在断裂后不影响物块B的后续运动，物块B触地时水平速度不变，竖直速度变为零；然后物块B以水平速度向物块A运动，记物块B与弹簧接触的时刻为，与弹簧分离的时刻为。该过程中，A、B的图像如图乙所示。已知从到时间内，物块A运动的距离大小为。重力加速度为。求： (1)轻绳即将断裂时的拉力； (2)弹簧的弹性势能的最大值； (3)弹簧压缩量的最大值（用表示）。 【答案】(1)100N (2)9.6J (3) 【详解】（1）设B摆至最低点的速度为v，根据动能定理有 代入数值，解得v=4m/s 设轻绳即将断裂时其中的张力为FT，对B受力分析有 解得FT=100N （2）B落地时的水平速度仍为v=4m/s第一次碰撞过程中，当 AB共速时，弹簧的弹性势能最大，则由动量守恒和能量关系可知， 解得 （3）当AB共速时，弹复压缩量最大，在任意时刻都满足动量守恒 整理得 在t=0到t=t0时间内时间上积分可得 又 可得 所以弹簧压缩量的最大值 13．（2025·江西景德镇·模拟预测）在光滑水平面上，静止放着B、C两个物块（靠在一起，没有粘连），质量分别为m和2m，B物块左侧连接有一根原长为，劲度系数为 的轻弹簧，有一个质量为m 的物块A以初速度向右运动，当轻弹簧压缩最短时，A与弹簧立即栓接在一起。已知弹簧的弹性势能表达式可以表示为，x表示弹簧的形变量，不计空气阻力。求： (1)弹簧压缩最短时，A物块的速度大小； (2)设从A接触弹簧开始到弹簧压缩最短过程经历时间为t，求这个阶段B物块运动的位移大小； (3)B、C分离后，弹簧可以达到的最大弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）三者水平方向动量守恒，弹簧压缩最短时，三者共速 解得 （2）根据能量守恒，弹簧最大弹性势能 弹簧压缩量 根据动量守恒，设某时刻A的速度为，B、C共同速度为，有 两边与时间乘积 根据几何关系 联立解得B物块运动的位移大小 （3）弹簧恢复原长后，B、C分离，此时有， 解得此时A的速度 B的速度 此后，A、B共速时，弹性势能最大 解得 根据能量守恒，弹簧可以达到的最大弹性势能 14．（2025·四川·一模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳绕过光滑定滑轮与静止在斜面底端点的物块相连，斜面底端与水平地面平滑连接；处于原长的水平轻质弹簧右端固定在竖直挡板上，物块在点紧靠（不拴接）弹簧左端。某时刻起，电动机以恒定功率拉动物块由静止开始沿斜面向上运动，经过时间，物块达到最大速度，同时剪断细绳，之后，物块与碰撞并粘连在一起运动，最终停在某位置。物块和均可看成质点，质量相等都为，与水平粗糙段之间的动摩擦因数都为，、相距。斜面足够长，弹簧始终处于弹性限度内，挡板与间水平地面光滑，不计空气阻力。重力加速度取。求： (1)物块沿斜面向上运动速度最大时的动量大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)两物块一起最终所停位置与点的间距。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块在电动机恒定功率拉动下向上做加速运动，加速度为零时，设此时电动机牵引力大小为，速度最大为，则 速度最大时 此时物块沿斜面向上的动量，则 解得 （2）物块从到，设与物块碰撞前的速度大小为，由动能定理 物块与物块粘连在一起，设整体速度为，由动量守恒 当物块、向右压缩弹簧减速到零时，弹簧弹性势能最大，由能量守恒 解得 （3）物块和一起在弹簧与斜面之间做往复运动，最终停在、之间某处，设物块和一起在、之间往复运动通过的总路程为，由动能定理 解得 距离O2点的间距 解得 15．（2025·云南昆明·模拟预测）如图甲所示。物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在t＝0时刻以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的v－t图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．物块C的质量为2kg B．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为72J C．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为24N·s D．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为18J 【答案】C 【详解】A．由图知，C与A碰撞前的速度为，碰后的速度为，C与A碰撞过程动量守恒，以C的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．当C与A速度为0时，根据能量守恒，可得最大弹性势能，故B错误； C．由图知，12s末A和C的速度，4s到12s过程中墙壁对物体B的冲量大小等于弹簧对物体B的冲量大小，也等于弹簧对A和C整体的冲量大小，墙对B的冲量为 解得I＝-24N·s 即冲量大小为24N·s，方向向左，故C正确； D．物块B刚离开墙壁时，根据机械能守恒定律有 解得AC向左运动的速度大小为 物块B离开墙壁后，当A、B、C三者共速时弹性势能最大，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得，故D错误。 故选C。 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图所示，由倾斜部分和水平部分组成的滑块静止在光滑水平面上，倾斜部分的长度，倾角，在底部与水平部分平滑连接，水平部分最右端固定有水平轻弹簧。滑块段粗糙，长度为，其余部分均光滑。物块2放在点，物块1从点由静止释放，两物块恰好在点相碰，并粘在一起，碰撞时间极短。已知物块1、2均可视为质点，物块1经过点时无机械能损失，两物块与段间的动摩擦因数均为，重力加速度，物块1质量为，物块2质量为，滑块质量为。求： (1)、两点间的距离。 (2)两物块第一次通过段的时间。 (3)弹簧的最大弹性势能以及两物块最后停下位置到点的距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物块1释放后到物块1、2碰撞前，物块2静止不动，物块1与滑块组成的系统水平方向动量守恒，设某时刻物块1的水平分速度大小为，根据动量守恒则有 则滑块在该时刻的速度大小 之后极短时间内，物块1的水平位移大小，滑块的位移大小 联立可得 求和有 可得 设物块1、2碰撞前瞬间，物块1的速度大小为，滑块的速度大小为，由动量守恒有 由机械能守恒有 可得 物块1从滑到水平部分到与物块2相碰所用时间 时间内滑块运动的距离 则、间的距离为 （2）1、2碰撞过程动量守恒，有 可得 物块1、2组合体在段上运动过程，由牛顿第二定律，对物块1、2有 对滑块有 由匀变速运动规律有 联立解得（另一解不符合题意，舍去） （3）由动量守恒定律可得，弹簧第一次压缩到最大时，1、2和滑块的速度均为0，由能量守恒有 可得弹簧的最大弹性势能为 由物块1、2和滑块组成的系统水平方向动量守恒可知，物块1、2和滑块最终均静止，设物块1、2在段运动的总路程为，由能量守恒定律有 可得 物块1、2最终停在点右侧处。 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图甲所示，带有竖直四分之一圆弧轨道的固定件A固定在光滑的水平台面上，圆弧轨道最低点与表面光滑的滑板B上表面平滑相切，滑板B左侧有足够长的水平光滑延长板，延长板穿过固定件A的水平孔，并且可以无摩擦滑动，滑板B右端有一垂直挡板，挡板上固定一个轻弹簧，滑板B初始时与台面锁定。质量为m的光滑小球自圆弧轨道的左侧最高处由静止释放，当小球将弹簧压缩至最短时，解除滑板B的锁定，小球的动能与弹簧形变量的关系如图乙所示，已知圆弧轨道半径为R、小球质量为m、弹簧第一次被压缩至最短时的形变量为，重力加速度为g。求： (1)小球运动至圆弧轨道最低点时，轨道对小球的支持力大小； (2)滑板B的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球从光滑四分之一圆弧轨道的最高点由静止释放，运动到圆弧轨道的最低点，根据机械能守恒定律有 小球经过圆弧轨道的最低点时，根据牛顿第二定律有 解得 （2）小球压缩弹簧过程中，将小球到达滑板B的初始动能全部转化为弹簧的弹性势能，即 当锁定解除弹簧完全弹开，小球与滑板B在水平方向上动量守恒，则有 小球、滑板B系统机械能守恒，则有， 联立可解得 18．（2025·湖南长沙·三模）如图甲所示，质量均为m的物块P与物块Q之间拴接一轻质弹簧，静止在光滑的水平地面上，物块P与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并被锁定，弹簧的弹性势能大小为，时刻解除锁定，规定向右为正方向，图乙是物块Q在时间内运动的图。下列判断正确的是（　　） A．0~时间内，物块P、Q以及弹簧组成的系统机械能、动量都守恒 B．0~时间内，墙对P的冲量大小为 C．0~时间内，合外力对物体Q做功为 D．~时间内，图线与t轴所围的面积大小为 【答案】BC 【详解】ABC．由图知，时刻物块Q的加速度为0，此时弹簧恰好恢复原长，物块P刚要运动，时刻物块Q运动的加速度最大，且为负值，此时弹簧被拉得最长，物块P、Q的速度相同。弹簧恢复原长过程，由机械能守恒定律 解得时刻物块Q的速度大小 则时间内，墙对系统的冲量 故此阶段物块P、Q以及弹簧组成的系统动量不守恒，机械能不守恒，在时间内，对物块P、Q以及弹簧组成的系统，由动量守恒定律 解得时刻物块P和Q的速度大小均为 由动能定理知，内合外力对物块Q做功，故A错误，BC正确； D．由图知，时刻物块Q的加速度为0，此时弹簧恰好恢复原长，在时间内，对物块P、Q以及弹簧组成的系统，由动量守恒定律 由机械能守恒定律 联立知，时刻物块Q的速度 则内物块Q速度变化量 可见内图线与t轴所围的面积大小为，故D错误。 故选BC。 19．（2025·江西·模拟预测）如图，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道PQ固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点Q刚好与光滑水平面相切，质量均为2m的物块A、B静止在水平面上，用轻弹簧连接，轻弹簧刚好处于原长，质量为m的物块C从圆弧轨道上的P点由静止释放，物块C沿圆弧下滑，与物块A发生碰撞，碰撞时间极短，碰后瞬间，物块C的速度恰好为零，不计物块的大小，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，求： (1)物块C运动到Q点时，对圆弧轨道的压力大小； (2)物块A、C碰撞过程损失的机械能和弹簧具有的最大弹性势能； (3)若从物块C与A 碰撞后一瞬间至弹簧第一次达到压缩量最大过程，弹簧的最大压缩量为，物块B运动的位移为，则此过程物块A运动的时间为多少？ 【答案】(1)3mg (2)， (3) 【详解】（1）设C运动到Q点时速度大小为，根据机械能守恒定律，解得 在Q点，根据牛顿第二定律，解得 根据牛顿第三定律，物块C对圆弧轨道的压力大小等于 （2）设C与A碰撞后一瞬间，物块A的速度大小为，根据动量守恒定律有 A、C碰撞过程中损失的机械能 设弹簧压缩量最大时，A、B的共同速度为，根据动量守恒有 根据机械能守恒，弹簧的最大弹性势能 （3）从C、A碰撞后一瞬间开始至弹簧第一次压缩量最大过程，对A、B和弹簧系统研究，根据动量守恒，即 得到 根据题意有， 解得 20．（2025·江西吉安·模拟预测）如图所示，物体A和B静止在光滑水平面上，其质量分别为。物体A和轻质弹簧连接，将弹簧压缩后A、B之间用细绳连接，此时弹簧的弹性势能为。某时刻剪断细绳，A、B分离后，B滑上粗糙斜面，然后滑下，之后与一直在水平面上运动的A再次碰撞，一段时间后B再次滑上斜面，在斜面运动的最大位移与前一次之比为。已知A、B分离时物块B距离斜面底端距离，B从A、B分离到A、B再次相碰间隔时间为。求： (1)剪断细绳，弹簧恢复原长时A、B的速度大小； (2)物块B与斜面间的动摩擦因数与斜面倾角的正切值之比 (3)物块B第一次在斜面上运动的最大位移（结果保留2位有效数字）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设弹簧恢复原长时A、B速度分别为，以水平向右为正方向由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得 （2）设B第一次在斜面上运动的最大位移为，第二次在斜面上运动的最大位移为，B第一次返回水平面的速度为，AB再次碰撞后的速度为， B在斜面上向上运动时由牛顿第二定律有 B第一次冲上斜面时有 B第二次冲上斜面时有 由题意可知 联立解得 AB第二次碰撞时，设向右为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得 B在斜面上下滑时由牛顿第二定律有 B第一次在斜面上下滑时有 联立解得 （3）物块B从AB分离至运动到斜面底端的时间 A、B分离后A向左运动的总位移为 设物块在斜面上滑时间为，下滑时间为，则有 解得 由运动学公式有， 联立解得 模型3 “滑块—斜(曲)面”模型 类碰撞模型 分类 模型特点 示例 “滑块—斜(曲)面”模型 模型特点 (1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0.系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)． (2)返回最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)． 21．（2025·河北衡水·二模）如图所示，两个半径均为R的圆槽静止放在水平地面上，圆槽底端点所在平面与水平面相切，相距R。质量为m的小球（可视为质点）从左圆槽上端C点的正上方P点由静止释放，恰好从C点进入圆槽，相距R，圆槽质量均为，重力加速度为g。不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为 B．小球到B点时，相距 C．小球冲上右圆槽的最大高度为 D．小球回到水平面后能冲上左圆槽 【答案】ABC 【详解】A．对小球和左侧圆槽组成的系统机械能守恒有 对小球和左侧圆槽组成的系统水平方向上动量守恒有 联立解得， 对小球在A点进行受力分析，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律可知小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为，A正确； B．小球在左侧圆槽运动过程由水平方向动量守恒的位移表达式有 又 联立解得 小球离开A后，小球与左侧圆槽均做匀速直线运动，小球到B点时有 AB 相距 联立解得小球到B点时，AB相距，B正确； C．假设小球冲上右侧圆槽没有越过右侧槽的最高点，对小球与右侧圆槽由水平方向动量守恒和系统机械能守恒，有， 解得 小球冲上右圆圆槽的最大高度为，C正确； D．小球从右侧圆槽回到水平面后，对小球与右侧圆槽由水平方向动量守恒和系统机械能守恒，有， 解得 可知 则小球回到水平面后不能冲上左侧圆槽，D错误。 故选ABC。 22．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图所示，一倾角为、高度为3m、质量为2kg的光滑斜面置于水平地面上，一质量为1kg的可视为质点的滑块沿该斜面顶端由静止滑下。已知重力加速度，取，忽略空气阻力。求： (1)若斜面固定，则滑块滑到斜面底端时，滑块沿斜面方向的速度大小。 (2)若斜面与地面间动摩擦因数，滑块滑到斜面底端时斜面的位移。 (3)若地面光滑，滑块滑到斜面底端所用时间。（结果保留3位有效数字） 【答案】(1) (2) (3)1.15s 【详解】（1）斜面固定时，滑块沿斜面做匀加速直线运动。 斜面高度，倾角，则斜面长度 滑块下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。设滑块滑到底端时的速度为v，则： 代入数据，， 解得： （2）关键分析：滑块下滑时，斜面受地面摩擦力作用可能静止或运动。需先判断斜面是否滑动。 滑块对斜面的压力： 斜面所受最大静摩擦力： 滑块对斜面的水平作用力：滑块对斜面的压力和摩擦力在水平方向的合力为（因斜面光滑，滑块与斜面间无摩擦力） 由于，斜面会向左加速运动。 系统水平方向动量守恒（因地面摩擦力远小于内力，所以守恒）： 设滑块滑到底端时，滑块水平速度为，斜面速度为，则： 位移关系：滑块相对斜面的水平位移为 设斜面位移为x（向左为负），则滑块水平位移为。由平均速度公式得：， 联立得，，代入，解得（负号表示方向向左）。 验证机械能守恒：滑块和斜面系统机械能守恒（摩擦力做功可忽略，因位移极小）： 其中，代入得： 解得，，故斜面位移为 （3）方法一：设斜面长为l，滑块与斜面组成的系统在水平方向的合力为零 则系统水平方向的动量守恒，有， 对滑块竖直方向有 由能量关系可知 联立可得滑块滑到斜面底端所用的时间为 代入数值计算，可得 方法二：地面光滑时，系统水平方向动量守恒，机械能守恒。设滑块相对斜面的加速度为a，斜面加速度为（向左），滑块绝对加速度水平分量，竖直分量。 动量守恒：对系统水平方向，合外力为零，加速度满足 整理有： 滑块竖直方向运动：滑块相对斜面的竖直位移为，则：（1） 斜面水平位移：（与（2）中位移一致）。 滑块沿斜面的加速度：对滑块，沿斜面方向合力为（因斜面光滑）， 即？此结论错误，因斜面有加速度，需用非惯性系分析。 以斜面为参考系（非惯性系），滑块受惯性力（向右）。沿斜面方向： 代入，得： 由（1）式，得。 23．（2025·湖北·一模）如图所示，光滑水平面上有一质量为2kg、半径为0.8m的光滑圆弧曲面C，质量为2kg的小球B置于其底端，另一个质量为1kg的小球A以v0=6m/s的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，小球均可视为质点，不计一切摩擦，g=10m/s2，则（　　） A．B恰好上升到圆弧曲面C的顶端 B．B运动到最高点时的速率为2m/s C．C的最终速率为4m/s D．B能与A再次发生碰撞 【答案】BC 【详解】AB．规定向右为正方向，A碰B过程有 解得碰后AB的速度分别为 当B运动到最高点时BC共速，则有 联立解得 可知B不能滑到C顶端，B运动到最高点时的速率为2m/s，故A错误，B正确； CD．当B返回到C底端时有 联立解得此时BC速度分别为 可知C的最终速率为4m/s，B不能与A再次发生碰撞，故C正确，D错误。 故选BC。 24．（2025·浙江·一模）如图所示，在同一竖直平面内，有倾角为的粗糙斜面，粗糙水平轨道，竖直光滑圆轨道最低点略微错开，圆轨道右侧是光滑轨道，连接处均平滑。小车紧靠平台停在光滑水平地面上，上表面为四分之一光滑圆弧，小车点切线水平且与轨道等高。从斜面上点静止释放一可视为质点的小物块，小物块能沿着轨道运动并滑上小车。已知小物块与斜面、轨道间的动摩擦因数均为，（已知，，）斜面长，轨道长度，圆轨道半径为，小车圆弧半径为，小物块质量，小车质量。求： (1)小物块在斜面上从点运动到点过程中的平均速度大小； (2)小物块运动到圆心等高处时的加速度大小； (3)小物块在沿着圆弧下滑，从点离开小车时，求小物块对轨道点的压力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）下滑过程中， 解得 平均速度 （2）B点的速度 B到圆心等高处，根据动能定理有 向心加速度 ， （3）B到D过程中 小物块与车作用全过程， 解得， 所以 小物块滑回到E点 解得压力 25．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，质量为的带光滑弧形槽的滑块，槽口水平，顶部有装置，内部装有每只质量为的5个可看作质点的小球；滑块置于足够长的水平地面上，滑块与水平地面间的动摩擦因数为。初始状态滑块与小球都静止，现从弧形轨道顶端无初速度释放小球，等滑块停止再释放下一个小球。每个小球从下滑至水平抛出可看作瞬间完成。已知，，，不计碰撞时间，取，重力加速度大小。求： (1)第一个球释放至水平飞出后，滑块的速度大小。 (2)若5个小球一道滑下，滑块总共可移动多远。 (3)如题中所述，当5个小球逐一全部释放完后，滑块最终与地面摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第一个球释放至水平飞出过程，滑块和小球构成系统水平方向动量守恒，机械能守恒，则有， 解得 （2）若5个小球一道滑下，系统水平方向动量守恒，机械能守恒，同理可得， 解得 滑块在水平地面做减速运动直至停止，根据动能定理可得 解得总共可移动 （3）第1个球释放至水平飞出后，有 可得 同理可得第2个球释放至水平飞出后，有 归纳并验证可知， 第5个球释放至水平飞出后，可得 根据能量转化与守恒可得 联立可得 解得 26．（24-25高二下·甘肃天水·期末）如图所示，质量的工件A左部分为半径的光滑圆弧，圆弧最低点与平直部分相切，A静止在光滑水平面上，质量的小物块B从A的圆弧顶端由静止释放，恰好能到达A的右端，已知B与A平直部分间的动摩擦因数，取重力加速度大小，求： (1)从B释放到B滑到圆弧最低点的过程中，A的位移大小； (2)B滑到圆弧最低点时的速度大小； (3)A平直部分的长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设从释放到滑到圆弧最低点的过程中，的水平位移为，则有 解得 （2）滑到圆弧底端时，设的速度为，则有 解得 （3）滑到圆弧底端时，摩擦力使向左减速，使向右减速，最终和的速度均为0，则有 解得 27．（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，一边长为1.5R的正方体物块静置于足够长的光滑水平面上，该正方体物块内有一条由半径为R的四分之一圆弧部分和竖直部分平滑连接组成的细小光滑圆孔道。一质量为m的小球（可视为质点），以初速度沿水平方向进入孔道，恰好能到达孔道最高点。孔道直径略大于小球直径，孔道粗细及空气阻力可不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球从刚滑上孔道至刚离开孔道下端的过程中合外力对小球冲量的大小为 B．小球从刚滑上孔道至刚离开孔道的过程中小球对孔道做得功为3mgR C．小球从进入孔道至到达孔道最高处的过程中，若小球在孔道圆弧部分运动的时间为，则该小球到达孔道最高点时，该正方体物块移动的距离为 D．小球从进入孔道至到达孔道最高处的过程中，若小球在孔道圆弧部分运动的时间为，则该小球到达孔道最高点时，该正方体物块移动的距离为 【答案】AC 【详解】A．小球从进入孔道至到达最高点过程中，小球和物块组成的系统机械能守恒、水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，则有，，解得，，小球从进入孔道到离开孔道过程中，小球和物块组成的系统机械能守恒、水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，则有，，解得：，，即小球离开孔道时速度大小为，方向与初速度相同，对球由动量定理可得合外力对小球冲量的大小为，方向水平向右，故A正确； B．对M由动能定理可得，故B错误； CD．小球从进入孔道至到达孔道圆弧部分最高点的过程中，小球和物块组成的系统水平方向动量始终守恒，则有，小球在孔道圆弧部分运动的时间为，则有，其中该时间内，小球和物块的相对位移为，解得，小球离开孔道圆弧部分至到达孔道最高点过程中，小球在竖直方向做竖直上抛运动，则有，该过程中物块在水平方向做匀速直线运动，此过程物块的位移，其中，解得，综上可知小球到达孔道最高点时，物块移动的距离，解得；故C正确，D错误。 故选AC。 28．（2025·海南·模拟预测）如图所示，静止在光滑水平地面上、质量为的滑道由长为的水平部分和半径为的四分之一光滑圆弧构成。滑道左端有一个固定在水平面上的光滑斜面，斜面底端与滑道的上表面等高。一质量为的小物块从斜面上距离斜面底端高度为处由静止滑下。已知小物块与滑道水平部分之间的动摩擦因数为，忽略小物块经过各部分连接处的机械能损失，重力加速度取，不计空气阻力。 (1)求小物块滑到斜面底端时的速度大小； (2)求小物块首次离开圆弧后继续上升的最大高度； (3)改变小物块从斜面上释放的高度，若小物块进入滑道后，最终恰好能回到滑道左端，求小物块释放位置到斜面底端的高度。 【答案】(1)3m/s (2)0.05m (3)0.3m 【详解】（1）小物块滑到斜面底端时由机械能守恒定律 解得v0=3m/s （2）滑块从圆弧轨道滑出时，由水平动量守恒可知 由能量关系 解得， 可得小物块首次离开圆弧后继续上升的最大高度 （3）若小物块进入滑道后，最终恰好能回到滑道左端，则由动量守恒和能量关系， 又 解得 29．（2025·云南昆明·模拟预测）如图所示，质量为M的小车ABC静止在光滑水平面上，圆形轨道BC表面光滑，与粗糙水平轨道AB平滑连接，B为圆形轨道的最低点。质量为m的物块（可视为质点）从P点斜向上抛出，恰能在小车的最右端A点沿水平方向滑上小车，已知：M=4m，物块和轨道AB间动摩擦因数μ=0.1，圆形轨道BC的半径R=0.3m，水平轨道AB长L=1.5m，P、A两点的竖直高度差h=0.2m，水平距离x=0.6m，取重力加速度g=10m/s2。 (1)求物块在A点的速度大小v1； (2)物块能到达的最高点为Q（图中未标出），求Q到AB的竖直高度差h0。 【答案】(1)3m/s (2)0.21m 【详解】（1）根据逆向思维，可看做物块在小车的最右端A点平抛运动到P点，竖直方向有 水平方向有 代入数据解得 （2）物块到达小车最高点Q，此时两者速度相等，设共同的速度大小为v，物块和小车在水平方向动量守恒有 由能量守恒定律得 代入数据解得 30．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，质量为M的滑块A被固定在光滑水平面上，它上表面为半径为R的四分之一圆弧ab，质量为M的木板B上表面与圆弧面最低点水平相切，A、B之间用装置锁定。质量为m的小滑块C（可视为质点）从某高度处由静止下落，刚好在a点沿圆弧切线方向进入滑块A的圆弧面，C经过圆弧面最低点b时对圆弧面的压力大小为7mg。现解除对A的固定，让C仍然从原来高度自由下落。已知，重力加速度为g，小滑块C与木板B上表面的动摩擦因数为0.6，不计空气阻力和其他摩擦。 (1)求C下落的位置离b点的高度。 (2)解除对A的固定，求C运动到b点过程中小滑块C的水平位移的大小。 (3)解除对A的固定，当C滑上B后立即将A、B解锁，若C未脱离木板B，求木板B的最小长度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设C下落的位置离b点的高度为，C从静止下落到b点过程，根据动能定理可得 在b点，根据牛顿第二定律可得 其中，联立解得 （2）解除对A的固定，C运动到b点过程中，C与AB组成的系统满足水平方向动量守恒，则有 设该过程C的水平位移的大小，AB的水平位移的大小，则有 又， 联立解得 （3）解除对A的固定，当C运动到b点时，设C的速度大小为，AB的速度大小为，根据系统水平方向动量守恒可得 根据机械能守恒可得 联立解得， 当C滑上B后立即将A、B解锁，若C未脱离木板B，当C与B共速时，刚好处于B的右端，此时木板B的长度最小；对于B、C组成的系统，根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得木板B的最小长度为 模型4 “滑块—摆球”模型 1．模型图例 2．两个规律 (1)在水平方向系统动量守恒，但竖直方向动量不守恒。 (2)小球和滑块组成的系统机械能守恒。 3．两个状态 (1)小球和滑块共速时，小球运动到最高点。 (2)当小球再次回到最低点时，滑块速度最大，此过程类似于弹性碰撞，小球回到最低点时vM＝，vm＝v0。 31．（2025·山东·模拟预测）如图所示，为一光滑水平横杆，杆上套一质量为的圆环，环上系一长为的轻绳，绳的另一端拴一质量为的小球，现将绳拉直，且与平行，由静止释放小球，其中求： (1)轻绳与第一次成时，小球向左移动的距离； (2)小球摆到最低点时圆环的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球向左移动的距离为，此时圆环向右移动的距离为， 由题可知，此时 又因水平方向动量守恒 可得 （2）从小球静止释放到摆到最低点的过程中，由系统机械能守恒和水平方向动量守恒得 解得 32．（2025·湖南常德·模拟预测）如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有细线的圆环A套在长臂上，细线另一端与小球B相连。已知A的质量mA=m，B的质量mB=2m，细线长度为L。初始时圆环A距短臂，细线水平且伸直，将圆环与小球同时由静止释放。已知圆环A与短臂碰撞后瞬间与短臂粘连，B球垂直于绳方向的速度不变，沿绳方向的速度减为0，不计空气阻力，重力加速度为g，，则（　　） A．小球B的水平位移为0.4L时圆环A与短臂接触 B．圆环A与短臂接触时，细绳与竖直方向的夹角为53° C．圆环A与短臂碰撞后瞬间，小球B的速度大小为 D．小球运动到最低点时，细线的拉力大小为6mg 【答案】BC 【详解】A．小球下摆过程中，根据系统水平方向动量守恒有 解得，故A错误； B．圆环A与短臂接触时，设细线与竖直方向的夹角为，根据 解得，故B正确； C．设圆环与短臂碰撞前瞬间，圆环的速度大小为，小球的水平速度大小为，竖直速度大小为，根据水平方向动量守恒有 以圆环为参考系，小球做圆周运动，有 根据系统机械能守恒有 解得， 圆环A与短臂碰撞后瞬间，如图所示 小球B的速度大小为，故C正确； D．若小球B下落过程系统机械能守恒，则有 在最低点有 解得 因小球下落过程系统机械能有损失，故小球运动到最低点时，细线的拉力小于，故D错误。 故选BC。 33．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）如图所示，光滑水平杆距离水平地面高为，杆上套有一轻质滑环，杆上A点处固定一锁扣。长度为的轻绳的一端连接滑环，另一端悬挂质量为的小球，轻绳能承受的最大拉力为。水平地面上P点处静置一个顶部装有细沙的小滑块，小滑块与细沙的总质量为。P点右侧有一高度为、倾角为的固定斜面BC，B点处平滑连接，B与P间距为。初始时刻，轻绳保持竖直，滑环和小球一起水平向右匀速运动，当滑环与A处的锁扣碰撞，滑环即刻被锁住。不计空气阻力，小球、小滑块可以视为质点且小滑块与水平面和斜面间的动摩擦因数均为，，，。 (1)若轻绳没有断裂，求小球在竖直面内可向上摆动的最大高度。 (2)某次实验中，初始滑环和小球一起以的速度向右匀速运动，滑环被锁住同时轻绳断裂，小球恰好落入小滑块顶部的沙堆内，落入时间极短且沙没有飞溅。求P点与锁扣A点的水平距离。 (3)求（2）问中小滑块最终静止的位置到B点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由于轻绳没有断裂，设小球在最低点的最大速度为v，则 解得 设小球从最低点向上摆到最高点的速度可以为0，则有 解得 又因为，可知小球在到圆周运动最高点前会做近心运动，设该位置与圆心的连线与水平方向成角，对应的速度为，根据机械能守恒可得 在该位置由牛顿第二定律得 联立解得 则小球在竖直面内可向上摆动的最大高度为 （2）由于滑环被锁住同时轻绳断裂，小球做平抛运动，则有， 解得P点与锁扣A点的水平距离为 （3）小球与小滑块作用过程，由系统水平方向动量守恒得 解得 从P到斜面最高点的过程，根据动能定理得 解得 滑块未从斜面顶端飞出，又，则滑块下滑，从滑块在斜面上的最高点到最终静止的位置，有 解得 可知滑块最终静止的位置到B点的距离为。 34．（2025·河南洛阳·模拟预测）如图所示，质量均为m的两个小球a、b用长为L的不可伸长的轻绳连接，小球a套在光滑的足够长的水平杆上，在水平拉力F作用下，小球a、b一起向右做匀加速直线运动，小球b到杆的竖直高度为。当两球速度增加到v0时，撤去拉力。重力加速度为g，不计其他阻力。下列说法正确的是（　　） A．拉力F＝ B．撤去拉力后，小球a、b组成的系统机械能守恒，动量守恒 C．小球b第一次运动到最低点时的速度大小为v0－ D．以后小球a所能达到的最大速度为v0＋ 【答案】AD 【详解】A．设轻绳与竖直方向的夹角为，，可得。设两小球加速度为，对小球b，由牛顿第二定律，有 对a、b整体，，A正确。 B．撤去拉力后，小球a、b组成的系统机械能守恒，水平方向不受外力，水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，B错误。 CD．设小球b运动到最低点时a、b速度分别为、，由水平方向动量守恒，有 由系统机械能守恒，有 可得第一组解， 第二组解， 其中第一组解是小球b第1、3、5、…次到达最低点时a、b的速度，第二组解是小球b第2、4、6、…次到达最低点时a、b的速度。a、b速度的水平分量在这两个解之间变化。可知C错误，D正确。 故选AD。 35．（2025·吉林白城·模拟预测）某兴趣小组利用计算机模拟研究动量守恒定律，如图所示，质量为M的圆环套在水平直杆上，通过轻绳竖直悬挂一质量为m的小球。初始时刻给小球一个水平初速度，计算机得到小球的部分轨迹如图中虚线所示，其中B点为轨迹最高点，不计一切摩擦阻力，则（　　） A． B． C．仅增大M值后重新模拟，小球轨迹最高点有可能高于B点 D．小球从图中A到C运动过程中，轻绳对圆环先做正功后做负功 【答案】BC 【详解】AB．当小球由最低点开始运动到第一次回到最低点时，类似弹性碰撞，设小球末速度、圆环末速度，则有， 解得 以初速度方向为正方向，根据图示轨迹可知，当小球第一次回到最低点时有 可知 解得，故A错误，B正确； C．当小球由最低点开始运动到第一次回到最高点时，类似完全非弹性碰撞，设小球和圆环的末速度是，根据动量守恒定律有 解得 当增大值后，会减小，小球和圆环的动能为 可知，动能会减小，由于系统机械能守恒，可知小球的重力势能会增大，即小球轨迹最高点高于B点，故C正确； D．设小球末速度水平分速度，圆环末速度，由动量守恒定律可知 则有 小球由A到C过程中一直增大，所以一直增大，轻绳对圆环一直做正功，故D错误。 故选BC。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $