6.突破函数零点压轴的十大微专题讲义——2025届高三数学二轮专题复习

第6节 突破函数零点压轴的十大微专题 要点提炼： 1. 函数取点问题 2. 零点同构 3. 不动点问题 1、 知识点梳理 1. 函数“取点”问题中的基本方法 一．基本原理 1. 找点原理：对于函数，倘若我们要找的点，且发现当时，函数均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数的结构加以变形： 不妨假设变形为，从而，，即将一部分放缩控制为有限极限，从而欲解只需解即可.为此，我们需要特别留意下面这些函数的极值点： 2.三角找点原理.有关三角函数的零点问题处理主要手段有： （1） 分段处理；分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，等. （2） 讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间的单调性； （3） 关注有关三角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！ ；；. 2.零点同构 一．基本原理 1.解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①；②；③；④；⑤. 2.多变量同构型零点的基本规律 2.1.，图象如下，左端为，右端为. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 2.2.，图象如下：，左端为，右端为. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 3.复合方程与函数作图 1． 基本原理： 1.已知，且的两个具体的根，求根的个数，或者根据解的个数求参数范围. 解法剖析：换元，最终转化为根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可 2.已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围. 解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布. 3.一元二次方程根的分布 对一元二次方程（其中）和二次函数，有： （1）方程的个根都比小的充要条件是 （2）方程的个根都比大的充要条件是 （3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是 （4）方程的个根都在内的充要条件是 （5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是. （6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是 4.求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 4. 函数的对称性与零点问题 一．基本原理 1点关于点对称：点关于对称的点坐标为， 2.点关于线对称 一般地，若点关于直线对称的点为，可连接交于点，则垂直平分，所以，且为的中点，又因为在直线上，可得. 进一步，我们可以通过上式算得：点关于直线对称的点的坐标可计算为. 特别地： （1）点关于直线对称的点为 （2）点关于直线对称的点为 （3）点关于直线对称的点为 上述问题经常可以通过两个函数图象上存在上述特征的对称点求参数范围而出现，其本质是一个方程根的存在性问题，我们的基本做法就是分离参数，然后求得参数的范围. 5.不动点问题 一．基本原理 1.不动点: 已知函数, 若存在, 使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标. 2.稳定点: 已知函数, 若存在，使得，则称为函数的稳定点. 显然, 若为函数的不动点，则必为函数的稳定点. 6.过点求切线 一．求过点A处切线方程方法如下： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 7.公切线问题 一.基本原理 切线过点，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 二、题型归类 1. 函数取点问题 例1.（2022全国乙卷）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围. 解析：（1）,所以在点处的切线方程为; （2）由于，即 当时，当时，成立，所以在单调递增，且，故时，无零点，舍去. 当时,当时,，由题意可知，必有，即. （i）当时, ， 令，当时，，故，故，单调递增，在无零点，舍去； （ii）当时，，令， 当时，，单调递增，且，，故，使得，当时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，这时，我们只需说明存在使得即可. 下面来考虑找点过程：由于，而，故，那么，故只需满足： 即可，取，则，于是此时在上有一个零点； 当时，，由单调递增，且，，故，使得，当时，，单调递减，时，，单调递增；又，， 故，使得，当时，，，单调递增，时，，，单调递减；又，这时，我们只需说明存在，使得即可. 下面来考虑找点过程：由于，而，故，那么，故只需满足： 即可，取，则，于是此时在上有一个零点；此时在上有一个零点；综上， 对于函数，倘若我们要找的点，且发现当 时，函数均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数的结构加以变形： 不妨假设变形为，从而，，即将一部分放缩控制为有限极限，从而欲解只需解即可. 【变式练习】 1.  已知函数． (1) 求函数的单调区间； (2) 设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】单调递增区间为 ；单减区间为 【解析】  函数的定义域为， 　　 ． 　　函数的单调递增区间为；单减区间为． 【答案】 【解析】  要使函数有两个零点，即有两个实根， 　　即有两个实根． 　　即． 　　整理为， 　　设函数，则上式为， 　　因为恒成立，所以单调递增，所以． 　　所以只需使有两个根，设． 　　由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为， 　　故函数在处取得极大值，． 　　当时，；当时，， 　　要想有两个根，只需，解得： ． 　　所以a的取值范围是． 2. 零点同构问题 例2.（2023届成都）已知函数，其中，． （1）求函数的单调区间； （2）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围． 解析：（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）函数恰有两个零点，等价于方程有两个不等的实数解．∵，，， 令，则．令，则．∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵， ∴方程有唯一解．∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．等价于方程有两个不相等的实数解．构造函数，则．∵，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，；，．∴只需要，即．构造函数，则．∴当时，；当时，． 函数在上单调递减，在上单调递增．∵，当时，恒成立．∴a的取值范围为． 【变式练习】 1.（2022全国新高考1卷）已知函数和有相同的最小值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 解析：（1） ，所以时无最小值，当时在时取最小值，时由 故 化简得解得1 （2）由（1）可得，的最小值在处取到，的最小值在处取到，且最小值均为1. 于是,在上增，在上减，则存在，使得 .这样的话，令,且直线与两条曲线和共有三个不同的交点. 另一方面，注意到，考虑函数，则. 设直线与两条曲线和从左到右的三个交点横坐标为.且有.由上述讨论可知：，故①，同理，由②可得：.又因为③ 联立①，②，③可得：，即从左到右的三个交点横坐标成等差数列. 3. 复合方程与函数作图 例3.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：由方程得或， 则方程有6个不同的实根，等价于的图象与直线有6个不同的交点，当时，，则，令，得：， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故时，取极小值，当时，，当时，单调递增；当时，单调递减，且，根据以上信息，作出的大致图象如图， 由图可知，的图象与直线有2个不同的交点，由题意，只需的图象与直线有4个不同的交点，则，综上得：的取值范围是．故选：A． 【变式练习】 1.已知函数，关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：，所以在区间递增；在区间递减.所以有极大值，有极小值. 结合，可画出的大致图象如下图所示. 依题意，关于的方程有三个不相等的实数根，令，则，，方程有两个不相等的实数根，设为，， 则，所以方程有一正根和一负根，无解，当为正时，根据图象可知，，即方程的正根在区间上， 令，故，解得.故选：C 4. 函数的对称性与零点问题 例4（广州一模T11）已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程在上无解，则 B．存在关于直线对称 C．若存在关于轴对称，则 D．若存在满足，则 解析：函数，对于A，方程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，解得，因此关于的方程在上无解，则或，A错误； 对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，，即函数在上单调递增，， 而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为， 因此函数的值域为，又，于是在有解，所以存在关于直线对称，B正确； 对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，即，令，，即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确；D正确.故选：BCD 【变式练习】 1. 已知在函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：由题可得在有解，即在有解， 所以在有解，令，则， 令，则，所以在单调递减，且，所以当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，所以，故.故选：D. 5. 不动点问题 例 5.设函数 为自然对数的底数）. 若存在 使 成立, 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析： , 根据复合函数的单调性, 可以判断该函数为增函数，又因为 存在 使 , 即有稳定点 ，所以它必有不动点 ， 使得 ，即在有解，整理可得, , 在 有解，令 ， 在单调递增，，故选择 A. 【变式练习】 1. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹  · 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称  为该函数的一个不动点．现新定义：若  满足 ，则称  为  的次不动点．下列说法正确的是(　　) A．定义在  上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 B．定义在  上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 C．当  时，函数  在  上仅有一个不动点和一个次不动点 D．满足函数  在区间  上存在不动点的正整数  不存在 【答案】BC 【解析】  【分析】：举反例，再利用“不动点”和“次不动点”的定义，即可判断选项 A；利用奇函数的性质以及性质，即可判断选项 B；利用“不动点”和“次不动点”的定义进行转化，再分离变量，利用函数单调性求解  的范围，即可判断选项 C；利用“不动点”的定义得到方程，分离变量后将问题转化为函数零点问题，分析求解即可． A．取函数 ，则 ， 所以  既是  的不动点，又是  的次不动点， 故选项 A 错误； B．定义在  上的奇函数满足 ， 故选项 B 正确； C．当  时， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 所以  在区间  上单调递增， 则  在  上单调递增， 要满足  有唯一解， 所以 ； 当  时， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 所以  在区间  上单调递增， 则  在区间  上单调递增， 要满足  有唯一解， 则 ． 综上所述，实数  的范围为 ， 故选项 C 正确； D．因为函数  在区间  上存在不动点， 则  在  上有解， 所以  在  上有解， 令 ， 则 ， 令 ， 则 ， 令 ，解得 ， 所以  在  上单调递减，在  上单调递增， 故  的最小值为 ， 所以  在  上恒成立， 故  在  上单调递增， 故  的最小值为 ， 的最大值为 ， 所以实数  满足 ， 故存在正整数  满足条件， 故选项 D 错误． 故选 BC 6. 保值区间 例6．设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：，设，则，当时，，递增，当时，，递减，故，故在区间上递增，又∵，故在上单调递增．∴在上的值域为． 又∵上的值域是，故，，存在区间满足题意，等价于方程在上至少有两个不等正根，分离参数得，令，则题意等价于函数的图象与直线的图象至少有两个不同的公共点．，得， 由得，当得，得在递减，在递增， 又∵当时，，趋近于时，趋近于．∴题意等价于，∵，，，故选：B． 【变式练习】 1.函数． (1) 若函数有2个零点，求实数a的取值范围； (2) 若在上的值域为，求实数a的值． 【答案】 【解析】  的定义域为， 　　， 　　当时，，当时，， 　　所以在上为减函数，在上为增函数， 　　所以当时，取得最小值，为， 　　因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷， 　　所以若函数有2个零点，则，解得. 【答案】 【解析】  由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为， 　　若在上的值域为，则，即，所以， 　　所以函数在上为减函数， 　　所以，，解得符合题意； 　　综上所述： 7. 过点求切线 例7．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 解析：在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 【变式练习】 1.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 解析：易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为： ．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得，又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式，得，或． 8. 公切线问题 例8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且， 又，则公切线的斜率，则，所以， 则公切线方程为，即， 代入得：，则，整理得， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则，令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下： 所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B. 【变式练习】 1. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】  设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围. 设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故，即. 　　故选：B. 9. 已知极值点个数求参数 例9．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为__________. 解析：因为，所以，因为有两个极值点，所以恰有两个正根，即为一个根，则有唯一正根，且，即有唯一正根，且，设，则的图象与图象有一个交点，，所以时，，所以在为增函数，又，因为，所以，所以只需且，即可满足题意，所以实数t的取值范围为.故答案为： 已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般转化为由可以解出变号零点，所以本质仍是一个零点问题. 【变式练习】 1.（2023年乙卷21题）已知函数，若在存在极值，求的取值范围. 解析：（3）由题意知 . 令, 则 当时, , 故在上单调递减, 所以, 即 , 所以在不存在极值; 当时, , 故在上单调递增, 所以, 即 , 所以在不存在极值，当时, 在上单调递增, 且, 又时, , 故满足题意. 综上, 的取值范围为. 10. 图像交点个数与零点转化 例10．已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 解析：（2）,设函数, 则,令，得,在内,单调递增； 在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是. 【变式练习】 1. （2024年新课标全国2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 解析：令，即，可得， 令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在轴上，可得，即，解得，若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：. 【过关检测】  1.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】  设公切线与曲线和的交点分别为，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即，所以，有，即，令，，令，得，当时，，单调递增，　当时，，单调递减，　所以， 　　故，即.  已知，，则下列说法正确的是（       ） A．曲线与有公共点 B．曲线关于直线对称的曲线是 C．曲线关于直线对称的曲线是 D．直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】  对于A，设，利用导数判断的零点是否存在；对于B，求函数的反函数即可判断；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点在曲线上，代入可求解析式；利用A选项的结论可得D选项的结果. 已知，， 对于A，设，函数定义域为，， 解得，解得，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，恒成立，无解，所以曲线与没有公共点，A选项错误； 对于B，函数的反函数为，所以关于直线对称的曲线是，B选项正确； 对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点为，代入中，得，即， 所以曲线关于直线对称的曲线是，C选项正确；对于D，由A选项可知，当时，的最小值为，D选项正确.故选：BCD. 3.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】ABD 【解析】  根据为偶函数和为奇函数可得即可判断A；利用函数的奇偶性建立方程，证明为一个周期函数，即可判断B；根据函数的单调性、对称性和周期性即可判断C；利用数形结合的思想，结合图形即可判断D. 　　A：为偶函数，故， 　　令，得， 　　为奇函数，故， 　　令，得，其中， 　　所以，故A正确； 　　B：因为为奇函数，则,得， 　　又为偶函数，则，得， 　　所以，令得， 　　即，则， 　　即，所以8为函数的一个周期. 　　故，所以， 　　从而为奇函数，故B正确； 　　C：在区间上是增函数，且的图象关于点对称， 　　所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C错误； 　　D：作出与的大致图象，如图所示， 　　 　　其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 　　故方程仅有6个实数解，故D正确. 　　故选：ABD. 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为  ． 【答案】 【解析】  函数有两个不同的极值点，可得有两个变号零点. 令，讨论，两种情况，结合函数的单调性与最值可求实数a的取值范围. 　　因为函数有两个不同的极值点， 　　所以得有两个变号零点. 　　令，定义域为，则. 　　当时，恒成立，在上单调递增，不会有两个零点，舍去； 　　当时，令，得，令，得， 　　所以在上单调递减，在上单调递增， 　　故在处取得极小值，也是最 小值， 　　当趋向于负无穷大时，趋向于正无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 　　有2个变号零点， 　　所以，即. 　　令，则　　令，得令，得　　则g(a)在上单调递增，在上单调递减， 　　故在处取得极大值，也是最大值.又， 　　故的解集为 　　故答案为：  5.已知函数. (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2) 证明：当时，有且只有一个零点； (3) 若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】 【解析】  由题意，，，故，又，故曲线在点处的切线方程为，即 【解析】  由题意，因为，故当时，，当时，，当时，，故当时，有且只有一个零点 【解析】  由（2）可得，，故 　　设，则 　　①若，则，在上为减函数，故，故在上为减函数，时无零点不满足题意； 　　②若，　　i）当时，，单调递减，且，，故存在使得，故在上单调递增，在上单调递减.又，，且，设，易得，故在单调递增，故，故，故.故在上有一个零点，综上有在区间上有一个零点 　　ii）当时，，设，则，故为减函数，因为，，故存在使得成立，故在单调递增，在单调递减.又，，故存在使得成立，故在上，单调递减，在上，单调递增.又，故，且，，故，故存在使得，综上有在区间上有一个零点. 　　综上所述，当时，在区间各恰有一个零点 6.在数学中， 布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础， 得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔． 具体来说就是： 对于满足定义域为 的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点． 已知 且，函数 ． (1) 若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点； (2) 设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围． 【答案】证明见解析 【解析】  当时，，令，则， 　　当时，，函数单调递减； 　　当时，，函数单调递增， 　　所以， 　　即当时，；当时，恒成立， 　　所以函数只有唯一不动点． 【答案】 【解析】  根据题意：（）， 　　而， 　　令，则， 　　当时，，函数单调递减； 　　当时，，函数单调递增， 　　且，         　　如图所示，因为函数有且仅有2个不动点， 　　 　　所以方程有且仅有2个大于的不同根， 　　也即函数的图象与的图象有两个不同的交点， 　　所以或，         　　而， 　　， 　　令，显然函数单调递增，         　　所以， 　　令（，且）， 　　则， 　　显然当时，，函数单调递减， 　　而，，， 　　所以实数的取值范围是． 7.已知函数． (1) 当时，求的极小值； (2) 若存在两个极值点． 　　（i）求a的取值范围； 　　（ⅱ）证明：． 【答案】 【解析】  当时，，可知的定义域为， 　　且，当时，，当时，， 　　可知在上单调递减，在上单调递增， 　　所以的极小值为； 【答案】（i）；（ⅱ）证明见解析 【解析】  （ⅰ）由题意可得的定义域为， 　　且， 　　设， 　　可知在内有两个变号零点， 　　则，当，当时，， 　　可知在上单调递减，在上单调递增， 　　则的极小值为， 　　令，当趋于时，趋于， 　　， 　　令，则， 　　令得，， 　　所以在取得最小值且大于， 　　所以，所以， 　　因为趋于时趋于，因为时， 　　所以趋于，所以， 　　所以当x趋近于时，趋近于， 　　当时，则， 　　可得，可得， 　　即当x趋近于时，趋近于， 　　可得，解得， 　　所以实数a的取值范围为； 　　（ⅱ）由（ⅰ）可知，， 　　且， 　　所以， 　　设， 　　显然，又， 　　因为，则， 　　可知在上单调递减， 　　且，可得， 　　所以． 8. 已知函数． (1) 若，求曲线的斜率等于3的切线方程； (2) 若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】 【解析】  当时，，，则， 　　设切点为，则，解得或（舍）， 　　∴，故切点为， 　　∴所求切线方程为，即． 【答案】 【解析】  ， 　　令，得，①当，即时，在上， 　　∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点；②当，即时， 　　在上，递减；在上，递增， 　　则在时取得极小值， 　　结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点， 　　则，得． 　　∴综上的取值范围是． 9.（2017年全国2卷）若函数有唯一的零点，则实数_______ 解析：因为，所以 所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2）， 所以．故答案为：. 10.已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意 ，都有成立，则______． 解析：因为，所以，， 所以，令， 则，则， ，令，则，令，得，所以时，，单调递减，时，，单调递增，当，时，，则，单调递增，，即，所以当，时，成立，当，时，，则，单调递增，，即， 所以当，时，成立，综上所述. 11．已知函数，若与的图象在上有唯一交点，则实数（    ） A．2 B．4 C． D．1 解析：令，，由，得是上的偶函数，其图象关于对称，由与的图象在上有唯一交点，得函数有唯一零点，因此，所以.故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6节 突破函数零点压轴的十大微专题 要点提炼： 1. 函数取点问题 2. 零点同构 3. 不动点问题 1、 知识点梳理 1. 函数“取点”问题中的基本方法 一．基本原理 1. 找点原理：对于函数，倘若我们要找的点，且发现当时，函数均趋向正无穷，此时我们可以考虑将函数的结构加以变形： 不妨假设变形为，从而，，即将一部分放缩控制为有限极限，从而欲解只需解即可.为此，我们需要特别留意下面这些函数的极值点： 2.三角找点原理.有关三角函数的零点问题处理主要手段有： （1） 分段处理；分段的依据主要是由三角函数的取值象限来进行，等. （2） 讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶导数的应用，直到能清楚判断所讨论区间的单调性； （3） 关注有关三角的不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程！ ；；. 2.零点同构 一．基本原理 1.解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为的结构，即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①；②；③；④；⑤. 2.多变量同构型零点的基本规律 2.1.，图象如下，左端为，右端为. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 2.2.，图象如下：，左端为，右端为. 性质： （1）； （2）同构特性： （3）若方程存在三个实数根，分别记为，则有 （4）若方程存在四个实根，记为，且有，则有： 3.复合方程与函数作图 1． 基本原理： 1.已知，且的两个具体的根，求根的个数，或者根据解的个数求参数范围. 解法剖析：换元，最终转化为根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可 2.已知函数，且知一元二次型方程根的个数，求参数的取值范围. 解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布. 3.一元二次方程根的分布 对一元二次方程（其中）和二次函数，有： （1）方程的个根都比小的充要条件是 （2）方程的个根都比大的充要条件是 （3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是 （4）方程的个根都在内的充要条件是 （5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是. （6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是 4.求解复合函数零点问题的技巧: （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围. 4. 函数的对称性与零点问题 一．基本原理 1点关于点对称：点关于对称的点坐标为， 2.点关于线对称 一般地，若点关于直线对称的点为，可连接交于点，则垂直平分，所以，且为的中点，又因为在直线上，可得. 进一步，我们可以通过上式算得：点关于直线对称的点的坐标可计算为. 特别地： （1）点关于直线对称的点为 （2）点关于直线对称的点为 （3）点关于直线对称的点为 上述问题经常可以通过两个函数图象上存在上述特征的对称点求参数范围而出现，其本质是一个方程根的存在性问题，我们的基本做法就是分离参数，然后求得参数的范围. 5.不动点问题 一．基本原理 1.不动点: 已知函数, 若存在, 使得，则称为函数的不动点.不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标. 2.稳定点: 已知函数, 若存在，使得，则称为函数的稳定点. 显然, 若为函数的不动点，则必为函数的稳定点. 6.过点求切线 一．求过点A处切线方程方法如下： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 7.公切线问题 一.基本原理 切线过点，求切线的方法：(要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点)，求法步骤： ①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程： 解出切点坐标，从而写出切线方程． 二、题型归类 1. 函数取点问题 例1.（2022全国乙卷）已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围. 【变式练习】 1.  已知函数． (1) 求函数的单调区间； (2) 设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 2. 零点同构问题 例2.（2023届成都）已知函数，其中，． （1）求函数的单调区间； （2）当时，函数恰有两个零点，求a的取值范围． 【变式练习】 1.（2022全国新高考1卷）已知函数和有相同的最小值. （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 3. 复合方程与函数作图 例3.函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1.已知函数，关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 函数的对称性与零点问题 例4（广州一模T11）已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程在上无解，则 B．存在关于直线对称 C．若存在关于轴对称，则 D．若存在满足，则 【变式练习】 1. 已知在函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5. 不动点问题 例 5.设函数 为自然对数的底数）. 若存在 使 成立, 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式练习】 1. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹  · 布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称  为该函数的一个不动点．现新定义：若  满足 ，则称  为  的次不动点．下列说法正确的是(　　) A．定义在  上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点 B．定义在  上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点 C．当  时，函数  在  上仅有一个不动点和一个次不动点 D．满足函数  在区间  上存在不动点的正整数  不存在 6. 保值区间 例6．设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1.函数． (1) 若函数有2个零点，求实数a的取值范围； (2) 若在上的值域为，求实数a的值． 7. 过点求切线 例7．（2021新高考1卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 【变式练习】 1.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 8. 公切线问题 例8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式练习】 1. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 9. 已知极值点个数求参数 例9．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围为__________. 【变式练习】 1.（2023年乙卷21题）已知函数，若在存在极值，求的取值范围. 10. 图像交点个数与零点转化 例10．已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【变式练习】 1. （2024年新课标全国2卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【过关检测】  1.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ） A． B． C． D．  2.已知，，则下列说法正确的是（       ） A．曲线与有公共点 B．曲线关于直线对称的曲线是 C．曲线关于直线对称的曲线是 D．直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为 3.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（       ） A． B．为奇函数 C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解 4. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为  ．  5.已知函数. (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2) 证明：当时，有且只有一个零点； (3) 若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 6.在数学中， 布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础， 得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔． 具体来说就是： 对于满足定义域为 的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点． 已知 且，函数 ． (1) 若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点； (2) 设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围． 7.已知函数． (1) 当时，求的极小值； (2) 若存在两个极值点． 　　（i）求a的取值范围； 　　（ⅱ）证明：． 8. 已知函数． (1) 若，求曲线的斜率等于3的切线方程； (2) 若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 9.（2017年全国2卷）若函数有唯一的零点，则实数_______ 10.已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意 ，都有成立，则______． 11．已知函数，若与的图象在上有唯一交点，则实数（    ） A．2 B．4 C． D．1 2 学科网（北京）股份有限公司 $