2.1　认识实数 第1课时　无限不循环小数 教案 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

1　认识实数 第1课时　无限不循环小数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　无限不循环小数 授课人 教 学 目 标 1.通过拼图活动,让学生感受无限不循环小数产生的实际背景和引入的必要性. 2.会判断一个数是不是有理数,并能说明理由. 3.经历探索、发现无限不循环小数的过程,在具体情境中,能判断出不能用有理数表示的数. 4.认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造. 5.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人的见解,能从交流中获益. 教学 重点 1.让学生经历无限不循环小数的发现过程,感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是不是有理数. 教学 难点 1.把两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是不是有理数. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 提出问题: 同学们,我们已经学过很多数了,回忆一下,我们都学过哪些数? 学情预设:在小学我们学过自然数、小数、分数,在七年级我们还学过负数. 说明:我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把数从小学学过的正数、零扩充到了有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题.揭示课题:第1课时　无限不循环小数. 　　通过与学生互相问答的方式回顾旧知识,降低学生对新知识的心理障碍,为后面的学习做好铺垫,激发学生对知识的渴望. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 不是有理数的数 图2-1-5中是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形. 图2-1-5 说明:教师让学生动手操作,将这两个正方形进行裁剪,然后重新拼接成一个大正方形,并让学生展示拼接的结果.学生可能拼接为以下图形: 图2-1-6 (1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件? (2)a可能是整数吗?说说你的理由. (3)a可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴进行交流. 师生活动:先指导学生得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积,所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为2.然后让学生讨论交流上面的三个问题,最后教师进行讲评. 归纳总结:事实上,满足等式a2=2的a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数. 【尝试·思考】 (1)如图2-1-7,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? 图2-1-7 (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件? (3)b是有理数吗? 处理方式:让学生独立思考后,在小组内进行交流,并指名进行说明,有问题时小组其他成员补充. 学情预设:(1)在直角三角形中,由勾股定理,得斜边2=12+22=5,所以以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. (2)满足b2=5. (3)b不是有理数. 　　1.引导学生通过动手拼图、观察、计算、思考、交流,感受无限不循环小数发现的过程,感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.进一步感受直角三角形的三边之间的关系,从而体会不是有理数的数的存在,同时培养学生的合作意识,以及分析问题、解决问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 说明:在说明b满足的条件时,如有的同学根据直角三角形中最长边为斜边和三角形的三边关系,确定出b的取值范围,教师应给予鼓励和表扬. 总结:在上面的问题中,数a,b确实存在,但都不是有理数. 【应用】 例　如图2-1-8,B,C是一个生活小区的两个路口,BC长为2千米,A处是一个公园,从A到B,C两路口的距离都是2千米.现要从公园到生活小区修一条最短的路,这条路的长可能是整数吗?可能是分数吗?说明理由. 图2-1-8 解:这条路的长不可能是整数,也不可能是分数.理由如下: 过点A作AD⊥BC于点D,则AD是从公园到生活小区的最短的路. 因为BC=AB=AC,所以△ABC是等边三角形. 又因为AD⊥BC,所以BD=CD=BC=1. 在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=22-12=3. 所以这条路的长不可能是整数,也不可能是分数. 【探究2】 无限不循环小数的认识 【思考·交流】 教师提出问题:面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?紧接着出示下面几个问题,让学生思考,并在小组内进行交流. (1)如图2-1-9,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由. 图2-1-9 学情预设:根据正方形的面积之间的关系及边长与面积的关系可知1<a<2. (2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. 说明:让学生先猜想,然后利用计算器进行验证,即将猜想得到的数平方后看是否在1和4之间,并在小组内进行交流. 结论:边长a的整数部分是1,十分位是4,百分位是1,千分位是4,…… (3)小明将他的探索过程整理如下: 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.9881<S<2.0164 1.414<a<1.415 1.999396<S<2.002225 1.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449 还可以继续算下去吗?a可能是有限小数吗? 教师展示小明的探索过程,并让学生观察,得出还可以继续算下去,从而得到a是无限不循环小数. (4)面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗?与同伴进行交流. 　　3.通过例题,让学生能从实际问题中抽象出数学问题,感受实际问题中无限不循环小数的存在,提高学生解决实际问题的能力. 4.让学生通过猜想—验证—得出结论的过程,体会知识的形成过程,培养学生主动获取知识的意识,提高学生的主观能动性. 5.根据面积之间的关系让学生体会a是无限不循环小数,让学生主动探索,深刻理解无限不循环小数的存在. 活动 二: 探究 与 应用 处理方式:让学生类比前面(3)的探索过程,利用计算器计算推理,并在小组内进行交流. 学情预设:2<b<3,b=2.23606797…,它不是有限小数. 归纳:事实上,a=1.41421356…,b=2.23606797…,它们都不是有理数,都是无限不循环小数. 【拓展提升】 1.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为 (　　) A.整数　　　　　　　B.分数 C.无限不循环小数 D.不能确定 2.已知正数m满足m2=38,则m的整数部分为　　　　.  　　知识的综合与拓展,提高应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.一个长方形的长与宽分别是3 cm,1 cm,它的对角线的长是 (　　) A.整数　　　　　　　　　　 B.分数 C.既不是整数,也不是分数 D.无法确定 2.以下各正方形的边长是无限不循环小数的是 (　　) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 3.如图2-1-10,等边三角形ABC的边长为6,底边BC上的高AD为h,则h是整数吗?是分数吗?是有理数吗? 图2-1-10 　　学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 【板书设计】 第1课时　无限不循环小数 1.不是有理数的数. 2.无限不循环小数的认识. 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 利用正方形的面积求边长,从而发现数“不够用了”,以此激发学生的好奇心与求知欲. ②[讲授效果反思] 在探究【思考·交流】的过程中注意问题的引导,让学生猜想,再利用计算器进行计算,然后观察表格,循序渐进,让学生在老师的指导下得出结论.在探究的过程中,教师留给学生充分的时间,教学效果显著. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　  错题题号　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $