第一章 因式分解 知识点和常考题型 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

第一章因式分解复习知识点和常考题型 知识点1、因式分解的概念 把一个 化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解。 ①左边是多项式形式 ②右边是整式乘积的形式 ③左右要相等 例题：判断下列是否是因式分解，并说明理由 知识点2、因式分解和整式乘法之间的关系 因式分解和整式乘法互为逆运算 因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”，所以因式分解与整式乘法互为逆变形过程，常用整式乘法来检验因式分解. 1．若二次三项式x2+mx﹣6可分解为（x﹣1）（x+6），则m的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣6 D．5 2．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴ 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）已知二次三项式x2+6x+a有一个因式是（x+5），求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式6x2﹣x﹣p有一个因式是（2x+3），求另一个因式以及p的值． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得． 故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值． 知识点3、公因式找法 1.公因式的概念和确定公因式的方法 （1）多项式各项______________________,叫做这个多项式各项的公因式。 （2）确定公因式： 一看______ 二看______ 三看_______ 2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式____出来，从而将多项式化成____________的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 注：首项是负数时，一般先提负号。 4．把8x2y3z﹣6xy2z2+12xy3z分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．4x2y2z B．2xy2z C．6xy D．2 5．将多项式a2x+ay﹣a2xy因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．a B．a2 C．ax D．ay 6．多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（　　） A．x2﹣x+1 B．x2+x+1 C．x2﹣x﹣1 D．x2+x﹣1 7．已知（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（　　） A．1 B．6 C．7 D．8 知识点4、平方差公式、完全平方公式 8．给出下列各式：x2﹣y2，﹣x2+y2，（﹣x）2+（﹣y）2，﹣x2﹣y2，x4﹣y4，其中能用平方差公式进行因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．81+18x+x2 10．下列各式：①﹣x2﹣y2；②a2b2+1+2ab； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　） ①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x3﹣2x﹣1；④⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点5、因式分解步骤 一提：提公因式 二套：套平方差公式和完全平方公式 三检查：检查对错和分解是否彻底 常考题型： 1、 直接提公因式因式分解 （1）4ab﹣2a2b； （2）3ab3+6ab2﹣12ab； （3）x2y﹣2x2y3﹣3x3y； （4）﹣x2y+xy﹣xz； 2、 带整体因式分解 3、 多项式第一项是负的 4、 平方差公式因式分解 5、 完全平方公式因式分解 6、 先提公因式，再公式法 7、 先整理后因式分解 九、完全平方式 12．若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方式分解因式，则m的值为（　　） A．0 B．±6 C．6 D．6或﹣2 13．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 十、图形中因式分解 14．综合与实践 【问题情境】 （1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 　 　 ； （3）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； （4）利用（2）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，求a2+b2+c2； 【拓展应用】 （5）用图3中1张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，求m的值． 15．综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式 　 　 ； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式 　 　 ； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若a+b+c＝8，ab+bc+ac＝25，求a2+b2+c2的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的值． 11、 因式分解综合题 16．△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．腰底不等的等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 17．已知x2+y2﹣2x﹣6y＝﹣10，那么x2018y2的值为（　　） A． B．9 C．1 D．2 18．已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $